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文档简介

河南省开封市重点名校2024届高考数学考前最后一卷预测卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.三棱锥的各个顶点都在求的表面上,且是等边三角形,底面,,,若点在线段上,且,则过点的平面截球所得截面的最小面积为()A. B. C. D.2.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若线段中点的横坐标为3,且,则抛物线的方程是()A. B. C. D.4.关于函数,有下列三个结论:①是的一个周期;②在上单调递增;③的值域为.则上述结论中,正确的个数为()A. B. C. D.5.已知双曲线的一条渐近线方程是,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.137.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.8.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+19.已知三棱锥中,是等边三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.10.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则;其中真命题的个数为()A. B. C. D.11.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.12.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为________人.14.双曲线的焦点坐标是_______________,渐近线方程是_______________.15.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.16.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E.(1)求证:四边形ACC1A1为矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.18.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.19.(12分)如图,点是以为直径的圆上异于、的一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.20.(12分)已知函数,它的导函数为.(1)当时,求的零点;(2)当时,证明:.21.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.22.(10分)在数列和等比数列中,,,.(1)求数列及的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意画出图形,求出三棱锥S-ABC的外接球的半径,再求出外接球球心到D的距离,利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径,则答案可求.【详解】如图,设三角形ABC外接圆的圆心为G,则外接圆半径AG=,设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,则外接球的半径R=取SA中点E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以OD=.则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,还考查了求截面的最小面积,属于较难题.2、D【解析】

由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.3、B【解析】

利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点,由抛物线的定义可知,线段AB中点的横坐标为3,又,,可得,所以抛物线方程为.故选:B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.4、B【解析】

利用三角函数的性质,逐个判断即可求出.【详解】①因为,所以是的一个周期,①正确;②因为,,所以在上不单调递增,②错误;③因为,所以是偶函数,又是的一个周期,所以可以只考虑时,的值域.当时,,在上单调递增,所以,的值域为,③错误;综上,正确的个数只有一个,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用.5、D【解析】双曲线的渐近线方程是,所以,即,,即,,故选D.6、D【解析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.7、A【解析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.8、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./9、D【解析】

根据底面为等边三角形,取中点,可证明平面,从而,即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为,可求得到平面的距离,画出几何关系,设球心为,即可由球的性质和勾股定理求得球的半径,进而得球的表面积.【详解】设为中点,是等边三角形,所以,又因为,且,所以平面,则,由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥,设底面等边的重心为,可得,,所以三棱锥的外接球球心在面下方,设为,如下图所示:由球的性质可知,平面,且在同一直线上,设球的半径为,在中,,即,解得,所以三棱锥的外接球表面积为,故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算,正三棱锥的外接球半径求法,球的表面积求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.10、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面,那么另一条也垂直于这个平面知①正确;当直线平行于平面与平面的交线时也有,,故②错误;若,则垂直平面内以及与平面平行的所有直线,故③正确;若,则存在直线且,因为,所以,从而,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理,是一道基础题.11、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,故A正确;对于B选项:与去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长,所以其总量也实现了增长,故B正确;对于C选项:2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是:江苏、山东、浙江、河南、辽宁,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,均居同一位的省有2个,故C错误;对于D选项:去年同期河南省的GDP总量,故D正确.故选:C.【点睛】本题考查了图表分析,学生的分析能力,推理能力,属于基础题.12、B【解析】

或,从而明确充分性与必要性.【详解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为,则由题意得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的知识,算出抽样比是解题的关键,属于基础题.14、【解析】

通过双曲线的标准方程,求解,,即可得到所求的结果.【详解】由双曲线,可得,,则,所以双曲线的焦点坐标是,渐近线方程为:.故答案为:;.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用,考查了运算能力,属于容易题.15、【解析】

作出满足约束条件的可行域,将目标函数视为可行解与点的斜率,观察图形斜率最小在点B处,联立,解得点B坐标,即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,该目标函数视为可行解与点的斜率,故由题可知,联立得,联立得所以,故所以的最小值为故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.16、【解析】

根据图示分析出、、的坐标表示,然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知:,所以,又因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算,难度较易.已知,若,则有.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】

(1)通过勾股定理得出,又,进而可得平面,则可得到,问题得证;(2)如图,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】(1)因为平面,所以,又因为,,,所以,因此,所以,因此平面,所以,从而,又四边形为平行四边形,则四边形为矩形;(2)如图,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,所以,平面的法向量,设平面的法向量,由,由,令,即,所以,,所以,所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力,是中档题.18、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】

(Ⅰ)由题意可得,的坐标,结合椭圆离心率,及隐含条件列式求得,的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设直线,求得的坐标,再设直线,求出点的坐标,写出的方程,联立与,可求出的坐标,由,可得关于的函数式,由单调性可得取值范围.【详解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设直线,则与直线的交点,又,设直线,联立,消可得.解得,,联立,得,,直线,联立,解得,,,,,,,,函数在上单调递增,,.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查运算求解能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,证明,则平面平面,则可证平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,则点到平面的距离可求.【详解】解:(1)如图:取的中点,连接、.在中,是的中点,是的中点,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四边形是平行四边形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圆的直径,点是圆上异于、的一点,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱锥的高线.在直角梯形中,.设到平面的距离为,则,即由已知得,由余弦定理易知:,则解得,即点到平面的距离为故答案为:.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法,是中档题.20、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】

当时,求函数的导数,判断导函数的单调性,计算即为导函数的零点;

当时,分类讨论x的范围,可令新函数,计算新函数的最值可证明.【详解】(1)的定义域为当时,,,易知为上的增函数,又,所以是的唯一零点;(2)证明:当时,,①若,则,所以成立,②若,设,则,令,则,因为,所以,从而在上单调递增,所以,即,在上单调递增;所以,即,故.【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性,单调性,零点的求法.注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用.21、(1)(2)【解析】

(1)由已知条件列出关于和的方程,并计算出和的值,jike得到椭圆的方程.(2)设出点和点坐标,运用点坐标计算出,分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,求解出的最小值.【详解】(1)由己知得:,解得,所以,椭圆的方程(2)设,.当直线垂直于轴时,,且此时,,当直线不垂直

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