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文档简介

18五月20241第三节函数的极限(LimitsofFunctions)

第一章

在前一节我们讨论了数列的极限，

本节主要介绍一般函数的极限以及其性质．二、函数极限的性质一、函数极限的定义18五月20242一、函数极限的定义18五月202431.自变量趋于无穷大时函数的极限(LimitsInvolvingInfinity)18五月2024418五月20245定义1可简单地表达为：几何解释:补充定义直线y=A

为曲线的水平渐近线18五月20246直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，两种特殊情况:18五月20247证:例1证明取因此就有故欲使即注:是的水平渐近线.18五月202482.自变量趋于有限值时函数的极限.(LimitsInvolvingFinites)18五月20249（1）双侧极限(Two-sidedLimits)18五月202410当时,有18五月20241118五月202412例2证明证:欲使只要取则当时,必有因此18五月202413证:例3证明函数在点x=3处没有定义.故取当时,必有因此18五月202414证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有例4证明:当18五月202415（2）单侧极限(One-sidedLimits)左极限(LeftLimits)

:当时,有右极限(RightLimits):当时,有定理118五月202416证：利用定理1，知18五月202417讨论时的极限是否存在.解:

利用定理1.因为显然所以不存在.例6（补充题）设函数18五月202418二、函数极限的性质定理2(函数极限的唯一性）定理3(函数极限的局部有界性)证：18五月202419若且

A>0,证:

已知即当时,有当

A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)定理4

（函数极限的局部保号性）18五月202420若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有（书中定理5）分析:推论118五月202421证:

用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)存在假设A<0,条件矛盾,故18五月202422定理5海因定理（函数极限与数列极限的关系)条件：（1）（2）结论：（1）（2）18五月202423内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:与左右极限等价定理；Th1唯一性定理；Th2局部有界性；Th3函数极限的局部保号性

；Th4海因定理（函数极限与数列极限的关系)Th518五

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