2.2.3向量的乘积运算

2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(3)当λ＝0时，λa＝0.eq\x(状元随笔)理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋eq\o(a,\s\up10(→))，λ－eq\o(a,\s\up10(→))均没有意义．2．数乘向量的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b．eq\x(状元随笔)向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中eq\o(a,\s\up10(→))≠eq\o(0,\s\up10(→))不能漏掉.若eq\o(a,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→))＝eq\o(0,\s\up10(→))，则实数λ可以是任意实数；若eq\o(a,\s\up10(→))＝0，eq\o(b,\s\up10(→))≠eq\o(0,\s\up10(→))，则不存在实数λ，使得eq\o(b,\s\up10(→))＝λeq\o(a,\s\up10(→)).(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使teq\o(a,\s\up10(→))＋seq\o(b,\s\up10(→))＝eq\o(0,\s\up10(→))，则eq\o(a,\s\up10(→))与eq\o(b,\s\up10(→))共线；若两个非零向量eq\o(a,\s\up10(→))与eq\o(b,\s\up10(→))不共线，且teq\o(a,\s\up10(→))＋seq\o(b,\s\up10(→))＝eq\o(0,\s\up10(→))，则必有t＝s＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．()(2)对于非零向量a，向量－3a与向量a(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3(4)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.()2．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3aA．a与b方向相同B．a与b方向相反C．|a|＝|3b|D．|a|＝|b|3．化简：eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))＝()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e类型一向量的线性运算【例1】(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝．(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；②eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（3a＋2b）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.例2(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．eq\x(状元随笔)(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练1化简：(1)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(2)eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b)).(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.类型二向量共线条件的应用【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，求x＋y的值．跟踪训练1．本例(1)中把条件改为“eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up8(→))＝7e1－2e2”，问A，B，C，D中哪三点共线？2．本例(1)中条件“eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1－8e2”改为“eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点共线吗？例2已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up10(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up10(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up10(→))＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．方法归纳向量共线定理的应用(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→))，则eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(AC,\s\up10(→))共线，又eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(AC,\s\up10(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练2(1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于()A.－9B．－4C．4D．9(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up10(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A.10B．－10C．2D．－2类型三用已知向量表示其他向量例3如图，ABCD是一个梯形，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))且|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up10(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up10(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up10(→))＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up10(→))＝________；(2)eq\o(MN,\s\up10(→))＝________.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练3在本例中，若条件改为eq\o(BC,\s\up10(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up10(→))＝e2，试用e1，e2表示向量eq\o(MN,\s\up10(→)).【例4】(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up8(→))＝()A．eq\f(1,2)a－bB．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)bD．a－eq\f(1,2)b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝b，试用a，b分别表示eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))，eq\o(MN,\s\up8(→)).1．本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up8(→)).2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝eq\o(DE,\s\up8(→))，b＝eq\o(DF,\s\up8(→))，用a，b表示eq\o(DB,\s\up8(→)).[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b2．点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))，则eq\o(BC,\s\up10(→))等于()A．－2eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))D．2eq\o(AB,\s\up10(→))3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.eq\r(3)C．－1或4D．3或44.如图，已知eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝3eq\o(DC,\s\up10(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up10(→))，则eq\o(AD,\s\up10(→))＝()A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b5．若点O为平行四边形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up10(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up10(→))＝3e2，则eq\f(3,2)e2－e1＝()A.eq\o(BO,\s\up10(→))B.eq\o(AO,\s\up10(→))C.eq\o(CO,\s\up10(→))D.eq\o(DO,\s\up10(→))二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.7．点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，则eq\o(AC,\s\up10(→))＝________eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))＝________eq\o(AB,\s\up10(→)).8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．计算(1)eq\f(1,3)(a＋2b)＋eq\f(1,4)(3a－2b)－eq\f(1,2)(a－b)；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a)))).10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq\o(BC,\s\up10(→))＝a，eq\o(DA,\s\up10(→))＝b，试用a，b表示eq\o(EF,\s\up10(→)).[能力提升](20分钟，40分)11．设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up10(→))＝3eq\o(CD,\s\up10(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up10(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(4,3)eq\o(A