决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练-几何专题：《圆的综合》(三)

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（三）1．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若∠PCB＝∠A．①求证：直线PC是⊙O的切线；②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．2．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．3．在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做DPQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则DAO＝，DBO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出DCO的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值．4．如图1，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个三角形，D在线段BC上，∠DAE＝90°，AD＝AE．【问题发现】（1）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝AC，连接CE，则BD、CE的关系是（请直接写出结果）．【解决问题】（2）如图3，如果∠BAC＜90，AB≠AC，∠ACB＝45°，AC＝2，且满足tan∠ADC＝2，连接CE，求DE的长．小明经过思考发现可以构造如图3所示的图形解决问题，过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，证明△AFD≌△ACE，从而求出DE的长．请你按照小明的思路求出DE长．【拓展探究】（3）如图4，在⊙O中，BC是直径，点D为直径上方半圆上一点，DB＝3，DC＝9，若点A也在⊙O上，且满足AB＝AC，直线AB与直线CD交于点E，请直接写出线段AE的长．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．6．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，把矩形折叠，使得点B与射线DC上的动点P重合，（P不与点D、C重合），MN为折痕，点M、N分别在边AD、BC上（1）请用尺规在图（1）中作出过点M、D、P的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接BM，若直线BM与过M、D、P三点的⊙O相切，求直线BC与⊙O的位置关系；（3）把△BMN绕点N顺时针旋转90°得△B1M1N，当B1落在边AD上时，求DP的长．7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0）．点P从点B开始，沿射线BA以每秒1个单位长度的速度运动，以点P为圆心、PB为半径的圆交射线BA于点C．设点P的运动时间为t．（1）线段AB的长为．（2）当⊙P与y轴相切时，求t的值．（3）如图2，⊙P与y轴相交于正、负半轴，交点分别为M、N，连接CN、BN．当△CNB为等腰三角形时，求点N的坐标．8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．9．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．（1）如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求AC的长；（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）求证：DE•AD＝PB•AC．参考答案1．（1）①证明：如图1中，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．②∵CP＝CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴．（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴，∴AM2＝MC•MN，∵MC•MN＝9，∴AM＝3，∴BM＝AM＝3．2．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，∵S△ABF＝AB×FH＝×BF×AD，∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．3．解：（1）①DAO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，同理DBO＝1，故答案为：5，1；②设点C（m，4﹣m），则DCO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，DCO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，则△MON∽△GEO，则，即，则GO＝，EF1＝MG＝2﹣＝．4．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ACB＝45°，又∵AD＝AE，AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，BD＝CE，∴∠ACE+∠ACB＝90°＝∠BCE，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图3，过点A作AN⊥BC于N，∵AF⊥AC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠F＝45°，∴AC＝AF＝2，∴CF＝FA＝4，∵AN⊥FC，AF⊥AC，AC＝AF，∴AN＝NC＝FN＝2，∵tan∠ADC＝＝2，∴DN＝1，∴FD＝1，∵∠FAC＝∠DAE＝90°，∴∠FAD＝∠CAE，又∵AF＝AC，AD＝AE，∴△FAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠F＝45°，FD＝CE＝1，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴DE＝＝＝；（3）当点A与点D在BC同侧时，如图4，过点A作AF⊥CD于F，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∴BC＝＝＝3，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AC，∴AB＝AC＝3，∵∠ADC＝∠ABC＝45°，AF⊥CD，∴∠ADC＝∠DAF＝45°，∴AF＝DF，∵AC2＝AF2+CF2，∴45＝AF2+（9﹣AF）2，∴AF＝3或AF＝6（不合题意舍去），∵AF⊥CD，BD⊥CD，∴AF∥BD，∴，∴＝＝1，∴BE＝AE，∵AB＝3，∴AE＝BE＝，当点A与点D在BC的异侧时，如图4﹣1，过点A作AF⊥CD于F，同理可求AF＝6，∵AF∥BD，∴，∴，∴AE＝2BE，∵AB＝3，∴AE＝6，综上所述：AE为或6．5．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴ON﹣OM＝OC．6．解：（1）如图（1）所示：（2）过O作EF⊥AD交AD于E、交BC于F，连接BP，如图（2）所示：则四边形CDEF是矩形，∵BM是⊙O的切线，∴∠PMB＝90°，∴∠AMB+∠DMP＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠AMB+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠DMP，∵把矩形折叠，使得点B与射线DC上的动点P重合，（P不与点D、C重合），MN为折痕，∴MN垂直平分BP，∴BM＝PM，在△ABM和△DMP中，，∴△ABM≌△DMP（AAS），∴AB＝DM＝4，AM＝DP，∴DP＝AM＝AD﹣DM＝7﹣4＝3，∴PM＝＝＝5，∴⊙O的半径为，∵四边形CDEF是矩形，∴EF∥CD，EF＝CD＝AB＝4，∵OM＝OP，∴OE是△MDP的中位线，∴OE＝DP＝，∴OF＝EF﹣OE＝4﹣＝，∴直线BC与⊙O相切；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝7，AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，∵△BMN绕点N顺时针旋转90°得△B1M1N，当B1落在边AD上，连接BP交MN于点H，如图（3）所示：则MN垂直平分BP，BN＝B′N，∠BNB′＝90°，∴BH＝PH＝BP，∠BHN＝90°，四边形ABNB′是正方形，∴BN＝AB＝4，∵∠BHN＝∠C＝90°，∠HBN＝∠CBP，∴△HBN∽△CBP，∴＝，即＝，解得：BP2＝56，∴CP2＝BP2﹣BC2＝56﹣72＝7，∴CP＝，∴DP＝CD﹣CP＝4﹣．7．解：（1）∵点A（0，6），点B（8，0），∴OA＝6，OB＝8，由勾股定理得：AB＝＝＝10，故答案为：10；（2）设⊙P与y轴相切于点G，连接PG，如图1所示：则∠PGA＝90°，PG＝PB，∵∠AOB＝90°，∴PG∥OB，∴△AGP∽△AOB，∴＝，∵PB＝t×1＝t，∴PG＝PB＝t，AP＝AB﹣PB＝10﹣t，∴＝，解得：t＝（s）；（3）过点C作CE⊥y轴于点E，如图2所示：则∠CEN＝90°，∴∠CNE+∠ECN＝90°，∵BC是⊙P的直径，∴∠CNB＝90°，∴∠CNE+∠BNO＝90°，∴∠ECN＝∠BNO，∵△CNB是等腰三角形，∴CN＝BN，在△CEN和△NOB中，，∴△CEN≌△NOB（AAS），∴CE＝ON，NE＝OB＝8，设CE＝ON＝a，则AE＝NE﹣OA﹣ON＝8﹣6﹣a＝2﹣a，∵∠CAE＝∠BAO，∠CEA＝∠BOA＝90°，∴△CEA∽△BOA，∴＝，∴＝，解得：，∴点N的坐标为（0，﹣）．8．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCE，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．9．证明：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠APQ＝60°，且AQ＝AP，∴△APQ是等边三角形，∴∠Q＝60°＝∠QAP，∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠QPA＝∠ACB＝60°，∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，∴∠QAC+∠QBC＝240°，且∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，∴∠QBC＜120°，∴∠QAC≠∠QBC，且∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，∴四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图②，连接BD，∵AB≠AD，BC＝DC，∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABC≠∠ADC，∵四边形ABCD是准平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD