2023年贵州省 黔东南苗族侗族自治州 三穗县贵州省三穗中学九年级 第一次模拟数学模拟试题

三穗中学2023学年度第一学模拟考试数学试卷（本试卷共25个小题，满分150分，时间120分钟）一、选择题：（每小题3分，共36分）1.有理数0、、1、2中，最小的数是（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了比较有理数的大小，根据有理数大小的比较方法比较即可．【详解】解：∵，∴四个有理数0、、1、2中，最小的数是．故选：B．2.如图是某几何体的侧面展开图，该几何体是（）A.长方体 B.圆柱 C.圆锥 D.三棱锥【答案】C【解析】【分析】根据常见几何体的平面展开图判断即可．【详解】解：根据该几何体的侧面展开图是扇形确定该几何体为圆锥．故选：C．【点睛】本题考查几何体的展开图，熟练掌握该知识点是解题关键．3.某市制定推广新能源车实施方案，到2025年，全市新能源汽车累计保有量力争达到辆，将用科学记数法表示（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故选：C．4.如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键．【详解】解：，，在与中，，，，，，又，．故选：A．5.若分式的值为0，则x的值等于（）A. B. C.2 D.0【答案】C【解析】【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得．故选C．【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．6.如图，D、E分别为的边AB、AC上的点，若的面积等于2，则的面积为（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】根据∵，，得，根据相似三角形的性质得，即可得．【详解】解：∵，，∴，∵，的面积等于2，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．7.从一副扑克牌中任意抽取1张．估计下列事件发生的可能性大小：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“红色的”这些事件中发生可能性最小的是事件（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】分别求出抽出各种扑克牌的概率，比较大小即可求解．【详解】解：∵①这张牌是“A”的概率为；②这张牌是“红心”的概率为；③这张牌是“大王”的概率为；④这张牌是“红色的”的概率为，∴这些事件中发生可能性最小的是事件③．故选：C．【点睛】本题考查的是概率公式的应用，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，掌握计算公式是解题的关键．8.赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】设直角三角形斜边上为c，根据勾股定理可得，由大正方形的面积为14，可得，根据完全平方公式的变形可得，便可求解．【详解】设直角三角形斜边上为c，直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，，大正方形的面积为14，，，，，所以，小正方形的面积为4，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用及完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键．9.如图，已知∠A=70°，∠APC=65°，，则∠B的度数为（）A.45° B.50°C.55° D.60°【答案】A【解析】【分析】先用三角形内角和定理求出∠ACP,再说明△BAC∽△CPA,然后再根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠A=70°，∠APC=65°∴∠ACP=180°-70°-65°=45°∵∴∵∠B=∠B∴△BAC∽△CPA∴∠B=∠B=∠ACP=45°．故答案为A．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、相似三角形的判断与性质，得到△BAC∽△CPA成为解答本题的关键．10.若一次函数和反比例函数交于点，则的值为（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出、是解题的关键．由一次函数和反比例函数交于点，可得出、，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．【详解】解：∵一次函数和反比例函数交于点，∴、，∴．故选D．11.据统计，某地区4月4日至10日每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（）A.8日至9日最高气温下降幅度较大 B.中位数 C.平均数约是 D.众数是【答案】A【解析】【分析】本题考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，难度不大．分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．【详解】解：A、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，错误，符合题意；B、7个数排序后为16，20，20，21，22，23，24，位于中间位置的数为21，所以中位数为，正确，不符合题意；C、平均数为，正确，不符合题意；D、7个数据中出现次数最多的为20，所以众数为，正确，不符合题意．故选：A．12.如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是－1，点B的横坐标是4，有以下结论：①若点A在轴上，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0）；②当时，一次函数与二次函数的函数值都随的增大而增大；③的长度可以等于5，其中正确的结论有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=1，若点A在x轴上，根据对称性可求抛物线与x轴的另一交点为（3，0），即可判断①；根据一次函数和二次函数的性质即可判断②；由A、B的横坐标求出AB为5时，可得直线ABx轴，则k=0，与已知矛盾，即可判断③．【详解】解：抛物线对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点坐标为（m，0）则，∴m=3，∴若点A在轴上，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0）；故①正确；根据图象得：直线为增函数，抛物线当x＞1时为增函数，∴当时，一次函数与二次函数的函数值都随的增大而增大；故②正确；由A、B的横坐标为-1，4，若AB=5时，则直线ABx轴，则k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，故③不正确．综上所述，正确的有①②．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与一次函数的图象与性质，利用数形结合解答是解题的关键．二、填空题：（每小题4分，共16分）13.因式分解：=_______________.【答案】a(a+b)(a-b).【解析】【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.解析：原式=a(a+b)(a-b).故答案为a(a+b)(a-b).14.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，根据题意图中阴影部分的面积为3，则P（击中阴影区域）．故答案为：．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.15.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为__________．【答案】【解析】【分析】根据题中两个等量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛；1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可．【详解】由题意得：故答案为：．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，理解题意、找到等量关系并列出方程组是解题的关键．16.如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且，，连接OF，则（1）_______；（2）________；【答案】①.45°②.【解析】【分析】如图，在BE上截取线段BG，使得BG=CF，可求得，根据勾股定理求解相应线段的长度即可．【详解】解：如图，在BE上截取线段BG，使得BG=CF，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=6，，，，∵，∴，∴，∴，∴（SAS），∴，，∴，∴为等腰直角三角形，，在中，由勾股定理可得：，则，在中，由勾股定理可得：∴，在中，由勾股定理可得：，即解得，故答案为：45°，【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是作出合适的辅助线，找到全等三角形．三、解答题（本大题9小题，共98分）17.（1）计算：．（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．．解：．．．．．．第一步，．．．．．．第二步，．．．．．．第三步，．．．．．．第四步，．．．．．．第五步，经检验：是原方程的解．任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；任务二：直接写出该分式方程的正确结果为_______．【答案】（1）6；（2）任务一：二；忘乘；任务二：【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）任务一：查找方程出错的步骤，分析其原因即可；任务二：按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．【详解】（1）解：原式（2）任务一：以上解方程步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是忘乘，任务二：，两边都乘以，得解得．经检验：是原方程的解．故答案为：任务一：二；忘乘；任务二：．【点睛】此题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．18.某校为了解学生在“五·一”小长假期间参与家务劳动的时间t（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：（1）求所抽取的学生总人数；（2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足的人数；（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．【答案】（1）50（2）240（3）见解析【解析】【分析】（1）利用B中的人数除以所占的百分比即可求解；（2）先利用总人数减掉A、B、C、E的人数求得D人数，用学生总人数乘以D选项的百分比即可求解；（3）从条形图中人数的分布情况即可解答．【小问1详解】解：所抽取的学生总人数为（人），【小问2详解】解：D选项的人数为：（人），∴（人），∴该校学生参与家务劳动的时间满足的人数为240人；【小问3详解】解：A，B，C，D，E五个选项中，各自的百分比为：，，，，，根据五个选项所占的百分比可知，劳动时间在之间的学生占10%，劳动时间在之间的学生最多，占总人数的36%，劳动时间在之间的学生占总人数的30%，劳动时间在之间的学生占总人数的20%，劳动时间在之间的学生占总人数的4%．可得“五·一”小长假期间参与家务劳动的时间普遍较少，参加家务劳动的时间不少于4h的学生仅占总人数的4%，应把劳动教育融入家庭教育，让家长要求孩子多多参加家务劳动．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，识图是解题的关键．19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．（1）求、的值；（2）求的面积．【答案】（1）4；6（2）6【解析】【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【小问1详解】解：∵一次函数图象轴交于点，∴，OB=4，∴一次函数解析式为，设点C（m，n），∵的面积是2．∴，解得：m=1，∵点C在一次函数图象上，∴，∴点C（1，6），把点C（1，6）代入得：k=6；【小问2详解】当y=0时，，解得：x=-2，∴点A（-2，0），∴OA=2，∴．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．20.某商店用6000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了50%，同样用6000元购进的数量比第一次少了40件．（1）求第一次每件的进价为多少元？（2）若两次购进的玩具售价均为80元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？【答案】（1）第一次每件的进价为50元（2）两次的总利润为4000元【解析】【分析】（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+25%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解．【小问1详解】设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+50%）x，根据题意得：，解得：x=50，经检验：x=50是方程的解，且符合题意，答：第一次每件的进价为50元；【小问2详解】解：（元），答：两次的总利润为4000元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，有理数四则运算的应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．21.如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F．（1）求证：；（2）若，，连接，，求四边形的周长．【答案】（1）见解析（2）四边形的周长为25【解析】【分析】（1）由矩形的性质得，则，而，，根据“”即可证明；（2）由得，则四边形是平行四边形，因为，可证四边形是菱形，由勾股定理求得，则四边形的周长为25．【小问1详解】∵四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴；【小问2详解】∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形．又垂直平分，∴，∴四边形是菱形设，可得．在中，，解得，∴∴四边形的周长为【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．22.如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【答案】（1）（30+30）米；（2）20米．【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB．【小问1详解】解：过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；【小问2详解】过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题．23.如图，为的直径，点C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接，．（1）求证：是的平分线；（2）若，，求的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，先证明，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可；（2）证明，利用相似三角形的性质即可求出的长度；（3）连接，先证明是等边三角形，然后根据计算即可．【小问1详解】证明：连接，∵与相切于点C，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴是的平分线；【小问2详解】由（1）得：，∵是直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】连接，在中，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．24.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．【答案】（1）（2）E的坐标为：或或或（3）BP的最小值为：【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由可得抛物线的对称轴为：设而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），∴设二次函数为：把C（0，﹣3）代入抛物线可得：解得：∴抛物线为：【小问2详解】如图，由可得抛物线的对称轴为：设而A（﹣1，0），C（0，-3），当时，，解得即当时，解得：即当时，整理得：解得：综上：E的坐标为：或或或【小问3详解】如图，连结AD，记AD的中点为H，由则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，即BP的最小值为：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键．25.综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断