2023-2024学年哈尔滨市32中高一数学（下）期中考试卷附答案解析

2023-2024学年哈尔滨市32中高一数学（下）期中考试卷（满分100分）一、单选题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共40分）1．下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数02．如图，在矩形中，（）

A． B． C． D．3．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）4．在中，点为边的中点，记，则（

）A． B． C． D．5．棱长为的正四面体的表面积为（

）A． B． C． D．6．在中，，则的值为（

）A． B．5 C． D．7．直线m与平面平行，且直线，则直线m和直线a的位置关系不可能为（

）A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点8．已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全选对每小题5分，选对不全的每题3分，有选错的每题0分，共15分）9．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（

）A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为111．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（

）A．平行B．相交C．异面 D．以上皆不可能三、填空题（每小题5分，共15分）12．已知且则.13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．14．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为．四、解答题（每题10分，每小问5分，共30分）15．如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为，底面的半径长为.（1）求纸篓的容积；（2）现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）.16．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．17．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．1．C【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可C知正确；对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.2．B【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.【详解】在矩形中，.故选：B3．A【分析】根据棱柱的定义分析判断即可.【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以棱柱有（1）（3）（5）.故选：A.4．C【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】由题意可知，.故选：C5．A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.故选：A.6．D【分析】根据向量数量积公式求出答案.【详解】由题意得的夹角为，.故选：D7．C【分析】分析得到直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，得到答案.【详解】直线m与平面平行，且直线，则直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，因为若直线m和直线a相交，则或与相交，均与已知条件矛盾.故选：C8．B【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.9．AC【分析】根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，A选项正确.，所以B选项错误.，所以，所以C选项正确.，所以D选项错误.故选：AC10．AC【分析】根据已知条件求得球的半径，从而求得球的体积.【详解】设球的半径为，则，所以球的体积为，所以AC选项正确，BD选项错误.故选：AC11．ABC【解析】利用空间中两直线的位置关系求解.【详解】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；故选：ABC.12．【详解】试题分析：考点：1.向量的坐标运算；2.向量的模13．直角三角形【分析】利用正弦定理或余弦定理化简即可.【详解】方法一：所以的形状是直角三角形.方法二：又又即所以的形状是直角三角形.故答案为：直角三角形.14．【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解.【详解】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，圆锥高，母线长，圆锥的侧面积为，解得，所以圆锥的体积为.故答案为：.15．（1）；（2）353个.【分析】（1）应用圆柱体体积公式即可；（2）计算出一个纸篓要用的塑料，即侧面积加底面积即可，再用塑料制品的面积除以一个纸篓要用的材料，即可得到可以做多少个纸篓.【详解】解：（1）纸篓的容积为，（2）一个纸篓要用的塑料的面积为.由，故最多可以做353个这样的纸篓.16．（1）3，（2）7【分析】（1）在△ABC中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出，然后在中利用余弦定理求解即可【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，,则，（2）因为∠ACB＝60°，所以,在中，由余弦定理得，【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.【详解】（1）