线性代数与概率论（曹景龙第五版） 课件 第三章 线性方程组

第三章线性方程组第一节线性方程组的一般解法第三节齐次线性方程组第二节线性方程组解的判别第四节投入产出问题12本章知识思维导图引导案例---投入产出模型3假设一个经济系统由煤炭、电力和钢铁三个部门组成，每个部门的年度总产出已知，并且每个部门的总产出在各部门之间分配已知如下表3-1：

因所有产出都必须分配，求出平衡价格使得每个部门的收支平衡。分析：为使每个部门的收支都平衡，就是各部门的总收入等于它的总支出，就是本章要学习的齐次线性方程组的求解问题。

第一节线性方程组的一般解法4本节主要学习目标：[知识目标] 了解线性方程组的同解变换。 熟练掌握线性方程组的初等行变换解法。[能力目标] 能用矩阵的初等行变换确定线性方程组解的结构及求出方程组的解。5考虑由m个线性方程式构成的n元线性方程组

由未知量系数构成的m行n列矩阵称为系数矩阵,记作A,即矩阵

6由未知量构成的矩阵称为未知量矩阵,记作X由常数项构成的矩阵称为常数项矩阵,记作B

7这时此线性方程组可以表示为矩阵形式AX=B显然,线性方程组解的情况取决于未知量系数与常数项增广矩阵8定义3.1已知由m个线性方程式构成的n元线性方程组AX=B,由未知量系数与常数项构成的m行n+1列矩阵称为增广矩阵,记作

解线性方程组最常用的方法是消元法,即对线性方程组作同解变换.线性方程组的同解变换9定义3.2对线性方程组施以下列三种变换:(1)交换线性方程组的任意两个线性方程式(2)线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数k(3)线性方程组任意一个线性方程式的常数k倍加到另外一个线性方程式上去称为线性方程组的同解变换.例110解线性方程组

解:首先交换第1个线性方程式与第2个线性方程式,得到

例111再将第1个线性方程式的-3倍加到第2个线性方程式上去,得到

至此第2个线性方程式不含未知量x1,只含未知量x2,可以解出未知量x2的值,由于系数行列式

例112

最后将第2个线性方程式的-2倍加到第1个线性方程式上去,得到

即为此线性方程组的唯一解例113对线性方程组作同解变换,只是使得未知量系数与常数项改变,而未知量记号不会改变因此在求解过程中,不必写出未知量记号,而只需写出由未知量系数与常数项构成的增广矩阵,它代表线性方程组这时上面的求解过程可以表示为矩阵形式:

例114交换第1行与第2行

第1行的-3倍加到第2行上去

至此化为阶梯形矩阵,根据§1.4克莱姆法则,此线性方程组有唯一解例115

第2行的-2倍加到第1行上去

例116

所以此线性方程组的唯一解为

线性方程组的同解变换17交换线性方程组的任意两个线性方程式意味着交换增广矩阵的相应两行;线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数k增广矩阵的相应一行乘以非零常数k意味着线性方程组的同解变换18线性方程组任意一个线性方程式的常数k倍加到另外一个线性方程式上去增广矩阵相应一行的常数k倍加到另外相应一行上去意味着结论：对线性方程组作同解变换,相当于对增广矩阵作初等行变换.线性方程组的一般解法19上面的求解过程可以推广到一般情况,得到线性方程组AX=B的一般解法:

线性方程组的一般解法20如何将阶梯形矩阵经若干次初等行变换化为简化阶梯形矩阵？这时应该从右到左依次将非零行首非零元素所在列其余元素全化为零,只需将此非零行的适当若干倍分别加到其他各行上去线性方程组的一般解法21在上述步骤中,可根据需要,穿插将非零行首非零元素适时化为1,只需非零行乘以其首非零元素的倒数,或者另外一行的适当若干倍加到此行上去值得注意的是:由于此题所给线性方程组有唯一解,从而也可以应用行列式求解,如§1.4例1当然,还可以应用逆矩阵求解,如§2.4例7,都得到同样的结果.例222

解：

第1行的-3倍加到第2行上去,第1行加到第3行上去

例223第2行的-1倍加到第3行上去

注意到所得阶梯形矩阵第3行是零行,它代表第3个线性方程式

例224这是恒等关系式,对线性方程组的求解不起作用,是多余线性方程式这意味着构成此线性方程组的3个线性方程式不是完全有效的,其中1个线性方程式(如第3个线性方程式)可以去掉,而其余2个线性方程式(如第1个线性方程式与第2个线性方程式)是有效线性方程式它们不能完全约束3个未知量的取值,只能完全约束其中2个未知量的取值,而另外1个未知量可以自由取值例225自由取值的未知量称为自由未知量,非自由取值的未知量称为非自由未知量选择非自由未知量所依据的原则是:其系数行列式不为零.当然,这种选择不唯一,习惯于将脚标较大的未知量选作自由未知量,而将脚标较小的未知量选作非自由未知量例226所得阶梯形矩阵第1行与第2行代表2个有效线性方程式构成的线性方程组

将含未知量x3的项都移到等号的右端,有

例227对于未知量x1,x2,其系数行列式

任给未知量x3的一个值,根据§1.4克莱姆法则,得到未知量x1,x2的唯一解,它们构成此线性方程组的一组解,这说明此线性方程组有无穷多解例228对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

第2行乘以-1

例229第2行的2倍加到第1行上去

所得简化阶梯形矩阵第1行与第2行代表线性方程组

例230选择未知量x3为自由未知量,未知量x1,x2为非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表达式为

例231自由未知量x3取任意常数c,所以此线性方程组无穷多解的一般表达式为

当然,解线性方程组的具体过程不是唯一的例332解线性方程组

例333第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-1倍加到第3行上去

第2行加到第3行上去

例334对于全体未知量x1,x2,x3,其系数行列式D=0,根据§1.4克莱姆法则,此线性方程组无唯一解注意到所得阶梯形矩阵第3行代表第3个线性方程式0x1+0x2+0x3=1即有0=1例335得到矛盾的结果,这是线性方程组中一些线性方程式相互矛盾的反映说明未知量的任何一组取值都不能同时满足所有线性方程式,所以此线性方程组无解36本次课程结束第二节线性方程组解的判别37本节主要学习目标：[知识目标]熟练掌握线性方程组的解的判别定理。[能力目标]能利用解的判别定理确定线性方程组解的情况及求出方程组的一般解。例138

解：

第1行的-2倍加到第3行上去

例139第2行的-2倍加到第3行上去

例140又未知量的个数n也为3,有秩

对于全体未知量x1,x2,x3,其系数行列式

根据§1.4克莱姆法则,此线性方程组有唯一解.例141对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

第3行乘以-1

第3行的-1倍加到第1行上去第3行的-3倍加到第2行上去

例142第2行加到第1行上去

所以此线性方程组的唯一解为

例243解线性方程组

例244

对于未知量x1,x2,其系数行列式

但未知量的个数n为3,有秩

例245任给未知量x3的一个值,根据§1.4克莱姆法则,得到未知量x1,x2的唯一解,它们构成此线性方程组的一组解这说明此线性方程组有无穷多解,且有3-2=1个自由未知量对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

例246第2行的2倍加到第1行上去

第2行乘以-1

例247所得简化阶梯形矩阵代表线性方程组

选择未知量x3为自由未知量,未知量x1,x2为非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表达式为

例248

自由未知量x3取任意常数c,所以此线性方程组无穷多解的一般表达式为例349

解：

第1行的-3倍加到第2行上去第1行的-2倍加到第3行上去

例350第2行的-1倍加到第3行上去

例351所得阶梯形矩阵第3行代表第3个线性方程式0=-2得到矛盾的结果,这是线性方程组中一些线性方程式相互矛盾的反映,说明未知量的任何一组取值都不能同时满足所有线性方程式,所以此线性方程组无解.线性方程组的判别理论52定理3.1

例453

(2)判别线性方程组解的情况,若有解,则求解例454

第1行的-1倍分别加到第2行与第3行上去

例455第2行的-2倍加到第3行上去

例456

对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

例457第2行加到第1行上去

得到线性方程组

例458选择未知量x3,x4为自由未知量,未知量x1,x2为非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3,x4表示,其表达式为

自由未知量x3取任意常数c1,自由未知量x4取任意常数c2,所以此线性方程组无穷多解的一般表达式为

例459在例4中,也可以选择未知量x1,x4为自由未知量,相应的无穷多解的一般表达式为

注意:对于线性方程组有无穷多解的情况,由于自由未知量的选择不是唯一的,因而无穷多解的一般表达式也不是唯一的例560

讨论当常数λ为何值时,它有唯一解、有无穷多解或无解.解:

例561

当常数λ≠0且常数λ≠1时,有秩

所以此线性方程组有唯一解例562当常数λ=0时,有秩

所以此线性方程组有无穷多解例563当常数λ=1时,有秩

所以此线性方程组无解.例664

解:

例665第1行的-1倍加到第3行上去

第2行的-1倍加到第3行上去

容易看出,系数矩阵A的秩r(A)=2例666

得到关系式λ-4=0,所以常数λ=467考虑由n个线性方程式构成的n元线性方程组AX=B,其中系数矩阵A显然是n阶方阵注意到方阵经初等行变换后,其行列式是否等于零是不会改变的如果系数行列式不等于零,则系数矩阵A经初等行变换化为阶梯形矩阵后,其行列式的值虽然有可能改变,但仍不等于零,这意味着没有零行68

所以此线性方程组有唯一解69本次课程结束第三节齐次线性方程组70本节主要学习目标：[知识目标] 了解齐次线性方程组的矩阵形式。 熟练掌握齐次线性方程组的解的判别及求解计算。[能力目标] 能用初等行变换法熟练求出齐次线性方程组的解。71考虑由m个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组

它可以表示为矩阵形式AX=O72其中矩阵A为系数矩阵,矩阵X为未知量矩阵,零矩阵O为常数项矩阵,即矩阵

73当然,增广矩阵

74齐次线性方程组恒有解,即至少有零解:如果秩r(A)<n,则有无穷多解,意味着除有零解外,还有非零解如果秩r(A)=n,则有唯一解,意味着仅有零解,说明无非零解显然,如果有非零解,则秩r(A)<n75定理3.2已知由m个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组AX=O,那么:(1)如果秩r(A)<n,则此齐次线性方程组有非零解;(2)如果此齐次线性方程组有非零解,则秩r(A)<n.推论：当齐次线性方程式的个数少于未知量的个数即m<n时,齐次线性方程组有非零解.76考虑由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组AX=O其中系数矩阵A显然是n阶方阵如果系数行列式等于零,则系数矩阵A经初等行变换化为阶梯形矩阵后,其行列式的值仍然等于零这意味着有零行,从而系数矩阵A的秩r(A)<n所以此齐次线性方程组有非零解77如何解齐次线性方程组?对增广矩阵作若干次初等行变换,化为阶梯形矩阵判别有无非零解若有非零解对增广矩阵继续作若干次初等行变换,化为简化阶梯形矩阵还原为线性方程组后,从而得到齐次线性方程组的解.例178

(1)判别有无非零解;(2)若有非零解,则求解的一般表达式.例179解:

交换第1行与第3行

例180第1行与第2行皆加到第3行上去第1行的-1倍加到第2行上去

容易看出,系数矩阵A的秩r(A)=2,而未知量的个数n=3,有秩r(A)=2<n=3所以此齐次线性方程组有非零解.例181(2)对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

例182第2行的-1倍加到第1行上去

得到线性方程组

例183选择未知量z为自由未知量,未知量x,y为非自由未知量,非自由未知量x,y用自由未知量z表示,其表达式为

自由未知量z取任意常数c,所以此齐次线性方程组无穷多解的一般表达式为

例284

(1)判别有无非零解;(2)若有非零解,则求解的一般表达式.例285解:(1)由于齐次线性方程式的个数m少于未知量的个数n,即m=3<n=4所以此齐次线性方程组有非零解.例286

第1行的-3倍加到第2行上去第1行加到第3行上去

例287第2行的2倍加到第3行上去

第2行乘以-1

例288第2行的-1倍加到第1行上去

得到线性方程组

例289

90本次课程结束第四节投入产出问题

91本节主要学习目标：[知识目标] 了解经济学中投入产出问题。 理解产品分配平衡的线性方程组及其定理。[能力目标] 能用初等行变换法熟练求出产品分配平衡的线性方程组的解。92考虑一个经济系统,它由n个部门组成,这n个部门之间在产品的生产与分配上有着复杂的经济与技术联系,这种联系可以按实物表现,也可以按价值表现.下面的讨论采用价值表现,即所有数值都按价值单位计量.在复杂的联系中,每一个部门都有双重身份,一方面作为生产者将自己的产品分配给各部门,并提供最终产品,它们之和即为此部门的总产出;另一方面作为消费者消耗各部门的产品,即接收各部门的投入,同时创造价值,它们之和即为对此部门的总投入.当然,一个部门的总产出应该等于对它的总投入93首先考察各部门作为生产者的情况:第1部门分配给第1部门的产品为x11,分配给第2部门的产品为x12,…,分配给第n部门的产品为x1n,最终产品为y1,总产出为x1;第2部门分配给第1部门的产品为x21,分配给第2部门的产品为x22,…,分配给第n部门的产品为x2n,最终产品为y2,总产出为x2;…

…第n部门分配给第1部门的产品为xn1,分配给第2部门的产品为xn2,…,分配给第n部门的产品为xnn,最终产品为yn,总产出为xn.94其次考察各部门作为消费者的情况:第1部门消耗第1部门的产品为x11,消耗第2部门的产品为x21,…,消耗第n部门的产品为xn1,创造价值为z1,得到的总投入为它的总产出x1第2部门消耗第1部门的产品为x12,消耗第2部门的产品为x22,…,消耗第n部门的产品为xn2,创造价值为z2,得到的总投入为它的总产出x2…

…第n部门消耗第1部门的产品为x1n,消耗第2部门的产品为x2n,…,消耗第n部门的产品为xnn,创造价值为zn,得到的总投入为它的总产出xn95将上面的数据列成一张表,这张表称为投入产出平衡表部门间流量投入产出消费部门最终产品总产出12…n生产部门1x11x12…x1ny1x12x21x22…x2ny2x2⋮⋮⋮

⋮⋮⋮nxn1xn2…xnnynxn创造价值z1z2…zn

总投入x1x2…xn96在表中的前n行中,每一行都反映出该部门作为生产者将自己的产品分配给各部门,这些产品加上该部门的最终产品应该等于它的总产出,即

这个方程组称为产品分配平衡方程组.97在表中的前n列中,每一列都反映出该部门作为消费者消耗各部门的产品,即接收各部门对它的投入,这些投入加上该部门的创造价值就是对它的总投入,应该等于它的总产出,即

这个方程组称为产品消耗平衡方程组.98比较两个方程组,容易看出:在一般情况下,一个部门的最终产品并不恒等于它的创造价值,即等式yi=zi(i=1,2,…,n)非恒成立.但是,所有部门的最终产品之和一定等于它们的创造价值之和,即y1+y2+…+yn=z1+z2+…+zn为了揭示部门间流量与总投入的内在联系,还要考虑一个部门消耗各部门的产品在对该部门的总投入中占有多大比重,于是引进下面的概念.99定义3.3第j部门消耗第i部门的产品xij在对第j部门的总投入xj中占有的比重,称为第j部门对第i部门的直接消耗系数,记作

100在表中每个部门间流量除以所在列的总投入,就得到部门间的直接消耗系数,共有n2个,它们构成一个n阶方阵,称为直接消耗系数矩阵,记作A=(aij)n×n,即

101直接消耗系数具有下列性质:性质10≤aij<1

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)性质2a1j+a2j+…+anj<1

(j=1,2,…,n)102例1已知一个经济系统包括三个部门,报告期的投入产出平衡表如表所示，求报告期的直接消耗系数矩阵A部门间流量投入产出消费部门最终产品总产出123生产部门13040152153002302030120200330203070150创造价值210