(3.4)-第九章 层次分析数学建模

层次分析模型（AHP）第九章层次分析法1.层次分析模型2.层次分析法的改进3.残缺判断与群组决策第一节一、层次分析法的简介及模型背景二、层次分析法的基本原理与步骤层次分析模型

第九章三、层次分析法的应用四、特征向量W计算方法总结1.层次分析法的简介层次分析法发展的目的是将复杂的问题系统化，由不同层面给予层级分解，并透过量化的运算，找到脉络后加以综合评估。AHP的特点是在对复杂得决策问题的本质、影响因素、内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂问题提供简便的决策方法，是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。这是一种实用的多准则决策方法，能够统一处理决策中的定性和定量因素，具有高度的逻辑性、系统性、简洁性和实用性等优点。

一、层次分析法的简介及模型背景

2.层次分析法的模型背景

人们在生活中常常会面临许多的决策，存在着很多需要考虑的因素，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用，给用一般的数学方法解决问题带来了本质上的困难。我们引入了层次分析法，它不仅可以用于工程技术、经济管理、社会生活中的决策过程，而且可以用来分析和预报，如能源系统分析、科研成果评价、科研管理以及社会经济结构分析等。解决方法层次分析法二、层次分析法的基本原理与步骤1.使用对象系统由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

2.建模步骤①建立层次结构模型；

②构造判断（成对比较）矩阵；

③层次单排序及一致性检验；

④层次总排序及一致性检验。

①层次结构模型的建立与特点

应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。

这些层次可以分为三类：目标层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层；准则层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层；方案层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

建立层次结构模型具体层次结构如图9.1所示：目标层决策层准则层

准则1准则2准则3准则m方案层方案1方案2方案n

不同层次之间的连线表示其作用关系，同层次因素之间无连线，表示它们互相独立，成为内部独立。上述各层次之间的支配关系不一定是完全的，即可存在某个元素只与下一层次的部分元素有联系，上层元素对下层元素具有分配（或包含）关系，而下层对上层无支配关系，成为递阶层次结构。当某个层次包含因素较多时（如超过9个），可将该层次划分为若干层次。······

结合一个实例来说明递阶层次结构的建立引例假期旅游有3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如图1的层次结构模型。目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途

准则层

方案层

②

构造判断（成对比较）矩阵

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为解决此问题，我们可以做出如下假设：将一块重为1千克的石块砸成n小块，你可以精确称出它们的重量，设为，现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。

构造判断（成对比较）矩阵

目的：比较n个因子对某因素Z影响的大小。具体步骤：每次取两个因子和，以表示和对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称A为Z-X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若与对Z的影响之比为，则与对Z的影响之比应为：互反矩阵：若矩阵满足

(i)>0

,

(ii)则称之为互反矩阵（易见）

如何确定？

引用数字1~9及其倒数作为标度1~9标度的含义:标度含义1表示两因素相比，具有同样的重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2,4,6,8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断矩阵，则因素j与i比较的判断矩阵表9.1判断矩阵元素的标度方法一般作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作次比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。说明③层次单排序及一致性检验

层次单排序：判断矩阵A对应于最大特征值

特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。一致矩阵：(i)矩阵A的元素满足：(ii)矩阵A为正互反矩阵。那我们怎样判断是否接受矩阵A呢？

检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致

定理储备

定理1正互反矩阵A的最大特征根必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于。定理2若A为一致矩阵，则（i）A必为正互反矩阵；（ii）A的转置矩阵AT也是一致矩阵；（iii）A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank(A)=1（同样，A的任意两列也成比例）。（iv）A的最大特征值=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为0。

（v）若A的最大特征值对应的特征向量为，则，即：

定理3：n阶正互反矩阵是一致阵，当且仅当.

存在的问题：

其实大部分矩阵都不是一致矩阵，比如我们可以仔细观察矩阵A，可以发现，既然与之比为1:1，与之比为1:1，那么与之比也应该是1:1，而不是2:1，才能说明成对比较矩阵是正确的，故说明成对比较矩阵具有不完善的地方，即矩阵具有不一致性。然而，n个元素要作

次成对比较，全部一致的要求实现起来太麻烦了。解决方法：为了能检验成对比较矩阵的一致性，并且对不一致的地方作出修改完善，我们来讨论其一致性检验。

检验判断矩阵

的一致性（i）计算一致性指标CI:（ii）查找相应的平均随机一致性指标RI,对RI

的值如表2所示:表9.2平均随机一致性指标值（ⅲ）计算一致性比例CR:当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。阶数123456789

000.580.91.121.241.321.411.45④层次总排序及一致性检验利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可计算针对上一层次而言本层次所有元素重要的权值，这就是层次总排序，需要从上至下逐层进行。层次A和层次B的层次总排序权值计算表如下：层次A层次B层次总排序权值表9.4层次A和层次B的层次总排序权值

计算与层次单排序的检验量目的：为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，层次总排序一致性比率：其中：（层次总排序一致性指标）

（层次总排序随机一致性指标）当时，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。

三、层次分析法的应用例题：某单位拟从三名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用层次分析法对三人进行综合评估、量化排序。1.建立层次结构模型目标层准则层方案层选拔领导干部健康状况业务知识写作能力口才政策水平工作作风图9.2选拔领导干部问题层次结构模型示意图2.构造判断（成对比较）矩阵如果用依次表示健康状况、业务知识、写作能力、口才、政策水平、工作作风6个准则，设某人用成对比较法得到的成对比较矩阵为：3.层次单排序及其一致性检验由“选拔领导干部”的成对比较矩阵可知，A的最大特征值为其相应的特征向量为：

其一致性指标：查表可知平均随机一致性指标：一致性比率：故得：矩阵A通过一致性检验。以上，我们给出了准则层对目标层的特征向量，记做用同样的方法构造方案层对准则层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为特征值健康状况业务知识写作能力口才政策水平工作作风3.023.053.563.063.003.21由第三层的成对比较矩阵计算出最大特征根，特征向量，结果列入下表：表9.3各成对比较矩阵的最大特征值其对应的特征向量作为列向量构成的矩阵为经计算，均可通过一致性检验。4.层次总排序及其一致性检验通过以上综合可算出：解得即在3人中应选择权重最大的对应的候选人担任领导职务。此例题数据实现的主要程序如下：clear,clc;A=[111411/2;112411/2;11/21531/2;1/41/41/511/31/3;111/3311;222311];%成对比较矩阵[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);m=max(eigenvalue);lamda=mn=find(m==eigenvalue);%找到最大特征值对应的下标y_lamda=x(:,n)%最大特征值对应的特征向量s=sum(y_lamda);W2=y_lamda./s后面计算其他的程序同上%层次总排序W3=[W13W23W33W43W53W63];W=W3*W2%W2为准则层对目标层的特征向量，W3为方案层对准则层的特征向量

%判断矩阵的一致性%层次单排序的一致性检验N=size(A,1);CI=(lamda-N)/(N-1)

if(N==1)RI=0.00elseif(N==2)RI=0.00elseif(N==3)RI=0.58elseif(N==4)N==4RI=0.90elseif(N==5)RI=1.12

elseif(N==6)RI=1.24elseif(N==7)RI=1.32elseif(N==8)RI=1.41elseif(N==9)RI=1.45elseif(N==10)RI=1.49elseif(N==11)RI=1.51endCR=CI/RI%层次总排序的一致性检验Lamda=[lamda1lamda2lamda3lamda4lamda5lamda6];N=size(B1,1);CI1=(Lamda-N)/(N-1);CI=sum(CI1.*W2')RI=sum(0.58*W2')CR=CI/RI

四、特征向量W计算方法总结1.几何平均法（方根法）计算步骤:(1)A的元素按行相乘的一新向量；(2)将新向量的每个分量开n次方；(3)将所得的向量归一化即为特征向量W。2.算数平均法（求和法）由于判断矩阵A中的每一列都近似的反映了权值的分配情形，故可采用全部列向量的算术平均值来估计W，即计算步骤:(1)A的元素按列归一化，即求;(2)将归一化后的各列相加；(3)将相加后的向量除以n即得特征向量W。2.最小二乘法用拟合方法确定特征向量W，使残差和平方和最小。即求解如下模型：第二节层次分析法的改进一、未改进的AHP二、改进的AHP三、结论一、未改进的AHP1.存在的问题及解决方法①存在的问题：在实际问题中，一般都凭借着大致的估计来调整判断矩阵，虽然往往行之有效，但毕竟带有盲目性，并且不能排除经过调整才能通过一致性检验的可能性。开始②解决方法：利用最优传递矩阵的概念，对AHP进行改进。原始的AHP流程图如右：没有通过构造判断矩阵求A的最大特征值及对应的特征向量一致性检验结束通过没有通过2.定义及定理设定义2

若矩阵A的元素满足，则称A为互反矩阵；若矩阵B的元素，则称B为反对称矩阵。定义3A是互反矩阵，若，则称A是一致的；若B是反对称阵，且，则称B是传递的。显然，若A是一直阵，则

是传递的，反之，若B是传递阵，则是一致的。

定义4若存在传递矩阵C，且使最小，则称C为B的最优传递阵。显然若A是互反矩阵，，C为B的最优传递阵，那么可以认为是A的一个拟优一致阵。定理3若B是反对称阵，则B的最优传递阵C满足二、改进的AHP改进的AHP流程图如下：开始构造判断矩阵

求的特征向量结束用方根法求的特征值出于以下考虑：首先因为判断矩阵本身有相当的误差范围；其次方根法可在一定的范围内，使拟优的特征值更接近于最优的特征值。三、实例分析设为某目标的五个指标，它们之间构造的判断矩阵为第一步：利用，得到对应的反对称矩阵B如上：第二步：根据定理3，得到矩阵B的最优传递矩阵C和相应拟优一致阵分别为:第三步：用方根法求矩阵的特征向量为利用归一化后，得各指标权重为为与原始AHP进行对比，将结果列于表9.7，如下所示：表9.7原始与改进的AHP结果对比从表9.7可以看出，两种方法求出的特征向量中，相对于其他的几个权值来讲，变动较大，实际上，观察矩阵A

时，会发现其显示出不一致性，我们会综合考虑几个方面，修改。从C矩阵的构成上来看，改进的AHP是综合考虑了与所有其他指标的关系后，再综合调整的，改进的AHP实际上是在原始的AHP中设置了一个智能调整器。四、结论将人工给定的判断矩阵A，通过一个调整器，得到拟优意义下的一致阵，直接求出权值，不需要进行一致性检验，从理论证明到大量的上机验算说明这种方法可以调整人们认识上的不一致，并不能形成有效的原始判断矩阵，如何在最优意义下调整人们认识上的不一致，以及如何通过某些信息，机械化、智能化地有效的判断矩阵是值得深入研究的课题。第三节残缺判断与群组决策一、残缺判断的处理方法二、群组决策一、残缺判断的处理方法残缺判断处理方法：为解决层次很多，因素复杂的判断量很大的问题，充分利用残缺判断矩阵中的剩余信息，提高排序的可靠性，提出残缺判断处理方法。可接受条件的的引入：一个矩阵的残缺程度对排序的正确性是有明显影响的，信息越少，排序的随意性越大。要能够进行排序，必须对残缺程度及其位置有一些限制，故要研究什么样的残缺矩阵是“可接受的”，一个可接受的残缺判断应如何用于排序以及如何进行一致性检验等。1.残缺判断可接受的条件处理残缺判断的出发点是，当缺少某个元素的直接信息时，希望最终通过间接的判断获得。例如，元素可以通过获得，也可以通过获得。如果这种