CH1-3-4模糊集的T模与分解定理

1第3-4节

T-模与分解定理

2一、三角模

的概念本节是对模糊集运算进行拓广,就是将模糊集的并、交运算拓广到一般的T-模、S-模。1、T-模或T-范数或三角交1〕.从C.Elkan的西瓜问题谈起考虑一堆西瓜,定义西瓜为“里红且外绿”的水果,这里“红”与“绿”是模糊概念,从而这里的“西瓜”也是一个模糊概念。假设某水果里红的程度是0.5,外绿的程度是0.8.它隶属于西瓜的程度如何?3如果使用前述模糊集的交运算之定义,那么这个水果属于“西瓜”的程度为0.5∧0.8=0.5.然而,就直观的感觉而言,里红和外绿对于成为一个西瓜来说应该是互相加强的“证据单元”,因此这个水果隶属于“西瓜”的程度大于0.5才合理。当取两个模糊集的交集时,可能希望较大的模糊集对结果产生影响,但如果模糊交集选用min,那么可能较大的模糊集无法产生影响。4关于上述“西瓜问题”,吴望名教授做了如下论述：因为客观世界现象错综复杂，“交”算子的选取也应具体问题具体分析。C.Elkan所举西瓜“证据强度”的例子说明min算子用此例不适宜,但不能说采用别的算子就一定不适宜。目前“交”算子除采用min外,还可以用有界积、乘积、各种T-模算子、一致T-模算子、广义模算子等等。min算子作为“交”算子可用于许多论域,但当然不是所有论域,其它的“交”算子在一定条件下适用于一定的实际问题,数学的高度抽象性和客观世界的复杂多样性从来就是相辅相成的。因此对模糊逻辑算子的否认是站不住脚的.5T-模(triangularnorm,又称为三角模或T-范数)首先出现在K.Menger于1942年发表的论文“Statisticalmetrics”(统计度量)中,在这里,T-模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的。上世纪60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新严格定义了T-模(即现在通用的定义)和统计度量空间(现称为概率度量空间),从而导致了这个领域的飞速开展。由于T-模较好地反映了“逻辑与”的性质,因此T-模作为一般的“模糊与”算子一致受到模糊逻辑学界的青睐。6关于T-模及其在模糊逻辑中的应用,澳大利亚学者E.P.Klement,捷克学者R.Mesiar,南斯拉夫学者E.Pap在专著TriangularNorms(KluwerAcademicPublicashers,2000)中进行了全面总结。事实上,除了概率度量空间和模糊逻辑外,T-模还应用于决策支持、函数方程、测度理论、博弈理论等许多领域.

72〕.T-模的定义定义1T-模是单位区间[0,1]上的二元函数T,它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元1.即函数T:[0,1][0,1][0,1]满足以下条件(x,y,z[0,1]):(1)T(x,y)=T(y,x),(2)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),(3)当yz时,有T(x,y)T(x,z),(4)T(x,1)=x，T(x,0)=0,x[0,1].常用表示T,并将T(x,y)记为xy.8以下各式定义的都是T-模:(1)xy=min(x,y).(取小算子或GödelT-模)(2)xy=xy.(积算子或乘积T-模)(3)xy=max(x+y1,0).(LukasiewiczT-模)(4)当x,y至少有一个是1时xy取最小者,否那么,xy=0.(5)R0T-模(王国俊)92、S-模(T-余模)的概念定义2

S-模(三角余模或T-余模)是单位区间[0,1]上的二元函数S,它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元0.即函数S:[0,1][0,1][0,1]满足以下条件(x,y,z[0,1]):(1)S(x,y)=S(y,x),(2)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),(3)

当y

z时,有S(x,y)S(x,z),(4)S(x,0)=x，S(x,1)=1,

x[0,1].常用

表示S,并将S(x,y)记为x

y.10以下各式定义的都是S-模:(1)xy=max(x,y).(2)xy=x+yxy.(概率和)(3)xy=min(x+y,1).(有界和)(4)当x,y至少有一个是0时xy取最大者,否那么,xy=1.(突变和)(5)R0S-模(王国俊)113、否认函数〔补运算〕定义3设N:[0,1][0,1],称N是否认函数，如果N满足以下条件(1)N(0)=1,N(1)=0;(2)当x≥y时,有N(x)≤N(y).称否认函数N是严格的，如果N还满足：(3)N(x)是连续的；(4)当x＞y时,有N(x)＜N(y)称严格否认函数N是对合的，如果N还满足：(5)N(N(x))=x,x[0,1].12Yager算子是否认函数:c(x)=(1xw)1/w,w(0,)Sugeno算子是否认函数:c(x)=(1x)/(1+λx),λ(-1,)容易验证,F(X)关于上述定义的模并、模交以及补运算构成一个DeMorgan代数。13二、分解定理1.

截集定义设A

F(X),

[0,1],记A

={x|A(x)

,x

X}称A

为A的

截集。又记A+={x|A(x)>,x

X}称A+为A的

强截集。

称为置信水平或阈值。14定义设A

F(X),称A1={x

X|A(x)=1}为A的核,记为kerA.

称A0+={x

X|A(x)>0}为A的支集,记为suppA.称suppAkerA为A的边界.称hgtA=supA(x),xX为A的高度.称dphA=infA(x),xX为A的深度.15kerA

A

suppA

X16例1设求A的各

截集，kerA，suppA，hgtA，dphA.17定理设A,BF(X),,[0,1].那么截集有如下性质：(1)(A∪B)=A∪B,(A∩B)=A∩B.(2)(A∪B)+=A+∪B+,(A∩B)+=A+∩B+.(3)A+A.(4)假设AB,那么AB,A+B+.(5)假设>,那么AA,A+A+.(6)A=∩{A|[0,)}.A+=∪{A|(,1]}.18证明仅证(6)中的A=∩{A|[0,)}.设xA,那么A(x).从而对任意[0,)有A(x),所以xA,即x∩{A|[0,)}.反过来,设x∩{A|[0,)}.那么对任意[0,)有A(x),所以A(x)sup[0,)=.192.数积(截积)定义设A

F(X),

[0,1],

与A的数积(截积)A定义为：(A)(x)=

∧A(x),x

X.即

A仍为X上的模糊集。A20注意：设AP(X),[0,1],那么A21性质1〕设AF(X),1,2[0,1],且1≤22〕设那么223.模糊集合的分解定理定理对任意的A

F(X)有A=∪

[0,1]

A

。x23任取

[0,1],将模糊集A切成经典集合A

,再用

与A

作数积得模糊集

A

,将所有的数

A

(

[0,1])拼起来,组成∪

[0,1]A

,此模糊集就是A.24证明对任意的A

F(X)有A=∪

[0,1]A

只需证明对任意的x

X,A(x)=(∪

[0,1]A

)(x),即A(x)=∨

[0,1](A

)(x)=∨

[0,1](

∧A

(x)).由于A(x)[0,1],而∨

[0,1](

∧A

(x))=[∨

[0,A(x)](

∧A

(x))]∨[∨

(A(x),1](

∧A

(x))]注意到,当A(x)时A

(x)=1,反之,