杭州“六县九校”联盟2023学年第一学期高二期中模拟试题解析朱胜泉

杭州“六县九校”联盟2023学年第一学期高二期中模拟试题考试范围：必修第一册、必修第二册、空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆考试时间：120分钟；总分：150分；命题人：朱胜泉班级姓名学号成绩一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的并集运算即可.【详解】因为，，所以.故选：B.2．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角的定义即可求解.【详解】直线即的倾斜角为，故选：C.3．已知复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】计算出，利用复数模长公式求出答案.【详解】，故.故选：C4．若向量，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件应用空间向量数量积及模长公式逐项计算检验即可．【详解】若，，则，，故D正确；，所以B错误；，故A错误；显然与不平行，故C错误；故选：D．5．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.【详解】设，则，故为奇函数，故C,D错误；而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，故选：A6．四位爸爸、、、相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则的小孩与交谈的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设、、、四位爸爸的小孩分别是、、、，列举出所有的基本情况，并列举出“的小孩与交谈”所包含的基本情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】解：设、、、四位爸爸的小孩分别是、、、，则交谈组合有种情况，分别为：，，，，，，，，，的小孩与交谈包含的不同组合有种，分别为：，，，的小孩与交谈的概率是．故选：A.7．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间向量线性运算的几何意义结合已知条件，可把分解成基底向量的线性组合即可得解.【详解】如下图所示：

首先有，一方面：由，所以，又是的中点，所以，所以；另一方面：，且注意到分别是，的中点，所以.因此.故选：D．8．已知实数满足曲线的方程，则下列选项错误的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为【答案】C【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解【详解】的方程可化为，它表示圆心，半径为的圆.对选项A：表示圆上的点到定点的距离的平方，故它的最大值为，A正确；对选项B：表示圆上的点与点的连线的斜率，由圆心到直线的距离，可得，B正确；对选项C：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以其最小值为，故C错误；对选项D：设过点作曲线的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为，由，解得，故切线方程为，故D正确.故选：C.二、多选题9．下列说法错误的是（

）A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线【答案】ACD【分析】根据空间向量平行、空间点共面、空间向量夹角、基底等知识确定正确选项.【详解】A选项，若是零向量，是非零向量，则，但不存在实数，使得，A选项错误.B选项，，，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.C选项，当时，，与夹角为，C选项错误.D选项，如下图所示三棱锥，是空间的一个基底，但不共面，D选项错误.故选：ACD10．下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离为B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8.D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为.【答案】AB【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.【详解】解：对于A，点到直线的距离为，故A正确；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；故选：AB.11．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（

）A．事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B．事件A，B间的关系为C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为【答案】CD【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C、D.【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况，则所有的情况有：，，，，共20种，其中满足事件A的结果有：，，，，共11种，其中满足事件B的结果有：，，，共8种，故选项A错误；因为事件B的结果均在事件A中包含，故，故选项B错误；因为，所以的结果数有11种，所以，故选项C正确；因为，所以的结果数有8种，故，故选项D正确.故选：CD12．如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（

）

A．B．三棱锥的体积为C．直线与直线所成角的余弦值为D．直线与平面所成角正弦值为【答案】AC【分析】根据线面垂直的判定可证明平面可判断A；再根据即可判断B；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断C；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断D；【详解】对于A，由题意可得，又平面，所以平面，又平面，故，故A正确；对于B，在中，，边上的高为，所以，故B错误；对于C，在中，，，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故C正确；对于D，，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故D错误；故选：AC三、填空题13．若直线与直线平行，则实数a的值为．【答案】【分析】由两条直线平行，建立关于a的方程，解出即可.【详解】因为直线：与：平行，所以，即，解得或，当时，：与：重合，当时，：与：平行，合题意.故答案为：.14．点在角的终边上，则．【答案】2【分析】利用三角函数定义求出，再结合诱导公式、齐次式法求解作答.【详解】因为点在角的终边上，则，所以.故答案为：215．甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为．【答案】【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解．【详解】甲乙两射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：甲乙二人都没有射中目标，∴目标被射中的概率为．故答案为：．16．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为.【答案】【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，

故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：四、解答题17．已知函数．（1）求的值；（2）若角是锐角的一个内角，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）先根据两角和的三角公式、二倍角公式化简函数的解析式，再求的值；（2）先根据得到，再得到，最后将化成，根据两角差的余弦公式求解即可．【详解】解：（1）由题意知，．（2），，．【点睛】本题主要考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、特殊角的三角函数值等知识，考查考生的运算求解能力．在求解本题第（2）问时要注意条件“锐角”的运用，若注意不到这点，则会得到，从而多解．18．已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)已知过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）设圆心为，利用距离公式求出，即可得到圆心坐标与半径，从而得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出交点坐标，即可得到弦长，斜率存在，设斜率为，利用圆心到直线的距离求出参数的值，即可得解.【详解】（1）解：设圆心为，依题意有，解得或（舍去），，则，故圆的标准方程为（2）若斜率不存在，则，代入圆方程得，解得或，，符合题意；若斜率存在，设斜率为，则直线，即，由圆心到直线的距离为，即，所以，，即综上，所求直线的方程为或.19．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；（3）根据题意确定抽样比，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.（2）解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，这次测试成绩的平均数为（分）.（3）解：测试成绩位于的频率，位于的频率，因为，所以确定的5人中成绩在内的有3人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，从5人中随机抽取2人的样本空间：共有10个样本点，其中，即，所以概率为.20．如图1，是平行四边形，，．如图2，把平行四边形沿对角线AC折起，使与成角，

(1)求的长；(2)求异面直线与所成的角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空间向量加法运算知，再利用空间向量模长公式求解即可；（2）利用空间向量的加法运算及空间向量求夹角公式求解即可.【详解】（1）由已知，，，利用空间向量的加法运算知，所以，所以.（2）由已知，，，所以，所以，所以异面直线与所成的角的余弦值为.21．在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.【答案】(2)【分析】（1）先证BC⊥DO，BC⊥AO，可得BC⊥面DAO，即由线线垂直得线面垂直得两面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，含参表示相关向量，利用空间向量求二面角得出，再根据空间向量求点面距离即可.【详解】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面.又因为面，所以，即.因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以.又因为且，面，所以面，因为面，所以面面.（2）作交于，取中点为.因为，，所以.因为面，，面，所以，.如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.因为，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.设面的法向量为，则，取，则，，所以.设面的法向量为，则,取，则，，所以.由，且，解得，所以，.又因为，所以，所以到面的距离.

22．已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据求椭圆方程和离心率；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值.【详解】（1）由题设