高考复习二轮专项练习数学专题突破练21圆锥曲线的定义方程与性质

专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质一、单项选择题1.(2021·湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为178,则m的值为(A.1 B.2 C.12 D.2.(2021·四川成都七中月考)双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为xA.3 B.32 C.5 D.3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MFA.13 B.12 C.9 D.64.(2021·贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于()A.4 B.6 C.8 D.105.(2021·广东佛山二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1⊥PF2,若△PAF1A.3 B.2 C.23 D.4二、多项选择题6.(2021·江苏南通适应性联考)已知Rt△ABC中有一个内角为π3,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是(A.3+1 B.2 C.3 D.2+37.(2021·广东佛山模拟)已知双曲线C:9x216y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为5B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0C.△PF1F2的周长为30D.点P在椭圆x2100+8.(2021·重庆调研)如图所示,用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为3的球O,在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的()A.长轴长为3 B.离心率为1C.焦距为2 D.面积为3π9.(2021·山东青岛三模)已知曲线C:x29+y2m=1,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点A.若m=3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为πB.若曲线C的离心率e=2,则m=27C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得∠F1PF2=πD.若m=3,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为32三、填空题10.(2021·江苏南通一模)已知抛物线C:y=18x2上的点M到焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为.11.(2021·湖北十五中学联考体联考)x29+y22=1的焦点为F1,F2,点Р在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F112.(2021·湖南怀化模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交E于P,Q两点,且PF2⊥F2Q,且S△PF2Q=113.(2021·北京昌平二模)已知抛物线C:y2=4x与椭圆D:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有一个公共焦点F,则点F的坐标是;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB是直角三角形14.(2021·福建厦门外国语学校月考)点P在椭圆C1:x24+y23=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x8y+21=0上,则专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质1.B解析由题意,知抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=14根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=14m的距离,可得2+14m=2.D解析因为x2a2-y2b2=1(a>0,b>故b2a2=c2-3.C解析由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|MF则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.4.C解析抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=1.设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),代入抛物线的方程,消去x并整理,得y24my4=0.设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB的中点M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m=直线AB的方程为x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.5.D解析如图,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为ba=A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF1⊥PF2,所以P(a,b),△PAF1的面积为3a,可得12(a+c)·b=3a,解①②③,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.6.ACD解析当∠C=π3时,e=AB当∠B=π3时,e=ABAC当∠A=π3时,e=ABAC-7.BCD解析双曲线的标准方程为x216-y29=1,a=4,b=3,则c=5,渐近线方程为x4±y3=0,即3x±4|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周长为30,C正确;|PF1|+|PF2|=20,因此P在椭圆x2100+y275=1(此椭圆是以F1,F2为焦点,长轴长为208.BC解析由题意知,OB⊥AB,OB=3,∠BAO=60°,OA=OBsin∠BAO=332=2,椭圆C长轴长椭圆C的短轴长为球O的直径,即2b=23,b=3,c=a2-b2=4-3=1,椭圆C的离心率e=ca=1由图可知:椭圆C的面积大于球O大圆的面积,又球O大圆的面积S=3π,故椭圆C的面积大于3π,D错误.9.ABD解析对于A选项,当m=3时,曲线C:x29-y23=1表示焦点在x轴上的双曲线,渐近线方程为y=±33x,故渐近线的倾斜角分别为π6,5对于B选项,离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2,故c=6,所以m=c2a2=369=27,所以m=27,故B选项正确;对于C选项,若m=3,则曲线C:x29+y23=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,3),则cos∠F1MF2=a2+a2-4c22a2=-618=13<0,故∠F1MF2为钝角,所以曲线C对于D选项,若m=3,则曲线C:x29+y23=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为Smax=12×2c×b=12×10.26解析抛物线C的方程可化为x2=8y.设M(x0,y0),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=2的距离为5,从而y0=3.将y0=3代入x2=8y,可得|x0|=26,所以点M到y轴的距离为2611.2π3解析由椭圆x29+y22=根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=27,所以4+|PF2|=2a=6,解得|PF2|=2.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1所以∠F1PF2=212.x24+y22=1解析如图所示,连接PF1,QF1,因为所以四边形PF1QF2是平行四边形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,又因为PF2⊥F2Q,所以平行四边形PF1QF2是矩形.设PF1=m,PF2=n,由题意得m+n则b2=a2c2=2,故E的标准方程为x24+13.(1,0)5-12解析由抛物线的方程所以抛物线C与椭圆D的公共焦点为F(1,0),且抛物线准线方程为x=1,椭圆左焦点为(1,0),联立x=c与椭圆x2a2+y2b2=1,因为△AOB是直角三角形,所以b2a=c,即b2又b2=a2c2,所以a2c2=ac,左、右同除以a2,可得e2+e1=0,解得e=-1±又e∈(0,