湖北省恩施州三年2020-2022年中考数学真题分类汇编-03解答题

湖北省恩施州三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答

题

一.分式的化简求值（共3小题）

1.（2022•恩施州）先化简，再求值：式其中

x2x

2_

2.（2021•恩施州）先化简，再求值：1-空2+—一,其中”=&-2.

a+4a2+8a+16

22

3.（2020•恩施州）先化简，再求值：（-/一2）+旦其中小=&.

m2-6m+9m-3m-3

二.一次函数的应用（共3小题）

4.（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活

动.已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型

客车共需1300元.甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生.

（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？

（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？

5.（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生

机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种

产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销

售10千克茶叶的总售价相同.

（1）求每千克花生、茶叶的售价；

（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销

60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各

销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

6.（2020•恩施州）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球.已知A品牌足球的单价比3

品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量与用720元购买B品牌足球

的数量相等.

（1）求4、B两种品牌足球的单价；

（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B

品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A品牌足球，"

个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？

最低费用是多少元？

三.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)

7.(2022•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知/ACB=90°,A(0,

2),C(6,2).。为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且SMBC=3SA4DC.反比例

函数yi=K(kWO)的图象经过点。.

X

(1)求反比例函数的解析式.

(2)若A8所在直线解析式为y2=ox+b(aKO),当yi>”时，求x的取值范围.

是BC的中点，ZABC=30°,BC=4,双曲线y=K经过点4.

X

(1)求攵；

(2)直线4c与双曲线y=-虺叵在第四象限交于点。，求的面积.

9.(2020•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=or-3〃(aWO)与x轴、y轴分别

相交于A、B两点，与双曲线y=K(x>0)的一个交点为C,且BC=4AC.

x2

(1)求点A的坐标；

(2)当SAAOC=3时，求a和A的值.

四.二次函数综合题(共3小题)

10.(2022•恩施州)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-/+c与y轴交于点

P(0,4).

(1)直接写出抛物线的解析式.

(2)如图，将抛物线了=-7+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为。，

平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点4在点8的右侧)，与y轴交于点C.判断以

B、aQ三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

(3)直线BC与抛物线y=-/+c交于M、N两点(点N在点M的右侧)，请探究在x

轴上是否存在点T,使得以从N、T三点为顶点的三角形与aABC相似，若存在，请求

出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)若将抛物线y=-7+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一

个公共点时，请直接写出抛物线y=-?+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐

标.

上，抛物线y=/+6x+c经过点B,0(-4,5)两点，且与直线。C交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,

B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为连接ME,BP,探究

EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

12.(2020•恩施州)如图1,抛物线产-工W+bx+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x

=2与x轴相交于点A,。为线段8c的中点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为线段8c上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP,以点例为中心，将△MPC

逆时针旋转90°,记点尸的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y=-

X.^+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标.

4

（3）AMPC在（2）的旋转变换下，若PC=M（如图2）.

①求证：EA=ED.

②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长.

五.菱形的判定（共1小题）

13.（2020•恩施州）如图，AE//BF,8。平分/ABC交AE于点O,点C在8尸上且BC=

AB,连接CO.求证：四边形ABC。是菱形.

六.矩形的性质（共1小题）

14.（2021•恩施州）如图，矩形ABCO的对角线AC,BO交于点0,S.DE//AC,AE//BD,

连接0£求证：OE_LA£>.

七.正方形的性质（共1小题）

15.（2022•恩施州）如图，已知四边形A8CQ是正方形，G为线段AO上任意一点，C£±

BG于点、E,OF_LCE于点F.求证：DF=BE+EF.

八.切线的性质（共1小题）

16.（2022•恩施州）如图，P为。。外一点，PA,PB为。0的切线，切点分别为A、B,直

线PO交OO于点。、E,交AB于点C.

（1）求证：ZADE=ZPAE.

（2）若/AQE=30°,求证：AE=PE.

17.（2021•恩施州）如图，在中，乙408=90°,。。与AB相交于点C,与A0

相交于点E,连接CE,已知NAOC=2NACE.

（1）求证：A8为。。的切线；

（2）若40=20,B0=15,求CE的长.

E

一十.圆的综合题（共1小题）

18.（2020•恩施州）如图1,A8是。。的直径，直线AM与。0相切于点A,直线BN与0。

相切于点8,点C（异于点4）在AM上，点力在。。上，且CD=CA,延长CO与BN

相交于点E,连接AD并延长交8N于点F.

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）求证：BE=EF；

（3）如图2,连接EO并延长与00分别相交于点G、H,连接若AB=6,AC=4,

求tan/BHE.

一十一.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

19.（2021•恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳

新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶。处观测乙居民楼楼底8处的俯角是30°,

观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°,已知甲居民楼的高为10”，求乙居民楼的高.（参

考数据：1.414,百厚1.732,结果精确到0.1〃?）

一十二.解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）

20.（2022•恩施州）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成

趣.某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳4处测得古亭8位于

北偏东60°,他们向南走50根到达。点，测得古亭8位于北偏东45°.求古亭与古柳

之间的距离AB的长（参考数据：A/2«1.41,巡心1.73,结果精确到

,匕

4^东

A

D

21.（2020•恩施州）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小

岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P

位于其北偏东60。方向.求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：加心

1.414,73^1.732）.

一十三.条形统计图（共1小题）

22.（2020•恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年

级学生中随机抽取部分学生进行调查.调查结果分为四类：A类--非常了解；8类--

比较了解；c类--般了解；。类--不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计

图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）。类所对应扇形的圆心角的大小为；

（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺

炎防控知识非常了解的约有名.

一十四.方差（共1小题）

23.（2021•恩施州）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳

绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果

绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：

185185185

185

180

175

170

165

/II1IIIII.

°12345678号

平均数中位数众数方差

甲175ab93.75

乙175175180,175,170C

（1）求4、〃的值；

（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由;

（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一

分钟跳绳成绩谁优.

一十五.列表法与树状图法（共1小题）

24.（2022•恩施州）2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好

少年”主题活动.某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动

的情况，随机抽取该校部分学生进行调查.根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如

图）.请结合图中信息解答下列问题：

（1）本次共调查了名学生，并补全条形统计图.

（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生

约有多少名？

（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳

动感受.请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率.

参考答案与试题解析

分式的化简求值（共3小题）

1.(2022•恩施州)先化简，再求值：x2-14-ZZ1-1,其中》=y.

x2x

【解答】解：3H+zzi-1

X2VX

=(x+l)(x-l).X_]

2

xX-l

=x+l一1

X

=x+l-x

X

-_--1，

X

当工=百时，原式=_^=1_.

V33

2_

2.(2021•恩施州)先化简，再求值：]-J-4其中。=&-2.

a+4a2+8a+16

2

【解答】解：1gzl

2

a+4a+8a+16

—j_a-2r(a+4)2

a+4(a+2)(a-2)

=1-a+4

a+2

—a+2-a~4

a+2

=-—,

a+2

当。=&-2时，原式=-厂2----V2.

V2-2+2

3.(2020•恩施州)先化简，再求值：(一记唱.一旦)小旦其中m=&.

m2-6m+9m-3m-3

22

【解答】解：(:_2).4

m-6m+91n-3m-3

_「(m+3)(irr3)__3〔m-3

2

(m-3)m-3m2

=(m+3一3).irrS

2

m-3m-3m

_mm-3

m-3m2

=1.

m

当皿=料时，

原式=3=&♦

V22

二.一次函数的应用(共3小题)

4.(2022•恩施州)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活

动.已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型

客车共需1300元.甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生.

(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？

(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？

【解答】解：(1)设租用甲种客车每辆x元，租用乙种客车每辆)，元，

根据题意可得，行刊=500,

|2x+3y=1300

解得卜=200.

]y=300

租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元.

(2)设租用甲型客车〃？辆，则租用乙型客车(8-m)辆，租车总费用为w元，

根据题意可知，w=200/n+300(8-m)=-100w+2400,

•.T5m+25(8-m)>180,

V-100<0,

.".w随m的增大而减小，

.•.当m=2时,w的最小值为-100X2+2400=2200.

...当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2200元.

5.(2021•恩施州)“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生

机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种

产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销

售1()千克茶叶的总售价相同.

(1)求每千克花生、茶叶的售价；

(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销

60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各

销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：(1)设每千克花生x元，每千克茶叶(40+x)元，

根据题意得：50x=10(40+x),

解得：x=10,

40+x=40+10=50(元)，

答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；

(2)设花生销售机千克，茶叶销售(60-俄)千克获利最大，利润卬元，

由题意得：［6m+36(60-m)41260,

Iirf42(60~m)

解得：30W,〃W40,

w=(10-6)m+(50-36)(60-m)=4〃?+840-14〃?=-10m+840,

V-10<0,

随m的增大而减小，

当，"=30时，利润最大，

此时花生销售30千克，茶叶销售60-30=30千克，

w垠大=-10X30+840=540(元)，

，当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元.

6.(2020•恩施州)某校足球队需购买A、B两种品牌的足球.已知A品牌足球的单价比B

品牌足球的单价高20元,且用900元购买A品牌足球的数量与用720元购买B品牌足球

的数量相等.

(1)求4、B两种品牌足球的单价；

(2)若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B

品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A品牌足球机

个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？

最低费用是多少元？

【解答】解：(1)设购买A品牌足球的单价为x元，则购买8品牌足球的单价为(x-20)

元，

根据题意，得90°=720,

x-20

解得：JC=100,

经检验x=100是原方程的解，

%-20=80,

答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；

(2)设购买机个A品牌足球，则购买(90-巾)个B品牌足球，

则W=100〃?+80(90-m)=20m+7200,

品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过

8500元，

,fl00m+80(90-m)<8500i

Im^2(90-m)

解不等式组得：60<mW65,

所以，〃z的值为：60,61,62,63,64,65,

即该队共有6种购买方案，

当〃i=60时，W最小，

相=60时，W=20X60+7200=8400(元)，

答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是

8400元.

三.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)

7.(2022•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知NACB=90°,4(0,

2),C(6,2).。为等腰直角三角形4BC的边BC上一点，S.S&ABC=3SMDC.反比例

函数>1=区的图象经过点£).

(1)求反比例函数的解析式.

(2)若AB所在直线解析式为y2=or+b(“#0),当时，求x的取值范围.

：.AC=f),

•••△ABC是NC为直角的等腰直角三角形，

：.BC=AC=6,

为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且SAA«C=3SAADC.

:.CD=2,

：.D(6,4),

:反比例函数v=Kawo)的图象经过点。，

X

・・・Z=6X4=24,

...反比例函数的解析式为y=24;

X

(2)VA(0,2),B(6,8),

.•.把4、8的坐标代入*=ax+6得，b=2,

[6a+b=8

解得卜=1,

lb=2

，)2=X+2,

'24

解y<得卜=-6或h=4,

y=x+2]y=Yly=6

...两函数的交点为(-6,-4),(4,6)

...当yi>>2时，x的取值范围是x<-6或0<x<4.

8.(2021•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，n△A8C的斜边BC在x轴上，坐标原点

是BC的中点，ZABC=30°,BC=4,双曲线y=K经过点A.

X

(1)求心

(2)直线AC与双曲线y=-2®在第四象限交于点。，求△4BO的面积.

x

【解答】解：(1)如图，作AH_LBC于H,

为△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，NABC=30°,BC=4,

：.(?C=ABC=2,AC=BCXsin30°=2,

2

,：ZHAC+ZACO=90°,NA8C+/ACO=90°,

.•.NHAC=NABC=30°,

，C，=ACXsin30°=1,AH=ACXcos30°=愿，

：.OH=OC-CH=2-1=1,

AA(1,M),

•双曲线y=K经过点A,

X

.•.收=苧

即k=M；

(2)设直线AC的解析式为丫=丘+4

VA(1,如),C(2,0),

.f0=2k+b

，，

'lV3=k+b

解得|k=%,

b=2V3

...直线AC的解析式为y=-心+2代,

•.•直线AC与双曲线y=-3应在第四象限交于点

__X

y=-V3x+2V3

・”3^3，

y二------

X

解得卜=3或卜7

Iv=-v3Iy=3V3

在第四象限，

:.D（3,-如）,

S^ABD—S^ABC+S^BCD——BC*AH+—BC*（-加）=/x4XV3，x4X«=4我.

9.(2020•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=or-3“(a/0)与x轴、y轴分别

相交于A、8两点，与双曲线丫=区(x>0)的一个交点为C,且BC=1/C.

x2

(1)求点A的坐标;

(2)当&AOC=3时，求a和/的值.

【解答】解：(1)由题意得：令y=ax-3a(aWO)中y=0,

即ax-3a=0,解得x=3,

.•.点A的坐标为(3,0),

故答案为(3,0).

(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示:

显然，CMIION,

：.ZBCM=ZBAO,且NABO=NCBO,

ABCM^ABAO,

.BC_CM；即.1_CM；

"BA"AO'''亘下’

，CM=1,

又SAAOC比A・CN=3

即：yX3XCN=3-

：.CN=2,

.♦•C点的坐标为(1,2),

故反比例函数的々=1X2=2,

再将点C(1,2)代入一次函数y=ox-3a(ar0)中，

即2=“-3"，解得a=-1,

.,.当SzxAOC=3时，a--\,k=2.

四.二次函数综合题(共3小题)

10.(2022•恩施州)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线)，=-，+c与y轴交于点

P(0,4).

(1)直接写出抛物线的解析式.

(2)如图，将抛物线了=-7+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为。，

平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点8的右侧)，与y轴交于点C.判断以

B、aQ三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

(3)直线BC与抛物线y=-/+c交于M、N两点(点N在点M的右侧)，请探究在x

轴上是否存在点T,使得以从N、7三点为顶点的三角形与AABC相似，若存在，请求

出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)若将抛物线y=-7+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一

个公共点时，请直接写出抛物线y=-7+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐

标.

【解答】解：(1)•.•抛物线y=-7+c与y轴交于点P(0,4),

，c=4,

.•.抛物线的解析式为＞=-/+4；

(2)aBCQ是直角三角形.理由如下：

将抛物线)，=-f+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y=-(x+1)2+4,

二平移后的抛物线顶点为0(-1,4),

令x=0,得y=-1+4=3,

：.C(0,3),

令y=O得-(x+1)2+4=0,

解得：Xl=l,X2=-3,

：.B(-3,0),A(1,0),

如图1,连接3Q,CQ,PQ,

VP(0,4),0(-1,4),

・・・PQJ_y轴，PQ=1,

VCP=4-3=1,

:・PQ=CP,NCPQ=90°,

：./\CPQ是等腰直角三角形，

，NPCQ=45°,

'：0B=0C=3,NBOC=90°,

/\BOC是等腰直角三角形，

：.ZBCO=45°,

，NBCQ=180°-45°-45°=90°,

...△BCQ是直角三角形.

(3)在x轴上存在点T,使得以氏N、T三点为顶点的三角形与aABC相似.

「△ABC是锐角三角形，ZABC=45°,

...以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须NNBT=N4BC=45°,

即点T在y轴的右侧，

设T(x,0),且x>0,贝ijBT=x+3,

•：B(-3,0),A(1,0),C(0,3),

/ABC=45°,AB=4,BC=3&,

设直线BC的解析式为y=fcv+6,

则13k+b=0,

lb=3

解得：0=1,

lb=3

直线BC的解析式为y=x+3,

：.M(0M),N(-1/,5/),

2222

...Byv=_5jV5_x^2=§近

22

①当△NBTs^cBA时，则

BNBC

解得：

3

：.T(1+2代,o)；

3

②当△NBTS/XABC时，则亚=屁，

BNBA

-x+3一啦

^SV^-H/IO

~2~

解得：尸3+3遥,

4

:.T(一3号运,0)；

4_

综上所述，点T的坐标T(1+K芯,0)或(3+3函,0).

34

(4)抛物线y=-7+4的顶点为P(0,4),

•.•直线BC的解析式为y=x+3,

•••直线4B与y轴的夹角为45°,当抛物线沿着垂直直线A8的方向平移到只有1个公共

点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，

设平移后的抛物线的顶点为P'(f,4-f),

则平移后的抛物线为y=-(x-z)2+4-Z,

由-(x-力2+4-z=x+3,

整理得：/+(1-2?)x+P+L1=0,

•••平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，

；.△=(1-2/)2-4(?+?-1)=0,

解得：f=5,

8

平移后的抛物线的顶点为p'(5，红)，平移的最短距离为百返

11.(2021•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。为正方形，点A,B在x轴

上，抛物线y=/+bx+c经过点B,D(-4,5)两点，且与直线OC交于另一点£

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点0,F,E,

B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为连接ME,BP,探究

EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

贝1]。8=48-4。=5-4=1,故点8的坐标为(1,0),

则(l+b+c=0,解得,b=2,

[16-4b+c=5Ic=-3

故抛物线的表达式为y=f+2x-3；

(2)存在，理由:

•.•点。、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为(2,5),

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线彳=-1,故设点F的坐标为(-1,〃?),

由点8、E的坐标得，BE2=(2-1)2+(5-0)2=26,

设点Q的坐标为(s,力，

•.•以点Q,F,E,3为顶点的四边形是以BE为边的菱形，

故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E,则Q(F)向右平移1个单位向上

平移5个单位得到点F(Q),且BE=EF(BE=EQ),

fs+l=~lfs-l=-l

则.t+5=m或,t-5=m,

,26=(2+l)2+(m-5)226=(s-2)2+(t-5)2

，m=5±V17s=0

解得，s=-2或，t=5±

t=±V17m=±V22

故点尸的坐标为(-1.5+V17)或(-1,5-717)或(-1,V22)或(-1,-V22)；

(3)存在，理由：

由题意抛物线的对称轴交x轴于点B'(-1,0),将点B'向左平移1个单位得到点B"

连接交函数的对称轴于点过点M作MP_Ly轴，则点P、M为所求点，此时

EM+MP+PB为最小，

理由：B"=PM=\,且8'B"〃PM,故四边形B"B'PM为平行四边形，则B"

M=B'P=BP,

贝ijEM+MP+PB=EM+1+MB"=B"E+\为最小，

由点8"、E的坐标得，直线B"E的表达式为丫=2(x+2),

4

当工=-1时，y=—(x+2)=区，故点M的坐标为(-1,—),

-444

22=

则EM+MP+PB的最小值B"£+1=1(_2-2)+(0-5)VH+1.

12.(2020•恩施州)如图1,抛物线产-耳+fec+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x

=2与x轴相交于点A,£)为线段BC的中点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为线段8c上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP,以点M为中心，将aMPC

逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y=-

A.^+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标.

4

(3)AMPC在(2)的旋转变换下，若PC=M(如图2).

①求证：EA=ED.

②当点E在(1)所求的抛物线上时，求线段CM的长.

【解答】解：(1):点C(6,0)在抛物线上，

0=4X36+6b+c,

4

得到6b+c=9,

又；对称轴为x=2,

解得b=1,

**•c=3,

二次函数的解析式为y=[x2+x+3：

(2)当点M在点C的左侧时，如图2-1中:

：抛物线的解析式为y='x2+x+3，对称轴为x=2,C(6,0)

点A(2,0),顶点B(2,4),

：.AB=AC=4,

.•.△ABC是等腰直角三角形，

二/1=45°；

•.♦将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF,

：.FM=CM,Z2=Z1=45°,

设点M的坐标为(m,0),

点FCm,6-in),

又；N2=45°,

直线EF与x轴的夹角为45°,

设直线EF的解析式为y=x+d,

把点F(〃2,6-m)代入得：6-m=m+b,解得：d=6-2m,

直线EF的解析式为y=x+6-2m,

•.•直线EF与抛物线y=fx2+x+3只有一个交点，

y=x+6-2m

••19,

y=—x+x+3

整理得:#+3加。，

:.A=b2-4ac=0,解得m=—,

2

点M的坐标为(3,0).

2

当点M在点C的右侧时，如下图:

由图可知，直线EP与x轴的夹角仍是45°,因此直线EF与抛物线y=-x2+x+3不可

能只有一个交点.

综上，点M的坐标为（3,0）.

2

（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PGLx轴于点G,过点E作EHLx

：.PG=GC=\,

.•.点G(5,0),

设点M的坐标为（加，0）,

•・•将△MPC逆时针旋转90°得到△MER

：・EM=PM,

•：NHEM+NEMH=NGMP+NEMH=9U°,

NHEM=NGMP,

，ZEHM=ZMGP

在△E//M和aMGr中，，ZHEM=ZGMP«

EM=MP

：.4EHM学/\MGP(A4S),

：.EH=MG=5-m,HM=PG=1,

:.点H(w-1,0),

.,.点E的坐标为(〃?-1,5-m)；

,■EA=V(m-1-2)^+(5-m-0)=v2m^-16m+34，

又：£＞为线段BC的中点，B(2,4),C(6,0),

点D(4,2),

・♦ED—Q(m-1-4)?+(5-m-2)?~*v2m^-16m+34'

：.EA=ED.

同理，点E的坐标仍为（机-1,5-m）,因此E4=ED

②当点E在（1）所求的抛物线y=-x2+x+3上时，

把E-1,5-机）代入，整理得：血2-10加+]3=0,

解得：m=5+273^/«=5-273.

ACM=2V3-1或CM=1+2V3.

五.菱形的判定（共1小题）

13.（2020•恩施州）如图，AE//BF,8。平分/ABC交AE于点£>,点C在B尸上且BC=

AB,连接CD求证：四边形A8CQ是菱形.

DE

【解答】证明：：AE〃BF,

NADB=NDBC,

；BO平分/ABC,

：.ZDBC=ZABD,

：.NADB=NABD,

：.AB=AD,

又；AB=BC,

：.AD=BC,

,JAE//BF,S|JAD//BC,

...四边形ABC。为平行四边形，

5L'：AB=AD,

...四边形ABC。为菱形.

六.矩形的性质（共1小题）

14.（2021•恩施州）如图，矩形ABC。的对角线4C,8。交于点O,且。E〃AC,AE//BD,

连接OE.求证：OELAD.

【解答】证明：•••四边形ABCO为矩形,

：.OA=OD.

'：DE//AC,AE//BD,

四边形4OOE为平行四边形.

'：OA=OD,

平行四边形AODE为菱形.

，OELAD.

七.正方形的性质（共1小题）

15.（2022•恩施州）如图，已知四边形A8CD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE_L

BG于点、E,。尸_LCE于点尸.求证：DF=BE+EF.

【解答】证明：；四边形A8CO是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90°,

"：CELBG,DFLCE,

:.NBEC=NDFC=90°,

ZBCE+ZCBE=90°=NBCE+ZDCF,

：./CBE=/DCF,

在△CBE和△£>(7尸中，

rZEBC=ZFCD

<ZBEC=ZCFD>

BC=CD

/.△CBE^ADCF(MS),

：.CF=BE,CE=DF,

'：CE=EF+CF,

：.DF=BE+EF.

八.切线的性质(共1小题)

16.(2022•恩施州)如图，P为OO外一点，PA.PB为。。的切线，切点分别为A、B,直

线PO交。。于点。、E,交AB于点C.

(1)求证：AADE^ZPAE.

(2)若/A£>E=30°,求证：AE=PE.

(3)若PE=4,8=6,求CE的长.

A

・・・用为。。的切线，

C.AOLPA,

：.ZOAE+ZPAE=9G0.

・・・£>£是。0的直径，

：.ZDAE=90°,

AZADE+ZAED=90°.

t：OA=OE,

：.ZOAE=NAED,

：.ZADE=ZRAE；

(2)证明：由(1)知：ZADE=ZPAE=30°,

*：ZDAE=90°,

AZAED=90°-ZAD£=60°.

*/ZAED=ZRAE+ZAPE,

：.ZAPE=ZPAE=30°,

：.AE=PE；

(3)解：设CE=x,则。E=C£>+CE=6+x,

：.OA=OE=^-

2

：.OC=OE-CE=^Z2L,

2

0P=0E+PE=1^2L.

2

'：PA,P8为OO的切线，

：.PA=PB,P。平分NAPB,

J.POLAB.

,：PA为。。的切线，

：.AO-LPA,

/.△OAC^AOBA,

••*OA=.O.P..,

OCOA

6+x14+x

,~2~/~2~

*,6-x6+x，

~2~~2~

即：AlOx-24=0.

解得：x=2或-12（不合题意，舍去），

：.CE=2.

九.切线的判定与性质（共1小题）

17.（2021•恩施州）如图,在RtZkAOB中，NAOB=90°,。0与AB相交于点C,与AO

相交于点E,连接CE,己知N4OC=2/ACE.

（1）求证：AB为。。的切线；

（2）若4。=20,50=15,求CE的长.

【解答】（1）证明：；OC=OE,

：.ZOCE=ZOEC,

；/AOC=2/ACE,

AZOCA=ZOCE+ZACE=1(ZOCE+ZOEC+ZAOC)=J^x1R0°=90°,

22

OCA.AB,

为。。的切线；

(2)解：作EH_LAC于"，

'：AO=20,BO=15,

•*-AB=VOA2+OB2=V202+152=25,

..11

•包A・OBJAB,OC，

即920X15-1x25X00

：.OC=12,

：.AE=OA-OE=20-12=8,

:EHLAC,OCLAC,

：.EH//OC,

：./\AEH^/\AOC,

.AE=EH>

,,而oc'

即旦=理,

2012

5

,**BC=VOB2-OC2=V152-122=9,

：.AC=AB-BC=25-9=16,

VA/7=VAE2-EH2=J82-

Vbb

：.CH=AC-AH=\6-丝=组

55

H

E

C

[O/B

一十.圆的综合题（共1小题）

18.（2020•恩施州）如图1,AB是。。的直径，直线AM与相切于点A,直线BN与。。

相切于点B,点C（异于点A）在AM上，点。在。。上，且C£>=CA,延长CZ）与BN

相交于点E,连接AO并延长交BN于点E

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）求证：BE=EF；

（3）如图2,连接E。并延长与。。分别相交于点G、H,连接8机若AB=6,4c=4,

求tan/B4E.

【解答】解：（D如图1中，连接0。

:CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

'：OA=OD

：.ZOAD^ZODA,

直线AM与。。相切于点4,

AACAO=ZCAD+ZOAD=90a,

二ZODC=ZCDA+ZODA=90°,

；.CE是（DO的切线.

(2)如图1中，连接

•：OD=OB,

；・/ODB=/OBD,

•・・CE是OO的切线，8尸是OO的切线,

：.ZOBE=ZODE=90°,

：・/EDB=NEBD,

：.ED=EB,

•・・4M_LAB,BNLAB,

:./CAD=/BFD,

,/ZCAD=ZCDA=ZEDF,

:・/BFD=/EDF,

：・EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如图2中，过E点作ELJ_AM于L则四边形ABEL是矩形,

图2

设BE=x,则CL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-