适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数课时规范练27正弦定理和余弦定理及其应用

课时规范练27正弦定理和余弦定理及其应用基础巩固组1.(2023辽宁丹东二模)在△ABC中,AC=2,BC=3,A=60°,则cosB=()A.±22 B.±12 C.122.在△ABC中,c2=bccosA+accosB+abcosC,则此三角形必是()A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形3.(2023广西梧州一模)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinC+π3=csinA.若a=2,b=4,则c=()A.2 B.23 C.4 D.2134.在△ABC中,若AB=2,AC=3,AB·AC=3,则BC=(A.3 B.7 C.19 D.235.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若B=C≠A,且a(b2+c2-a2)=b2c,则A=()A.π6 B.πC.π4 D.6.(多选)在△ABC中,若(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论中正确的有()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为87.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=8.为了测量一个不规则公园中C,D两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距1km的A,B两点,点B在点A的正东方向上,且A,B,C,D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上,点D在它的西北方向上.从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上,点D在它的北偏西75°方向上,则C,D之间的距离为km.

9.在△ABC中,AB=2,若BC·CA=12,则综合提升组10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且ac=2+bcosAccos(AA.π6 B.πC.2π3 D11.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=.12.如图,在四边形ABCD中,CD=33,BC=7,cos∠CBD=-714(1)求∠BDC;(2)若∠A=π3,求△ABD周长的最大值创新应用组13.某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图所示,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为.(只需写出一种方案)

①C,D两点间的距离;②C,E两点间的距离;③由点C观察点A的仰角α;④由点D观察点A的仰角β;⑤∠ACE和∠AEC;⑥∠ADE和∠AED.14.(2023四川南充二模)在△ABC中,内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知bsin(B+C)=asinA+C2,且△ABC的面积为3,则△ABC周长的最小值为A.22 B.6 C.62 D.6+23

课时规范练27正弦定理和余弦定理及其应用1.D解析由正弦定理BCsinA=ACsinB,得sinB=2sin60°3=222.B解析由c2=bccosA+accosB+abcosC,则c2=bc·b2+c2-a22bc+ac·a2+c2-b22ac+ab·a2+b2-3.B解析由asinC+π3=csinA,得sinAsinC+π3=sinCsinA,又∵sinA≠0,则sinC+π3=sinC,即12sinC+32cosC=sinC,∴tanC=∵C∈(0,π),∴C=π3,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+16-2×2×4×12=12,得c=23.故选4.B解析由AB=2,AC=3,AB·AC=3,可得2×3×cosA=3,所以cosA=12.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=22+32-2×2×3×12=7,故BC=75.B解析因为a(b2+c2-a2)=b2c,所以2a×b2+c2-a22bc=b,即b=2acosA,所以sinB=2sinAcosA=sin2A,所以B=2A或B+2A=π.若B+2A=π,则C=A,这与题设不符合,故B=2A,又B=C,所以6.ACD解析由题意,设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x,解得a=4x,b=5x,c=6x.所以sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,所以A正确;由以上可知C最大,cosC=(4x)2+(5x)2由以上可知A最小,cosA=(5x)2+(6x)2-(4x)2即cosC=cos2A,因为C为锐角,2A为锐角,所以C=2A,所以C正确;因为cosC=18,所以sinC=1设△ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理可得2r=csinC=1677,所以r=8777.1解析sin2AsinC8.2解析由题意可知,∠CAB=90°-45°=45°,∠DAB=90°+45°=135°,∠CBA=90°+15°=105°,∠CBD=15°+75°=90°,∠DBA=15°,故在△ABC中,∠ACB=180°-45°-105°=30°,故BCsin∠CAB=在△ABD中,∠ADB=180°-15°-135°=30°,故BDsin∠DAB=所以在Rt△DBC中,CD=BC2+9.π4解析设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.因为BC·CA=12,所以abcosC=-12,由余弦定理得ab·a2+b2-42ab=-12,得a2+b2=3.由余弦定理可得cosA=b2+4-a24b=b2+4-(3-b2)4b=10.B解析因为ac=2+bcosAccos(A+C),所以sinAsin所以sinAcosB=2sinCcosB-sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB,即sin(A+B)=2sinCcosB,所以sinC=2sinCcosB.又C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosB=12又B∈(0,π),所以B=π3,故选B11.3-1解析设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得AC2AB2=4t2+4-2×2t×2cos60°t2+4-2t×2cos120°=4t212.解(1)在△BCD中,∵cos∠CBD=-714∴sin∠CBD=1-(-7∴sin∠BDC=BC·又∠CBD为钝角,∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=π6(2)在△BCD中,由余弦定理得cos∠CBD=BC2+解得BD=4或BD=-5(舍去).在△ABD中,∠A=π3,设AB=x,AD=y由余弦定理得cosA=AB2+AD2-BD2整理得(x+y)2-16=3xy.由基本不等式得(x+y)2-16=3xy≤3(x+y)24,即(x+y)24≤16,所以(x+y)2≤64,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)13.①③④或②③⑤解析经分析可知,若选①③④,在△ACD中,∠ACD=π2-α,∠ADC=π2+β,∠CAD=α-β,所以所以AC=cosβsin(α-β)·CD,所以AB=AC·sinα若选②③⑤,已知∠ACE和∠AEC,则∠CAE=π-∠ACE-∠AEC,由ACsin所以AC=sin∠AECsin所以AB=AC·sinα=sin∠AECsinαsin其他选择方案均不可求得AB长.14.B解析由bsin(B+C)=asinA+C2,得bsinA=asinπ-B2,由正弦定理得sinBsin∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴sinB=cosB2即2sinB2cosB2=cos∵B∈(0,π),则B2∈0,π