2023年福建省高一数学竞赛试题参考答案

1、PAGE PAGE 82023年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间：5月10日上午8：3011：00一、选择题每题6分，共36分1.集合的子集有 A4个 B8个 C16个 D32个【答案】 C 【解答】由，知，结合，得。的子集有个。2假设直线与直线：关于直线对称，那么与两坐标轴围成的三角形的面积为 A1 B CD【答案】 D 【解答】在直线：取点，那么关于直线的对称点在直线上。又直线与直线的交点在直线。过和两点，其方程为。与坐标轴交于和两点，与坐标轴围成的三角形的面积为。3给出以下四个判断：1假设，为异面直线，那么过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。2对平面，和直线，假设，

2、那么。3对平面，和直线，假设，那么。4对直线，和平面，假设，且过平面内一点，那么。其中正确的判断有 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 B 【解答】3、4正确；1、2不正确。对于1，设，过和的平面为，那么当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交。4如图，正方体，为中点，那么二面角的正切值为 A1 B C D第4题第4题 图【解答】如图，作于，作于，连结。由为正方体，知，。又。因此，。为面角的平面角。设正方体棱长为，那么，。第4题答题图第4题答题图图5为等腰直角三角形，为中点，动点满足条件：，那么线段长的最小值为 A B2CD4【答案】B【解答】以所在直线为轴，为坐标原点，建立

3、平面直角坐标系。那么、。设，由，知。，即，化简，得。时，有最小值2。此时，。6记，那么，的大小关系为 A B C D必要时，可以利用函数在上为增函数，在上为减函数【答案】 A 【解答】，。设，由在上为增函数，在上为减函数，得，于是。，即，于是，。又显然，。于是，。二、填空题每题6分，共36分7为奇函数，为偶函数，且，那么。【答案】 【解答】依题意，有，。由为奇函数，为偶函数，得。，得，。8直线：的倾斜角为，假设，那么的取值范围为。【答案】 【解答】当时，；当时，解得；当时，解得。的取值范围为。9如图，在三棱锥中，为等边三角形，那么与平面所成角的正弦值为。第9题第9题 图【解答】如图，作于，那么

4、就是与平面所成的角。，。设，那么。又，。第9题答题图第9题答题图或求出外接圆半径后，再求解。10函数的最小值为。【答案】 【解答】由，知，或。的定义域为。和在上都是减函数，在上都是增函数。在上是减函数，在上是增函数。的最小值是与中较小者。，。的最小值是。11函数，且在区间上的最小值为，那么在区间上的最大值为。【答案】 10【解答】设，那么在上为增函数。时，在上为增函数。，。时，在上为增函数。，。12假设实数，满足条件：，那么的最小值为。【答案】【解答】由条件知，因此，。由对称性，不妨设，那么。设，代入，消并整理，得。由的判别式，得或。由知，。又时，化为，得，此时，符合。的最小值为。因此，的最小

5、值为。三、解答题第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，总分值78分13在中，点，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。 直线的方程为。 8分设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。直线的方程为。 12分由，解得。 点的坐标为。 16分14，且对任意实数，恒成立。1求证：；2假设当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值。【答案】1 对任意实数，恒成立， 对任意实数，即恒成立。，即。 4分，。 8分2由以及1知，。恒成立，等价于恒成立。 12分设，那么。由，知的取值范围为。，的最小值为。

6、 16分15如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点。1求证：；2求证：平分。【答案】1由为圆切线，知。、是圆的切线，为中点，、三点共线，且。第15题 图，第15题 图。 4分，为中点，。于是，。又。第15题答题图。 第15题答题图2延长交圆于点，连结，。由，知.，。 12分又为中点，。，。平分。 16分2或解：连结、。由，知。又由切割线定理知，第15题答题第15题答题图、四点共圆。 12分。又于，因此，。平分。 16分16正整数，为的三边长，且，求的最小值。其中表示的小数局部，即表示不超过的最大整数。【答案】由，知即，被15除的余数相同。 4分，。由2与15互质知， 8分经验算，可知满足的最小正整数。，都是4的倍数。 12分设，为正整数，且。，构成三角形三边长，。经验证，5，可以为三角形的三边长。的最小值为27。此时，。 16分17集合。集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。求的最大值。其中表示集合的元素的个数。【答案】首先集合符合要求。此时，。5分设，满足：在的任意三个元素