上海市罗山中学高三数学理测试题含解析

上海市罗山中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在三棱锥中，底面ABC，，，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为A.

B. C.

D.参考答案：D2.（本小题满分12分）已知函数对任意实数恒有，且当x＞0时，又.（1）判断的奇偶性；

（2）求证：是上的减函数；

（3）求在区间[－3,3]上的值域；

（4）若，不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）解：取则取对任意恒成立

∴为奇函数.3.设是定义在R上的函数，则下列叙述一定正确的是

（

）

A.是奇函数

B.是奇函数

C.是偶函数

D.是偶函数参考答案：【知识点】函数奇偶性的判定.

B4【答案解析】D

解析：对于选项A：设，则，所以是偶函数，所以选项A不正确；同理可判断：奇偶性不确定，是奇函数，是偶函数，所以选D.【思路点拨】依次设各选项中的函数为，再利用与关系确定结论.4.已知的终边在第一象限，则“”是“” （

） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分与不必要条件参考答案：D略5.在△ABC中，A=60°，BC=，D是AB边上的一点，CD=，△CBD的面积为1，则BD的长为（）A． B．4 C．2 D．1参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据三角形的面积求出sin∠BCD和cos∠BCD，结合余弦定理进行求解即可．【解答】解：∵△CBD的面积为1，∴S=CD?BCsin∠BCD=×sin∠BCD=1，即sin∠BCD=，∵A=60°，∴cos∠BCD=，在三角形BCD中，BD2=CD2+BC2﹣2CD?BCcos∠BCD=2+10﹣2??=12﹣8=4，则BD=2，故选：C．6.函数的图象的大致形状是

(

)

参考答案：D略7.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】分析各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，不合乎题意；对于B选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，且该函数在上单调递增，合乎题意；对于C选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，不合乎题意；对于D选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，由于，所以，该函数在上不可能为增函数，不合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查函数单调性与奇偶性定义的应用，属于中等题.8.如图，已知点是抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切，且与轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径为（

）A．

B．5

C．

D．4参考答案：D由抛物线定义得与轴的两个交点必有一个为焦点（1，0），所以另一个交点为（5，0）.因此选D.

9.

已知函数在上是减函数，且对任意的总有则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.极限存在是函数在点处连续的

（

）（Ａ）充分而不必要的条件

（Ｂ）必要而不充分的条件（Ｃ）充要条件

（Ｄ）既不充分也不必要的条件

参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则函数的最小正周期为__________．参考答案：12.已知，则

（

）.参考答案：，令，则，，所以，所以，.13.（坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是

．参考答案：坐标系与参数方程选做题）

略14.阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是___________.参考答案：2略15.若，则=

；参考答案：316.已知x，y满足，则z=x-y的取值范围是

。参考答案：17.在△ABC中，∠A=90°，的值是

.参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.二次函数满足，且.(1）求的解析式；(2）在区间上，图象恒在直线上方，试确定实数取值范围.参考答案：（1）由，可设故由题意得，，解得；故(2）由题意得，

即对恒成立设，则问题可转化为又在上递减，故，故

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为（1，），可得+=1，解出即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a．由题意，得4a=8，解得a=2．

∵点P的坐标为（1，），∴+=1，解得b2=3．∴椭圆C的方程为+=1．（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．∵P在椭圆上，∴+=1，解得y0=，即P（c，）．∵F1（﹣c，0），∴=（﹣2c，﹣），=（x1+c，y1）．由=λ，得﹣2c=λ（x1+c），﹣=λy1，解得x1=﹣c，y1=﹣，∴Q（﹣c，﹣）．∵点Q在椭圆上，∴（）2e2+=1，即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1，∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ﹣1，从而λ==﹣3．∵e∈[，]，∴≤e2≤，即≤λ≤5．∴λ的取值范围为[，5]．20.（12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P1；（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，5）上有且只有一个零点，则必有，即：，解得：，∵∈N*，∴η=4．（3分）当η=4时，P1==．（6分）（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，（7分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，（10分）从而ξ的分布列：ξ 0 1 2 3P ξ的数学期望：Eξ==．…（12分）21.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且..（I）求的值；（II）若面积的最大值.

参考答案：（I）；（II）【知识点】三角函数的性质解三角形解析：（I）在△ABC中，由余弦定理可知，，由题意知，∴；又在△ABC中A+B+C=π,∴（II）∵b=2，∴由可得，∴，∵，∴，∴，∴△ABC面积的最大值为.【思路点拨】熟悉余弦定理特征是求角B的关键，当已知三角形内角时注意利用含夹角的面积公式进行解答.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，点，直线l的