角动量与刚体转动

§3.7角动量力矩 角动量定理

角动量（动量矩angularmomentum）概念是在动量概念的基础上建立起来的描述质点相对某定点运动状态的物理量。质点的动量依赖于参考系的选择，确定质点的角动量还要再增加一个根据——在确定动量的参考系中选择一个固定参考点。角动量反映转动的特征。一、质点的角动量

它的模

按矢量叉乘的规定它的方向：，，即垂直于和所决定的平面，且与和成右手螺旋。角动量与参考点的选择有关。

在给定的参考系中，质点的速度为，相对固定参考点（可以是坐标原点，也可以是其它任意的固定点）的位置矢量为。定义质点相对定点的角动量矢量

与和成右手螺旋二、力（对点之）矩

力作用于质点，在给定参考系中，质点相对固定参考点O的位置矢量为。定义力对定点O的力矩为力矩的模

是O到力作用线的垂直距离

力矩的方向：力矩垂直于和所决定的平面，且与，成右手螺旋。

力矩与参考点的选择有关。

如果固定点位于力的作用线上，对这个参考点的力矩为零。

相对于图中参考点两个力的力矩如何？三、

质点的角动量定理

——Newton第二定律的矩变形设o为选定惯性系中的固定参考点，质点相对o的位置矢量为，速度为。

以表示作用于质点的合外力，故用叉乘上式两侧

由于

角动量为力矩为立即得到——称为质点的角动量定理式中

是合外力相对惯性系中固定参考点的力矩。

是质点相对于同一参考点的角动量。表明相对于同一参考点，质点受到的合(外)力矩等于质点角动量的时间变化率。这个定理把质点所受的合外力矩和它角动量的瞬时变化率联系起来了。即质点相对某定点角动量守恒的条件是相对该点的合外力矩为零。显然，若则常矢量——称为质点的角动量守恒注意在角动量守恒中，和应该相对同一个参考点而言。常矢量[例题1]

质量为的滑块沿直线轨道，以速度 匀速滑动。求它相对于原点O和固定点A（0，b，0）的角动量解：在指定参考系中质点动量以原点O为固定参考点质点位置矢量质点角动量以点A（0，b，0）为固定参考点质点位置矢量质点角动量[例题2]

质点在平面内以速率绕原点O逆时针匀速转动。圆周轨道半径为，求它相对于原点O的角动量。解：质点的动量矢量随时变化，但它相对于原点O的角动量却是个常矢量。

这个例子表明，对于一个运动质点，在指定参考系中，相对不同的固定参考点，有不同的角动量。质点动量的方向不指向参考点时，它具有绕定点转动的倾向，角动量不为零。如果质点作惯性运动，质点角动量是守恒量。[例题3]

我国第一颗人造地球卫星近地点高度439km，远地点高度2384km，地球平均半径6370km。求卫星在近地点与远地点速率之比。解：以地球为参考系，地心O为固定参考点。卫星在地球引力作用下做椭圆轨道运动，相对O点卫星的角动量守恒。地心O在椭圆的一个焦点上，卫星过近地点p，远地点a时，其速度垂直于位置矢量。由于力过圆心，因此相对圆心的力矩为零，角动量守恒。解：绳对小球的拉力沿绳方向，是个变矢量。如果取O为固定参考点，拉力的力矩始终为零。在小球轨道半径与速率变化的过程中，它相对点的角动量守恒[例题4]光滑的水平桌面上开有一个小孔。穿过小孔的细绳，一端系着一个质量为的小球，一端在桌面下被人用力拉住，如图，小球在桌面上以速率沿半径为的圆周运动。然后，向下拉绳，使小球轨道半径减小到，求小球线速率及动能变化。小球只受径向力的作用，横向速率为什么增大？

在小球与点距离缩短的过程中，轨道是缓慢收缩的螺旋线，径向拉力并不垂直于轨道切线，正是拉力的切向分量使小球有切向加速度，速率增加。小球动能变化

小球轨道半径由收缩到的过程中，拉力所作的功§3.8 质点系的角动量定理角动量守恒定律一、力矩矢量和研究质点系统所受力矩的矢量和。

设质点受到的合力为的力矩相对于定点的位矢为作用于系统的所有力对定点力矩的矢量和[例题6]

计算质点系所受重力力矩解：重力是彻体力，作用于系统中每一个质点。重力力矩其中及对于定点，系统所受重力矩等于集中了质点系总质量的质点位于系统质心时相对点所受重力力矩。或者说，物体所有质量元受重力作用，就重力矩的整体效果而言，与总重力作用于物体质心等效。[例题7]

力偶的力矩分别作用于两个质点上的大小相等，方向相反的一对力和称为力偶。

但和不一定是一对作用力和反作用力。在一般情形下，和并不沿两质点的连线。以为参考点，力偶的力矩为所以力偶矩与参考点选择无关。矢量由两质点连线决定，与参考点的选择无关。不难看出：

一对作用力和反作用力相对任何参考点的力矩矢量和必然为零。系统内力相对任何固定参考点的力矩矢量和恒为零。

显然，作用于质点系上的一切力的力矩矢量和只是外力矩的矢量和，即注意：外力矩与参考点的选择有关。二、系统内力性质的小结⑴内力成对出现，所有内力的矢量和为零。⑵

一对内力的功与参考系的选择无关，一对保守内力的功还与路径无关且等于系统相关势能的减少，非保守内力的功是系统机械能和其它形式能量转换的量度。⑶在任一过程中，所有内力冲量的矢量和为零。⑷

内力不影响系统质心的运动状态，不改变系统的总动量。内力的冲量使总动量在系统内部重新分配。⑸系统内力相对任一固定参考点的力矩矢量和为零，内力矩不改变系统的总角动量。三、质点系的总角动量质点系的总角动量是所有质点相对同一固定参考点角动量的矢量和一般说来，系统总角动量是与参考系和固定参考点的选择有关的。但是，如果在给定参考系中质点系总动量为零（其实这个参考系就是系统的质心系），那么系统总角动量与参考点的选择无关。四、

质点系的角动量定理让我们对所有质点取和，得设有质点系统，取o为惯性系中的固定参考点。质点受到的合外力矩与它的角动量满足质点的角动量定理左侧为质点系受到的所有内力力矩与外力力矩之和，记为为系统所受外力矩的矢量和。上式要求被选用的参考系是惯性系，和应相对于同一固定参考点计算。右侧为质点系的总角动量

由于相对于任意参考点，内力力矩的矢量和为零，即，因此，有质点系的角动量定理表明相对于惯性系中同一固定参考点，系统所受到的合外力矩等于系统总角动量的时间变化率。五、角动量守恒定律从质点系角动量定理可知，若系统所受到的合外力矩为零，即，则系统的总角动量守恒反之，若质点系统持续处于静止状态，也可以根据系统角动量恒为零而认定：相对任一固定参考点(同一惯性系中)外力矩矢量和为零。常矢量表明系统角动量守恒的条件是外力矩矢量和为零。应该指出，研究角动量守恒首先需要关注参考点，要恰当选择参考点。⑵如果外力矩矢量在一个方向上的投影为零，角动量矢量在同一方向上的投影守恒。⑴确定外力矩矢量和为零的参考点与确定角动量守恒的参考点必须一致。注意：在物理学中，守恒定律是最强有力的分析手段。究其实质是：在某一确定环境下，相互作用的物体无论发生什么样的变化，仍然有这种或那种可量度的量(如质量、能量、动量、角动量等)的总和在整个观察期间保持不变。守恒定律能够透过纷乱芜杂的表面变化，令人信服地指出一种或几种潜在的内部稳定性。这种稳定性一旦被辨认出来，事件就由一团混沌立即变得井然有序。[例题7]宇宙飞船去考察一质量为，半径为的行星，当飞船相对行星静止且距离其中心为时，以速度发射角发射探测仪器，如图所示。仪器质量远小于飞船质量，要使仪器掠过行星表面，发射速度与发射角应满足什么条件？MRq0vmR5MRq0vmR5解：把行星作为惯性系。仪器发射后，只受行星引力作用，以行星中心为固定参考点，仪器角动量守恒。仪器发射角如图，它将掠过行星表面，故MRq0vmR5MRq0vmR5仪器——行星系统机械能守恒

解⑵有，仪器掠过行星表面的速度为⑴⑵代入⑴式，则发射角应满足由上述关系，知道发射速度应满足MRq0vmR5MRq0vmR5第四章刚体的转动一、刚体定轴转动运动学 刚体是按物体实际形状建立起来的理想模型。它既忽略物体在运动过程中的形变，又拒绝物体内部存在质量流动。我们把刚体看作质量连续分布的质点系，而且是受到刚性约束的质点系。刚体中各质点之间的距离保持不变。刚体的最基本运动形式就是平动和定轴转动以及定点运动(绕确定点运动)。1.

刚体的平动设为静止的坐标系，为固定在刚体上且与相应轴平行的坐标系。刚体运动时随之运动，如果对应轴和，和，和始终保持平行，则称刚体作平动。

刚体平动时，刚体内所有的质点有相同的速度和加速度。所以平动刚体上任何一个质点的运动状态都具有代表性，都反映着刚体的平动，这个质点的轨道，并不一定是直线，它可以是任意曲线。平动作为刚体的一种基本运动形式，完全排斥了转动，排除了刚体内质点运动状态的差异，排除了质点相对刚体质心系的运动。刚体作平动时它的：总动量总动能总角动量 研究刚体的平动时，可以将刚体看成质量集中于质心的质点的运动。2.刚体的定轴转动刚体运动时，如果有两个质点的位置始终不改变，那么，这两个点的连线形成一条固定不动的轴线。其余质点均绕此轴线作圆周运动。在指定参考系中，这个刚体作定轴转动。转动轴线可能是刚体的对称轴，也可能不是，可能在刚体上，也可能不在刚体上；转动轴线也不一定是实在的机械轴。刚体定轴转动时，每个质点都在垂直于固定轴线的平面内作圆周运动。通常将与转动轴垂直的平面称为转动平面。转动平面内刚体截面的运动具有一定的代表性。研究截面的运动是个二维问题，但足以透视三维空间中的定轴转动。将刚体的固定轴线取作轴，并取的正方向与刚体转动正方向成右手螺旋。质点在转动平面中，以为圆心，为半径作圆周运动。将矢径作为刚体取向的标志，用表示刚体的角位置角加速度

、、对刚体中的所有质元都是一致的。刚体的角速度前面一直没有涉及角速度的方向，实际上角速度也是有方向的，并且定义角速度的方向与刚体转动的方向成右手螺旋关系，如图所示。定义刚体的角速度矢量

是转动轴线上的单位矢量，与转动正方向成右手螺旋。规定了角速度的方向后，我们可以给出刚体上任一点的速度为其中速率速度

因此看作相对转轴的“位矢”

刚体的平动与转动二、刚体定轴转动动力学 转动惯量由于刚体可以看成是一个刚性质点系，因此前面关于质点系的角动量定理仍然适用于刚体，只是刚体要求系统内任何两点之间距离保持不变。刚体定轴转动的规律是质点系角动量定理的直接推论如图所示，刚体绕轴转动，角速度为是刚体上的任一个质元，它在平面(转动平面)内绕点作圆周运动，半径为

1.

刚体总角动量在转轴上的投影以固定轴上的原点为参考点刚体的总角动量为质点的速度速率为则刚体角动量在轴上的投影为注：式中，由刚体质量相对于转轴的分布所唯一确定，称为刚体绕指定轴的转动惯量，记为因此，刚体的总角动量在转轴上的投影为2.定轴转动刚体的动能

与质点动能相比较，转动惯量在定轴转动问题中起到的作用，类似于质量在质点问题中作为惯性量度起到的作用。按质点系总动能的概念，刚体(刚性质点系)的总动能应为即3.刚体的转动定理

——质点系角动量定理在固定轴上的投影式

将质点系角动量定理应用于刚体定轴转动时，可以得到刚体的定轴转动定理。

取质点系角动量定理 在转轴上的投影为得

即这就是在惯性系中刚体绕固定轴转动的转动定理。

此式不是矢量方程而是矢量方程的投影式

式中是外力矩在轴上的投影。

可看出

此外，根据

当时，角动量在轴上的投影为常量，即

常量——称为刚体定轴转动的角动量守恒。表明刚体相对某固定轴所受到的合外力矩为零时，此刚体相对该轴的角动量将保持不变。

这意味着保持角速度不变是定轴刚体固有的属性，称之为转动惯性。转动惯量正是刚体绕指定轴转动惯性的量度。

两个刚体，如果受到相同的外力矩作用，转动惯量大的，角加速度小，角速度变化慢；转动惯量小的，角速度变化快。要使两个刚体产生相同的角加速度，所需的外力矩将正比于它们的转动惯量。角加速度为

在角动量守恒时，刚体的转动惯量增加，则转动角速度减小，反之增加。从转动定律中可以看出，当时，质量元是到指定轴线距离等于的所有的点具有的微小质量(这是选取质量元的依据)，积分对所有质量元进行。

4.刚体对指定轴线的转动惯量

如果刚体由若干离散的质点组成，其转动惯量为质点到指定轴线的距离。

质量连续分布的刚体，转动惯量仍然是所有质量元对指定轴线转动惯量的积累，取和过渡到积分刚体相对于给定轴的转动惯量取决于刚体本身质量的大小和质量相对指定轴线的分布。计算转动惯量时不能认为总质量全部集中于质心，远离轴线的质量对转动惯量的贡献更大一些。⑴质量分别为和的两个质点被长为的轻杆连接，求绕过质心且垂直于杆轴的转动惯量。由于点为质心，故若轴过杆中点且垂直于杆，则这意味着什么？绕过质心轴的转动惯量最小。⑵质量为半径为的薄圆柱壳绕其对称轴的转动惯量⑶质量为半径为的匀质圆盘（柱）绕其对称轴的转动惯量。取以轴为中心，半径为，厚度为的薄圆柱形环为质量元。距轴为的点形成了以为半径，厚度为，高为的一个薄圆柱壳，这样一个质量元的质量为故⑷内半径为外半径为质量为的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量故⑸质量为长为的匀质细杆绕过质心且垂直于杆的轴的转动惯量如图，取质元绕过杆一端且垂直于杆的轴的转动惯量⑹质量为半径为的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。如图，在球面取一圆环带，半径⑺质量为半径为的匀质球体绕过球心轴的转动惯量把球体看作无数个同心薄球壳的组合[思考题]

两个刚性板被一垂直于它们的轴穿过形成一个组合体。如图改变两板夹角，组合体相对这轴的转动惯量是否改变，质心相对组合体的位置是否改变。5.平行轴定理一个刚体绕不同的轴线有不同的转动惯量。在一组彼此平行的轴线中，刚体绕各轴的转动惯量之间存在简单的联系。若刚体绕通过质心轴的转动惯量为，那么刚体绕平行于该轴的任意轴线的转动惯量式中为刚体质量，为质心到任意轴的距离。[例题]

质量为，长为的均匀细杆一端连接着一个质量为直径为的均匀球体，求该组合体绕过杆另一端且与杆垂直轴线的转动惯量解：组合体的转动惯量应是各部分相对同一轴线转动惯量的和。[例题]

半径为的匀质圆盘，在互相垂直两半径中点各开一个半径为的圆形透孔。所余部分质量为，求它绕过O且垂直盘面轴线的转动惯量，以及质心位置。解：若将圆盘复原，每个园孔所需填充的质量为被复原的匀质圆盘质心坐标为(0,0),故三、力矩的功和功率转动定理的空时积分作用于定轴刚体上的外力矩（矢量）只有转轴方向的分量才可能作功,有效力矩仅与外力在转动平面内的分量和受力质点相对转动轴的“位矢”有关。

我们在转动平面内计算力的元功

转动平面是刚体的元角位移在定轴转动中，力矩的元功

力矩的功率

即一般说来，功是广义力在广义位移上的积分。广义力可以是力矩、压强；广义位移可以是角位移、体积增量，等等。1.刚体的转动动能定理

——转动定律的空间积分按力矩作功的概念，在刚体定轴转动过程中，作用于刚体的合外力矩要作功，并且合外力矩的元功为

两侧对空间积分有

表明在一个过程中合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。即——称为刚体的转动动能定理可以给出合外力矩的时间效应

取转动定理的时间积分，有

2.刚体的冲量矩定理

——转动定律的时间积分根据刚体的转动定律表明在一个过程中刚体受到的合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。上式左侧称为刚体受到的合外力矩的冲量矩，右侧为刚体定轴转动时角动量的增量。[例题]被电机带动的半径为的圆轮A以恒定角速度绕轴转动，将A轮放置在质量为的匀质圆轮B上，B轮是从动轮，可以绕过中心的水平轴自由转动，开始是静止的。已知两轮间的滑动摩擦力为，求经过多少时间两轮之间没有了相对滑动。BABA解：在B轮和A轮之间的相对滑动消失之前，切向接触力（滑动摩擦力）对B轮的外力矩引起B轮的角加速度，使它从静止开始加速。设B轮的半径为，根据转动定理设经过时间相对滑动消失，两轮接触点有相同的线速度，即是B轮正常转动的角速度。BA⑴过渡过程持续的时间反比于滑动摩擦力，正比于转速。⑵在B轮达到正常转速后，与A轮之间没有相对滑动。但是，由于负载或阻力矩它与A轮可能出现相对滑动趋势，这将在接触点产生静摩擦力，静摩擦力矩与阻力矩平衡。A轮通过静摩擦力力矩作功,向B轮传递功率。但是这个静摩擦力不能超过最大静摩擦力的限度。讨论：两侧取积分，有[例题]半径为,质量为的匀质圆轮可绕水平轴自由转动，圆轮上沿恰与水平桌面持平，如图所示。桌面上有一质量为的长方体滑块，左右移动滑块可带动圆轮转动。假设滑块与圆轮间的最大静摩擦力足