第1章 三角形的初步认识（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（解析版）

三角形的初步认识（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下列个图形中，是全等图形的是（

）A．，，， B．与 C．，， D．与【答案】D【分析】根据全等图形的概念求解即可．【详解】解：由图可知，与是全等图形，故选：D．【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键．2．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上），小明通过测量，之间的距离，即得到，之间的距离．小明这种方法的原理是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】小明直立在河岸边的处，说明保持和刚才完全一样的姿势说明∵CO为与共边．∴与全等的条件为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的知识点，掌握该知识点是解答本题的关键．3．（2021·浙江金华·八年级期中）如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选A．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．4．（2021·浙江杭州·八年级期中）可伸缩的遮阳篷是依据平行四边形的（

）A．不稳定性 B．稳定性 C．伸缩性 D．可变性【答案】A【分析】根据平行四边形的不稳定性即可判断．【详解】解：平行四边形具有不稳定性，故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是结合实际并掌握平行四边形的不稳定性．5．（2020·浙江·八年级期末）下列选项中属于命题的是（

）A．任意一个三角形的内角和一定是吗？ B．画一条直线C．异号两数之和一定是负数 D．连结A、B两点【答案】C【分析】根据命题的定义即可作出判断．【详解】解：A、任意一个三角形的内角和一定是180°吗？不是命题；B、画一条直线，不是结论，不是命题；C、异号两数之和一定是负数，符合命题的定义，是命题；D、连接A，B两点，不是结论，不是命题．只有C中有“是”判断词，故选C．【点睛】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句，有“是”，“不是”等判断词．6．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东32°方向上，学校C在图书馆B的北偏西32°方向上．则∠ABC的度数是（

）A．112° B．114° C．116° D．118°【答案】C【分析】过点A作ADBE交BC于点D，BE方向为正北方向，根据平行线的性质求得，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】如图，过点A作ADBE交BC于点D，BE方向为正北方向，根据题意可得，，，∴，故选C．【点睛】本题考查了方位角，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．7．（2022·浙江·八年级专题练习）下列命题是假命题的是(

)A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等【答案】D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．8．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的性质和直角三角形的三边关系，逐项判断即可．【详解】解：由图可知：PC是∠APB的平分线，ED是线段PQ的垂直平分线，A．过点H作HI⊥PF，垂足为I，如图，∵PC平分∠APB，∴HI=HG，在Rt△FIH中，HI为直角边，FH为斜边，∴FH>HI，∴FH>GH，∴A结论正确；B．由A可知，B结论不正确；C．EF与FH没有必然的大小关系，无法判断，故C结论不正确；D．EF与FH没有必然的大小关系，无法判断，故D结论不正确．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的三边关系，正确理解题意是解题的关键．9．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解【详解】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，∴即故选A【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．10．（2020·浙江·八年级期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的裁面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且．已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可．【详解】解：∵分别是的中点，∴，，∵，∴，在△ADM和△AEM中，，∴△ADM≌△AEM（SSS）．故选：C．【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．11．（2021·浙江·八年级期中）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：∵AB=6，∴AC+BC＞AB=6，∴11，9，7都满足，5不满足，故选D．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．12．（2019·浙江·八年级期末）沿折叠，折痕为，则图中之间的关系中，下列式子中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质求解，即可得到答案．【详解】解：如图，记与的交点为∵将△ADE沿DE折叠，∴∠A=∠A′，即∠1=∠A′，∵，∴∠3=2∠1+∠2，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形的外角的性质．图形在折叠的过程，会出现全等的图形--相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．二、填空题13．（2022·浙江·八年级专题练习）指出下列命题的题设和结论：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（2）“两个负数的和是负数”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（3）“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（4）“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．【答案】

两条直线平行于同一条直线

这两条直线互相平行

有两个负数

它们的和是负数

两条直线相交

它们一定不平行

有任意两个偶数

它们的差是偶数【分析】对每一个命题，根据命题的结构，写出题设、结论即可求解．【详解】解：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”可以改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．题设是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线互相平行；（2）“两个负数的和是负数”可以改写成“如果有两个负数，那么它们的和是负数”．题设是：有两个负数，结论是：它们的和是负数；（3）“相交的两条直线一定不平行”可以改写成“如果两条直线相交，那么它们一定不平行”．题设是：两条直线相交，结论是：它们一定不平行；（4）“任意两个偶数之差是偶数”可以改写成“如果有任意两个偶数，那么它们的差是偶数”．题设是：有任意两个偶数，结论是：它们的差是偶数故答案为两条直线平行于同一条直线，这两条直线互相平行；有两个负数，它们的和是负数；两条直线相交，它们一定不平行；有任意两个偶数，它们的差是偶数．【点睛】本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，找题设和结论的关键是会把命题写成“如果…那么…”的形式．14．（2021·浙江绍兴·八年级阶段练习）如图，直线a，b所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出一条直线分别与直线a，b相交所形成的角的度数就可求得该角，已知∠1＝71°，∠2＝78°，则直线a，b所形成的角的度数为_____°．【答案】31【分析】直线a，b交于点A，与边框的交点分别为B，C，由对顶角的性质可求解∠ABC和∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理可求解．【详解】解：直线a，b∠交于点A，与边框的交点分别为B，C，如图，∵∠1＝71°，∠2＝78°，∴∠ABC＝∠1＝71°，∠ACB＝∠2＝78°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣71°﹣78°＝31°，故答案为31．【点睛】本题主要考查对顶角，三角形的内角和定理，利用对顶角的性质求解∠ABC，∠ACB的度数是解题的关键．三、解答题15．（2022·浙江·八年级专题练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．(1)内错角相等；(2)对顶角相等；(3)画一个60°的角．【答案】(1)是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等(2)是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等(3)不是命题【分析】（1）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；（2）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；（3）根据命题的定义判断即可．（1）解：是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等；（2）是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等；（3）不是命题．【点睛】本题考查了命题，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部分，结论为由条件得到的结论．16．（2021·浙江湖州·八年级阶段练习）已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由．【答案】能，理由见解析【分析】根据三线段构成三角形的条件即可判断．【详解】∵是最长线段，而∴以这三条线段为边能构成三角形【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形．17．（2022·浙江杭州·八年级期末）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明．已知：DEBC．求证：三角形三个内角的和等于180°．证明：过点作直线DEBC．【分析】过点A作DEBC，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180°．【详解】解：已知：，，是的三个内角，求证：．证明：如图，过点作直线．∴，，∵点D，A，E在同一条直线上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°，∴，即三角形的内角和为180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．18．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中，．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．【答案】小明这个方法正确，理由见解析【分析】结合题意，根据全等三角形的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，在和中∴≌∴∴小明这个方法正确．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．【典型】一、单选题1．（2020·浙江嘉兴·八年级期末）下列命题中正确的是（）A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等D．两边分别相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】利用全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、有两条边相等的两个等腰三角形全等，错误，不符合题意；B、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，错误，不符合题意；C、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；D、两边分别相等的两个直角三角形全等，错误，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形全等的几种判定方法，难度不大．2．（2021·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件,再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S、S、、与△ABC的关系,即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【详解】解：如图所示,过点F作FG⊥AM交于点G,连接PF.根据正方形的性质可得:AB=BE,BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和△EBD中,AB=EB，∠ABC=∠EBD,BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可证,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90,所以四边形AQFG是矩形,则QF//AG,又因为QP//AC,所以点Q、P,F三点共线,故S+S=,S=.因为∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA,在△AQF和△ACB中,因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA),同理可证△AQF≌△BCA,故S1﹣S2+S3+S4==34=6,故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.3．（2020·浙江·杭州育才中学八年级期末）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（

）A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角【答案】C【分析】观察的作图痕迹，可得此作图的条件.【详解】解：观察的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,故已知条件为：两角及夹边，故选C.【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.4．（2020·浙江嘉兴·八年级阶段练习）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则△ABC是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】根据题意可设∠A=x°,则∠B=,∠C=,再结合∠A+∠B+∠C=180°，列出方程x+4x+5x=180;解方程即可求得x的值,继而可得出∠A、∠B、∠C的度数.【详解】解：设∠A=x°,则∠B=4x°,∠C=5x°，则x+4x+5x=180，18°，,故△ABC为直角三角形.故选C.【点睛】根据三角形的内角和定理可求得∠A、∠B、∠C的大小，进而判断△ABC的形状.二、填空题5．（2020·浙江·嵊州市三界镇中学八年级期中）如图，已知，则需添加的一个条件是______可使．（只写一个即可，不添加辅助线）．【答案】AB=DC（答案不唯一）【分析】因为和公共边BC，根据全等证明方法即可求得．【详解】当AB=DC时根据全等证明方法SAS可证故答案为：AB=DC（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，掌握五种全等证明方法是解题的关键．6．（2020·浙江·诸暨市滨江初级中学八年级期中）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米．【答案】20【分析】由AB、ED垂直于BD,即可得到∠ABC＝∠EDC＝90°，从而证明△ABC≌△EDC此题得解.【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝20．故答案为：20．【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题是熟练判定方法，本题属于三角形全等的判定应用.7．（2020·浙江·宁波咸祥中学八年级开学考试）如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=___________度．【答案】60【分析】如图所示，可根据邻补角、内错角以及三角形内角和求出∠3的度数．【详解】解：如图所示：∵∠2＝110°，∴∠4＝70°，∵AB∥CD，∴∠5＝∠1＝50°，∴∠3＝180°−∠4−∠5＝60°，故答案为60.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．8．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=90°+∠C；②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E、F分别是AC、BC的中点；④若OD=CE+CF=则S△CEF=,其中正确的是______________【答案】①②④【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解，判断出①正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BFO和△AEO是等腰三角形得出AE+BF=EF故②正确；根据角平分线的定义判断出点O在∠ACB的平分线上，从而得到点O不是∠ACB的平分线的中点，然后判断出③错误；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到AC的距离等于OD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到S△CEF=ab，判断出④正确．【详解】在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，

∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=90°-∠C，

在△AOB中，∠AOB=180°-（90°-∠C）=90°+∠C，故①正确；

∵在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBA，∠OAE=∠OAB，∵EF∥AB，∴∠OBA=∠BOF，∠BAO=∠AOE，∴∠BOF=∠FBO，∠OAE=∠AOE，∴FB=FO，EO=EA，∴EF=OE+OF=BF+AE，故②正确；∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，

∴点O在∠ACB的平分线上，

∴点O不是∠ACB的平分线的中点，

∵EF∥AB，

∴E，F一定不是AC，BC的中点，故③错误；

∵点O在∠ACB的平分线上，

∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF=（CE+CF）•OD=×2b•a=ab，故④正确；

综上所述，正确的是①②④故答案为①②④．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记各性质并准确识图是解题的关键．三、解答题9．（2020·浙江·嵊州市三界镇中学八年级期中）已知，如图，点，分别在，上，，．求证：．【分析】证明需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用ASA可得出．【详解】证明：在△ABE和△ACD中，∵∴（ASA）【点睛】本题考查三角形全等证明方法ASA，掌握ASA证明方法是解题的关键．【易错】一．选择题（共5小题）1．（2021秋•义乌市期中）如图，∠B＝60°，∠ACD＝100°，那么∠A＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠A＝∠ACD﹣∠B＝40°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2．（2021秋•海曙区期末）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．【解答】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得1＜x＜5，第三边不可能为1，故选：A．【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．3．（2021秋•瑞安市月考）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题的反例是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝﹣4【分析】根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答．【解答】解：当x＝﹣4时，x2＝16＞9，而﹣4＜﹣3，∴“若x2＞9，则x＞3”是假命题，故选：D．【点评】本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．（2021秋•龙泉市期末）下列命题中，是真命题的是（）A．对应角相等的两个三角形是全等三角形 B．三个内角之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离 D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质定理判断即可．【解答】解：A、对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项说法是假命题，不符合题意；B、设三角形三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x＝180°，解得：x＝15°，则三角形三个内角分别为45°、60°、75°，∴三个内角之比为3：4：5的三角形不是直角三角形，本选项说法是假命题，不符合题意；C、平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项说法是假命题，不符合题意；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项说法是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021秋•柯桥区月考）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意；B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意；C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意；D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．二．填空题（共6小题）6．（2021秋•秀洲区校级月考）写出命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题三个角都是60°的三角形是等边三角形．【分析】把命题“等边三角形的三个角都是60°”的题设和结论互换即可得到逆命题．【解答】解：命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题为：三个角都是60°的三角形是等边三角形，故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形．【点评】本题考查逆命题的写法，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．7．（2021秋•余杭区月考）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是γ＝2α+β．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案为：γ＝2α+β．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．8．（2021秋•温州校级期中）如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是∠D＝∠B．（只需添加一个条件即可）【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE．【解答】解：当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．9．（2021春•东平县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝45°．【分析】延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．【解答】解：延长CH交AB于点F，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．【点评】考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．10．（2021秋•金东区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝45°．【分析】依据全等三角形的对应角相等以及三角形内角和定理，即可得到∠BAD的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，∴∠D＝∠B＝75°，又∵∠C＝35°，∴∠BAC＝70°，又∵∠DAC＝25°，∴∠BAD＝45°，故答案为：45．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应角相等．11．（2021秋•仙居县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ADB＝120度．【分析】依据三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再根据BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD＝30°，依据三角形内角和定理，即可得到∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°，故答案为：120．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．三．解答题（共4小题）12．（2021秋•瑞安市月考）已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．【分析】根据AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根据BF＝DE，推BE＝DF，再加已知条件∠B＝∠D，根据（ASA）证明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE．【解答】证明：∵AF∥CE∴∠AFD＝∠CEB，∵BF＝DE，∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，∵∠B＝∠D，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用，平行线的性质的应用是解题关键．13．（2021秋•越城区校级月考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC+∠DEF＝180°；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC＝∠DEF；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解方程即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2021秋•衢江区月考）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．（1）求证：∠ADC+∠B＝180°；（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长．【分析】（1）先证明Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），推得DM＝BH，∠1＝∠B，等量代换后得∠ADC+∠B＝180°；（2）证明Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），推得AM＝AH，设BH＝DM＝x，则AH＝8﹣x，AM＝3+x，列一元一次方程，解出x，就可求得AH的长．【解答】（1）证明：过点C作CM⊥DE，垂足为M，∵AC平分∠EAB，CH⊥AB，CM⊥DE，∴CM＝CH，∠CMA＝∠CHB＝90°，在Rt△DMC与Rt△NHC中，∴Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），∴DM＝BH，∠1＝∠B，∵∠1+∠CDA＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°；（2）解：∵∠CMA＝∠CHB＝90°，在Rt△AMC与Rt△AHC中，∴Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），∴AM＝AH，设BH＝DM＝x，则AH＝8﹣x，AM＝3+x，∴8﹣x＝3+x，解得，x＝2.5，∴AH＝5.5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握这几个知识点的综合应用，辅助线的做法是解题关键．15．（2021春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动3秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．【分析】（1）依据BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根据当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，根据12﹣2t＝8，可得t的值；（3）依据∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得到∠ADE＝∠B，再根据∠BAC＝α，AB＝AC，即可得出∠ADE．【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．【压轴】一、单选题1．（2020·浙江·八年级单元测试）如图，在等腰内作正方形，使点D，E，F分别在边上，在正方形中依次作正方形和正方形使．若正方形和正方形的面积分别为1和25，则阴影部分面积为（

）A．25 B． C． D．75【答案】B【分析】首先求出正方形和正方形的边长，再求出正方形BEDF的面积，从而得到边长，同时根据等腰直角三角形的性质得到AE和CF，利用勾股定理求出△BHI、△EIJ、△DGJ、△FGH的直角边长，最后利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为1和25，∴MN=NO=OL=LM=1，JI=IH=HG=JG=5，∵四边形BEDF是正方形，∴SDEBF=2S△EIJ+2S△DGJ+2S△FGH+2S△BHI+SMNOL=25×2-1=49，∴DE=DF=BE=BF=7，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DCF=45°，∠AED=∠DFC=90°，∴△AED和△DFC是等腰直角三角形，∴AE=DE=DF=CF=7，由题意可知：△BHI≌△EIJ≌△DJG≌△FGH，∴BH=EI=DJ=GF，BI=EJ=DG=HF，设BI=x，BH=7-x，则，解得：x=4或3，即BI=EJ=DG=HF=4，BH=EI=DJ=GF=3，∴阴影部分面积=S△AIJ+S△CHG，===故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的面积，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到图中面积和线段之间的转化关系．2．（2020·浙江·八年级单元测试）如图，已知中，，，，若把绕点A逆时针旋转一个角度，使它与原的重叠部分为等腰三角形．则为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由∠BAC=90°，AB=AC可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，则利用互余可计算出∠BAD=60°，由于把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，而等腰三角形的腰不能确定，所以分类讨论：当AE=AF时，如图1，根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判断△AEF为等边三角形，得到∠1=∠2=60°，则可根据三角形外角性质可计算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；当AFA=FC时，如图2，∠BAB′=α，根据等腰三角形的性质得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值为15°或45°．【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=90°，∵∠D=30°，∴∠BAD=60°，把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，当AE=AF时，如图1，则∠BAB′=α，∠B′AD=60°，∴△AEF为等边三角形，∴∠1=∠2=60°，而∠1=∠B+∠BAB′，∴∠BAB′=60°-45°=15°，即α=15°；当AF=FC时，如图2，则∠BAB′=α，∵∠ACB=45°，∴∠FAC=45°，∴∠BAB′=90°-45°=45°，即α=45°；综上所述，α的值为15°或45°．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．3．（2020·浙江金华·八年级期末）如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要满足条件∠BAC=∠BCA，据此可判断①②；在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论，据此可判断③④．【详解】解：①假设AF=FC．则∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；故①不一定正确；②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；故②不一定正确；③如图，在AC上取AG=AE，连接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF与△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，则∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，则∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC与△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正确；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．（2021·浙江·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．二、填空题5．（2020·浙江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，点Q在x轴的负半轴上，且分别以、为腰，点C为直角项点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为__________．【答案】7．【分析】先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根据点C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．【详解】解：过N作NH∥CM，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，∴∠HCN＝∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH＝AQ，HN＝QC，∵QC＝MC，∴HN＝CM，∵点C（0，4），S△CQA＝12，∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，∴AQ＝6，∴CH＝6，∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP＝PH＝CH＝3，又∵CO＝4，∴OP＝3+4＝7；故答案为：7．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．6．（2020·浙江·八年级期末）如图为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过E作于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．【答案】①②④【分析】根据SAS易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确；再判断AB∥CE，可得③错误；判断出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，进而判断出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判断出④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正确；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正确；③根据已知条件，可得不一定成立，故③错误；④如图，过作于点，是上的点，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．7．（2020·浙江·台州市书生中学八年级阶段练习）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．【答案】2∠A＝∠1＋∠2【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，∴∠AED＝（180°−∠1），∠ADE＝（180°−∠2），∴∠AED＋∠ADE＝（180°−∠1）＋（180°−∠2）＝180°−（∠1＋∠2）∴△ADE中，∠A＝180°−（∠AED＋∠ADE）＝180°−[180°−（∠1＋∠2）]＝（∠1＋∠2），即2∠A＝∠1＋∠2．故答案为：2∠A＝∠1＋∠2．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．三、解答题8．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）问题背景：定义：四边形，，，，分别是直线，直线上的一点，若，则称四边形是的“等腰倍角四边形”．如图1，四边形是的“等腰倍角四边形”，在四边形内部，探究图中线段，，之间的数量关系．(1)小慧同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，她的结论应是．(2)探索延伸：如图2，四边形是的“等腰倍角四边形”，有一部分在四边形外部，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出相应的结论（写出过程）．(3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东60°的处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以一定速度前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离为280海里．试求舰艇乙前进的速度．【答案】(1)；(2)不成立，；(3)80海里/小时【分析】（1）延长到点，使，连结，先利用SAS证明，得到BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出，再利用SAS证明，得到EF＝GF，进而可得；（2）在DF上截取DG＝BE，先利用SAS证明，得到AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出，再利用SAS证明，得到EF＝GF，进而可得；（3）如图作辅助线，求出∠OAE＋∠OBF＝180°，∠EOF＝∠AOB，延长EA到点M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，求出BF即可解决问题．（1）证明：如图1，延长到点，使，连结，∵，，∴，又∵，∴（SAS），∴BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，∵，∴，∴，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴（SAS），∴EF＝GF，∴EF＝GF＝DF＋DG＝DF＋BE，故答案为：；（2）不成立，正确的结论为：；证明：如图2，在DF上截取DG＝BE，∵，，∴，又∵，∴（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝DAG，∵，∴，∴，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴（SAS），∴EF＝GF，∴DF＝DG＋GF＝BE＋EF，即；（3）如图3，点G在y轴正半轴上，BH交y轴负半轴于点H，AE交x轴于点K，过点B作CD∥y轴，连接EF，由题意得：∠OAE＝∠GOA＝60°，∠CBO＝∠BOH＝20°，∠DBF＝40°，OA＝OB，∴∠AOK＝30°，∠OBF＝180°－∠CBO－∠DBF＝120°，∴∠OAE＋∠OBF＝180°，∵∠AOB＝∠AOK＋∠KOH＋∠BOH＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，延长EA到点M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，∵EF＝280海里，AE＝60×2＝120海里，∴BF＝280－120＝160海里，∴舰艇乙前进的速度为：160÷2＝80海里/小时．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，方位角等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．9．（2021·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析【分析】（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A；（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如图3，DA′交AC于点F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可．10．（2020·浙江·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标，点C的坐标，点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒，点B在轴的负半轴上，且的面积：的面积．（1）求点B的坐标；（2）若点D在轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等．【答案】（1）B（-2，0）；（2）存在，（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）；（3）1s或4s【分析】（1）先求出，进而得出的面积，即可得出的面积，最后得出点坐标；（2）由于，所以分两种情况讨论计算即可；（3）先按时间分成三种情况，每种情况中同（2）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）点的坐标，点的坐标，，，，，，设，点在轴的负半轴上，，，，；（2）在轴上，在轴，，以、、为顶点的三角形与全等，①，，或②，，或，即：满足条件的的坐标为，，，．（3）在轴上，在轴，，由运动知，，，，，当时，，，以、、为顶点的三角形与全等，①，，，，满足条件，即：②，，，，，不满足条件，舍去；当时，，，以、、为顶点的三角形与全等，①，，，，，不满足条件，舍去；②，，，，，不满足条件，舍去；当时，，，以、、为顶点的三角形与全等，①，，，，不满足条件，舍去；，②，，，，，满足条件，即：t=4s，即：满足条件的时间t=1s或4s．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定，解本题的关键是分类讨论，要考虑全面是解本题的难点．11．（2020·浙江·八年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E，（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，显然有：（不必证明）；（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD．【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如图3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．【点睛】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．12．（2020·浙江·台州市书生中学八年级阶段练习）【提出问题】我们已经知道了三角形全等的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS）和直角三角形全等的判定方法（HL），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（SSA）”的情形进行探究．【探索研究】已知：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．（1）如图①，当∠B＝∠E＝90°时，根据，可知Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）如图②，当∠B＝∠E＜90°时，请用直尺和圆规作出△DEF，通过作图，可知△ABC与△DEF全等．（填“一定”或“不一定”）（3）如图③，当∠B＝∠E＞90°时，△ABC与△DEF是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．【归纳总结】（4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是__________时，这两个三角形一定全等．（填序号）①锐角；②直角；③钝角．【答案】（1）HL；（2）不一定；（3）△ABC≌△DEF，见解析；（4）②③【分析】（1）根据HL即可判断；（2）画出图形，可知两个三角形不一定全等．（3）结论：△ABC≌△DEF．如图③中，作AG⊥CB交CB的延长线于G，作DH⊥FE交FE的延长线于H．利用3次全等解决问题即可；（4）利用（1）（3）中结论即可解决问题．【详解】（1）在Rt△ABC和