第四章 波动理论分析

第四章波动理论分析................................................2

4.1阶跃光纤中直角坐标系下的波动方程.......................................2

4.2阶跃光纤中柱坐标系下的波动方程.........................................5

4.3阶跃光纤中模式的严格解一一矢量模解.....................................8

4.3.1阶跃光纤中轴向电磁场分布所满足的方程.............................8

4.3.2利用分离变量法分解波动方程........................................9

4.3.3波动方程的通解....................................................9

4.3.4利用边界条件求出波导方程（本征方程）............................15

4.4矢量模的分析...........................................................17

4.4.1模式的引入........................................................17

一、模式的概念.....................................................17

二、模式的分类.....................................................18

三、模式的特点....................................................19

四、射线与模式.....................................................19

4.4.2阶跃光纤中的模式分析.............................................21

一、阶跃光纤中的模式及其分类......................................21

二、阶跃光纤中的模截止频率........................................22

三、阶跃光纤中的模截止条件........................................23

四、阶跃光纤中单模传输的条件和色散曲线............................43

五、远离截止时导波的传播常数......................................45

4.5标量法与线偏振模.......................................................48

4.5.1弱波导条件下的截止方程..........................................48

4.5.2线偏振模一LP模的提出...........................................49

一、模截止时的分析.................................................50

二、远离截止时的情形...............................................53

4.6LP模的应用...........................................................56

4.6.1LP模的物理意义..................................................56

4.6.2光斑与光功率分布图...............................................60

4.6.3光斑与光功率分布的定量分析......................................61

4.7单模光纤...............................................................63

4.7.1单模光纤的存在条件和截止波长.....................................63

4.7.2单模光纤的模场直径...............................................64

4.7.3单模光纤的双折射.................................................67

4.7.4单模光纤中偏振状态的演化.........................................69

4.8渐变折射率光纤的波动理论分析..........................................70

4.8.1渐变折射率光纤的的折射率分布.....................................70

4.8.2渐变折射率多模光纤的标量近似分析................................72

一、WKBJ分析法...................................................72

二、渐变折射率光纤传播常数的本征方程..............................76

三、渐变折射率光纤中传输模式数量的计算............................79

章末小结..................................................................80

第四章波动理论分析

在几何光学中，不同的入射角对应不同的传播方向，即光线在光纤中的传播路径不同,

从而有不同的模式。但用几何光学不能得到波导中光波的场分布及功率（或强度）分布。而

用波动光学能求解出光纤中电场的分布特点，能对传输模式进行详细分析。因此，必须采用

波动光学来研究光波在光纤中的传输情况。

本章中从麦克斯韦方程、亥姆霍兹方程出发，导出直角坐标系以及圆柱坐标系下的阶跃

光纤（均匀波导）波动方程，进而在设定物理模型条件下，通过对纤芯与包层的物理约束条

件的分析，利用边界条件求解波动方程，获得与各特定本征值相联系的本征方程，最后对阶

跃光纤中存在的各种模式及其截止条件进行系统分析（见图4-1所示）。

传输

性

特

析

麦克斯韦分

方程

电磁分离.波动方程时空分离f亥姆霍兹方程纵横分离分波导场方程

图4-1

4.1阶跃光纤中直角坐标系下的波动方程

设光纤中存在如下形式的解

方=£"切-"”（4-1）

0

H=（4-2）

式中£）、A。分别为电场和磁场的复振幅矢量；i为波矢，|口=%；/为光波角频率，

；为波面上任一点〃（%,y,z）的位置矢量。

在各向同性、线性、透明的介质中，正弦稳态形式的麦克斯韦方程为

rdBr

VxE=-=­jcojuH(4-3)

~dt

rdDr

Vx"==jcosE(4-4)

~dt

将Vx方展开得

蔡皂y。

r_a__a__a(dEzdEy')雪

VxE==卷+e

dxdydz、6Sz)、3zdx?;Sxdy；

ExEyEz

=-ja>]LiHxex-j(o/jHyey-jcopHzez(4-5)

式（4-1）对z求偏微分得

管=-必£""”=-必上（4-6）

OZ

简记为

a

—=~JK=~jP（4-7）

dz

P为轴向相位常数或轴向传播常数，如图4-2所示。

图4-2

式（4-7）代入式（4-5）得

8/7dE'GEy殂、

受+%E,肉+-j/3E-ze„+

xdx

=-jcouHxex-jcouHyey-jcouHzey(4-8)

同理，将式(4-4)按上述方法展开可得

SH

dH:+j/3H}ex+(-j/3Hx-

ey+

7dx)dx

(4-9)

ja>/jExex+jco/jEyey+ja>^E:e:

由式(4-8)和式(4-9)可得

RF

(4-10-1)

-^+j/3Ey=-ja)^iHx

dF

-j/3E--^=-jco^H(4-10-2)

fdxy

SEQE

yX-jcofdH(4-10-3)

dxdy

dH

(4-10-4)

+jBHy=ja)NE\

一加『黄=.吗(4.10.5)

5HdH

yx(4-10-6)

dxdy

联立式(4-10-2)和式(4-10-4),消去”、,得

明..yjs„idE.y.„

才+加(4-11)

—Ex+~------=W£EX

oyl即ja>^idxJ

整理得

j(dE.dH\

ra(4-12)

2)(J

(苏“_力QxQy

为方便推导，记以2=苏〃£-夕2,以为横向相位常数或横向传播常数。于是上式可以简写

为

(4-13)

(4-14)

(4-15)

(4-16)

dHdH

yx=j8应

dxdy

由式(4・13至4・16)可以看出，Ex.Ey、、Hx.乩y.可由瓦z、H_z表示,只需解出Ez、H.z

便可得到£.、E、,、%、H,。为此，我们有必要进一步求解电磁场的纵向分量。

联立式(4-15)、(4-16)、(4-10-6),消去得

(4-17)

整理得

d2Ed2E

2:+哥耳=0(4-18)

dx2W

同(4-19)

式(4-18)和式(4-19)就是波导方程。

4.2阶跃光纤中柱坐标系下的波动方程

因为光纤具备圆柱对称的特点，在柱坐标系下更便于计算。所以有必要进行坐标变换，

将直角坐标系中的波动方程及场的各分量变换到圆柱坐标系中。圆柱坐标与直角坐标的关系

如下

x=rcoscp(4-20)

y=rsm(p(4-21)

(4-22)

(p-arctanf-J

(4-23)

如图4-3所示

Er=Excos(p+Eysin(p(4-24)

4=-Exsincp+Eycoscp(4-25)

由图可以看出^2=&+E：=E；+M，及、纥在£■，方向的分量之和等于耳.；纥、

纥在9方向上的分量之和等丁・纥,。于是，将式（4-13）、（4-14）代入式（4-24）得

dH

1夕跑cos°+即以3”咨sg即_______:

Ersin*(4-26)

5ydx

、dxdy77

为将上述微分转化为柱坐标的形式，必须先求出如下各量:

22

dr_dyjx+y2xx

—=COS(p(4-27)

dxdx2次+/r

dr_dy]x2+y1

)=sin/

(4-28)

2次+/r

6arctan—_上

y_sin/

(4-29)

dxdxr2

y1

大6arctan

"二________XxX_COS(p

-T-(4-30)

8y~dy/、2rr

1+y_

联合上述各式，利用复合函数求导规则，可得式（4-26）中各微分量

四居包+昵”3E,sin(pHE、

=cos9----------------(4-31)

dxdrdxd(pdxdrd(p

跑=这包+丝纱.dE_cos(pdEr

sin(p—+----——二(4-32)

dydrdyd(pdydrrd(p

也=以电+以"=c°s°dHzsin(pdH

(4-33)

dxdrdxd(pdxdrrd(p

dH_dH_drdH_d(pdH_coscpdH.

——=——--+——^—=sm(p——+——-——-(4-34)

dydrdyd(pdydrrd(p

其中r="羽y)、(p=(p(x,y),将式(4-31)(4-32)(4-33)(4-34)代入式(4-26)得

与=一/1/J](/cos2处即sin0cos9+/sin?o一咏sin°cos0)+

22y

/Jsin^cos^^^cos/?sin^9cosV+cosin(pdH.

(4-35)

rrrr)d(p

整理得

(4-36)

用同样的方法可得

(4-37)

(4-38)

(4-39)

从式（4-36）到式（4-39）可以看出，圆柱坐标系中各横向分量可由纵向分量“二来表

示，显然，只要求出瓦、Hz,就可以求出圆柱坐标系中各横向分量，这一点和直角坐标系

下情况相同。为此，我们必须求出圆柱坐标系下E,、的波动方程。上面已经求出一上、

z2dx

二上，下面我们进一步求出二~六、一。

dydx2dy2

d2E.(1x1\8E.x(xd2E.yd2E.2xydE.

=---------------~

1厂r)drr、厂dr2r-dr

y(x.。泣y响

drd(pr~dcp1J

jl叫四+），(yd2E_xd2i

[rr3Jdrr

、rdr2r2drc

x(yd2纥X♦纥)

——

前一节推导得出E:、Hz在柱坐标系下满足:

d2E.1dE.1d2E.

+0：E；=O

dr2rdrr2d(p

dr~rdrr~d(p~

4.3.2利用分离变量法分解波动方程

设区=W(八。，z)=??(厂)°(9)0一，的(4-44)

代入式(4-42)得

--r退立帕p)eR、+上R(r)浊口e-加+BjRmMcp)”/=金(4-45)

rdr\_drJrd(p"

整理，消去「胫得

更处为名叫+*⑺学9⑺价)=0(4-46)

ror\_oryro(p~

两边同乘产，整理得

1「，d?R⑺dR(r)。，»、[1/。(0),、

----V————+Z?,r-/?(r)=(4-47)

R(r)[dr~drJ。(⑼d(p~

上式左边是，•的函数，右边是夕的函数。因为r,0相互独立，上式两边只有都等于同一个

常数(令其为m2,加为实数)才能对任何，e都成立。

左边

1

产g+「出+加次⑺=疝(4-48)

drdr

右边

等+2=。

(4-49)

433波动方程的通解

式(4-49)的解为

0(e)=e加。(4-50)

式中必须是整数，即机=1,2,3…。因为点(r,°)与(r,夕+2乃)是同一个点，若加不

为整数，则会出现/“He刖"+2")的情况，致使同一个点无法保证得到单值的解。

将式(4-50)代入式(4-48)可得

2dR(r)dR(r)，ciz工、,、,、

r—V-+r———+(/7,r--m~)=0(4-51)

dr2dr'

上式为加阶贝塞尔方程，加阶贝塞尔方程的标准形式为

x2y"+xy'+(A2x2-/n)y=0(4-52)

式中，4为常数，根为方程的解的阶数，方程的解为贝塞尔函数。为了便于求解式(4-51)

这个贝塞尔方程，在此对几个常数进行定义

。虫膜嫦-加严4(4-53)

卬=(力2-42/2度a(4-54)

V2=U2+W2(4-55)

其中々、“分别为纤芯和包层中的折射率，即为真空中的传播常数。。为纤芯半径，夕为

轴向传播常数。U称为纤芯的“归一化横向传输常数”(或叫做归一化横向相位常数)，W

称为包层的“归一化横向传输常数”(或叫做归一化横向衰减常数)，V称为“归一化频率”

或“归一化波导常数”。V是一个重要的综合性参数，光纤的很多特性都与归一化频率有关，

下节将会具体讲述。

在式(4-51)中，当丹=k“一夕2>0时,方程为机阶贝塞尔方程。当以=勺2"—夕2<0

时，方程为，〃阶变态贝塞尔方程。

在纤芯中勺比较大，1=%2勺2一42>0,即在纤芯中的解为

R(r)=AJm(-r)+A'Nm(-r)(4-56)

aa

在包层中%比较小，4=%2裙_/2<0,即在包层中的解为

WW

R⑺=CK,“(一r)+C7W,(—r)(4.57)

aa

上面两式中，J,“(°r)是机阶贝第一类塞尔函数，Nm(且r)是加阶第二类贝塞尔函数。

aa

4（2ur）和N,“（utr）都是振荡函数，有无穷多个零点。/,“（w一，）是加阶第一类变态贝塞尔

aaa

W

函数，K“,（一r）是加阶第二类贝塞尔函数。这两类贝塞尔函数都是单调函数。下面简要介

a

绍这四类贝塞尔函数的特点：

图4-40阶、1阶、2阶、3阶第一类贝塞尔函数（J类）

小宗量渐近式为

J°(X)2°>1

大宗量渐近式为

图4-50阶、1阶、2阶、3阶第二类贝塞尔函数（N类）

小宗量渐近式为

大宗量渐近式为

图4-60阶、1阶、2阶、3阶第一类变态贝塞尔函数（I类）

小宗量渐近式为

图4-70阶、1阶、2阶、3阶第二类变态贝塞尔函数(K类)

小宗量渐近式为

X

K,”(X)qjJ(/八l)!(!J

大宗量渐近式为

K,"(X)X—>oo、&,X

兀X

综上所述，小宗量情形时(X-0),J,“(X)取有限值，而N,“(X)发散。由于实际中纤

芯中的场强必须是有限值，光波在纤芯的横截面上形成驻波，故决定了纤芯中应该振荡解,

所以，式(4-56)中应该选取第一类贝塞尔函数J,”

在大宗量情形时(X-00),/„,(X)是随X增大而单调递增，K,,(X)是随X的增加

而单调递减。实际中包层中的场强不可能随着半径增大而递增到无穷大，所以，式(4・57)中

应选取第二类变态贝塞尔函数K,」一厂o

于是纤芯和包层中电场和磁场的纵向分量分别为

(4-58)

(4-59)

(4-60)

(4-61)

将式(4・58)、(4-59)代入式(4・36)、(4-37)、(4・38)、(4-39),可得纤芯中电场与磁场的

各横向分量

1A&〃+Bj明~(4-62)

\目UJ[_a\aJr芈\a邓…)

(4-63)

u

一A/—r(4-64)

r7a7

(4-65)

式中“J,J"1是/且j的一阶导数。

a\aJ\a)

将式(4-60)、(4-61)代入式(4-36)、(4-37)、(4-38)、(4-39)可得纤芯中电场与磁场

的各横向分量

%=/⑶C亨K，O2号弓4)卜i)(4-69)

式中—K：/电力是K,(—1的一阶导数。

ayaJ\a7

4.3.4利用边界条件求出波导方程(本征方程)

根据光波在光纤中传导的边界条件：纤芯与包层分界面上切向分量连续，在界面处(r=a)

四个切向分量连续的数学表达式为

(4-70)

Ezi~匾

(4-71)

号二线2

HL%(4-72)

(4-73)

"以=42

将上述八个切向分量的表达式代入式(4-70)、(4-71)、(4-72)、(4-73),并在式中令r=a,

消去/(”一生)，则可建立如下四个方程：

(4-74)

纥分量AJm(U)-CKm(W)=0

4分量

(4-75)

Cj^Km(W)-D^^K'm(W)=0

(4-76)

七分量BJm(U)-DKm(W)=0

4分量

J停,吗吗,：（s+均%4（u）]+

'aaJ（4-77）

'M[。噌Km，"H口吟K,.（W）卜0

若上述方程中A、B、C、。存在非零解，则其系数矩阵满足（设系数矩阵为M）：

det[A/]=O

具体表达式为

%u)0-K,“(W)0

今MS-加〃0，；,（。）-鬻'Km（W）一普K,；,(w)

=0(4-78)

0J<u）o-K,“(W)

汝巧？：,（u）-筌/.(U)优K：,(w)

将上式展开并化简后得

'I4(U)।IK：,(w)£j"u)।/'(卬)、

八22

CO〃（）。(4-79)

[uJm(U)WKm(w))[ujm(u)WKin(W))

整理后利用下面的推导

£"(U)।M")卜2J；“(U)।[JK")

苏氏UJ,“(U)WK,"(W),WK,,,”)

U-皿2

k；%(S।K：“(W)始K：,(W)

应

k；UJm(U)WK„SW)UJ,“(U)WK,“(W)

加(।+।)%1+\

后(>+羽)

j22

为*+畀基法击H话+*q

式（4-79）可以写成如下形式:

痴1111XI1][1J'M)I1K；,(W)]1।K：,(W)、

2222

[uW)[n^UW)[uJm(U)WK,"(W)人WK,"(W))

(4-80)

(说明：通过上面的变换进而将特征方程写成式(4-80)的形式是为了更好的对下面的矢量

模进行分析)。

为简便计算，记

j一%U)

(4-81)

UJ，U)

K:K,：(W)

(4.82)

WKm(W)

将式(4-81)、(4-82)代入式(4-80)得

["七_%+K=病\力+国+击)383)

上述由系数矩阵行列式等于零所得到的方程称作“条件方程”，即阶跃光纤的“本征方程”,

夕、。、W是方程的本征值，也称特征值，是在给定边界条件下使该方程有解的某参数的

可能值。此方程决定了波导中的模式，以及与每个模式相联系的£、U、W的容许值。本

征方程可以获得精确解。

由式(4-83)可以看出，本征方程得到的每一个解，即任何一个基波函数，都由相应本

征值所决定。每个本征值对应一个特定的波函数，称为“特征函数”，每个特征函数对应于

光纤波导中的一种电磁场分布，这种分布即称为“模式”或“模”，即波导中存在的一个特

定的传导模。关于模式的具体分析在下节详述。

4.4矢量模的分析

4.4.1模式的引入

一、模式的概念

用波动理论分析阶跃光纤时，最重要也是最基本的概念就是模式。所谓“模式”是指在

求解光纤中的波动方程时，对应于能满足所给定边界条件(各本征传输常数)的本征解所对

应的电磁场分布状态，而光纤中的场解则是各模式场的线性叠加。

模式反映了波导结构固有的电磁共振属性，从电磁波分布的角度而言，模式可以用光纤

横截面和纵截面上的电磁场结构图来描述。对于给定的光纤波导，其中能够存在的模式及其

性质是确定的，外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而不会改变模式固有的性质。

严格的说，波动方程的每一个特解就是一种电磁波模式，而通解则包含了满足方程的所有可

能解，称为“多模”。

二、模式的分类

在求解模式之前，我们首先给出模式的基本分类，该分类与后面求解的结果一一对应。

根据电磁场的纵向分量弓和“Z的存在与否，可将模式进行如下分类：

(1)横电磁模(TEM模，即transverseelectromagneticmode)：Ez—Hz—()。

(2)横电模(TE模,即transverseelectricmode)：Ez=0,Hz0))

(3)横磁模(TM模，即transversemagneticmode)：Ez^0,Hz=0。

(4)混合模(又叫hybridmode,包括HE模和EH模)：E20,Hz中0。

事实上，光纤中存在的模式多为"E模或由模，有时也会出现7E模或力0模(关

于这几种模后面都详细的定义和分析)，而模则是一种理想的模式，在光纤中不存在。

插曲：

光波或其它电磁波等从一点向各方面发散出去形成球面，如果这种波从无限远处传来，所形成的

球面就可以看作是一个平面，在光波中光线和波面垂直，平面波的光线可以看作是平行的。在离点波

源较远处，沿波的传播方向取一局部范围来看，在这范围内的波面都是平行的，这样的波可近似看成

平面波。如射到地面的太阳光波可看成平面波。TE波,TM波，TEM波是属于电磁波的三种模式。TE

波指电矢量方向与传播方向垂直，或者说传播方向上没有电矢量。TM波是指磁矢量方向与传播方向垂直。

TEM波指电矢量方向与磁矢量方向都与传播方向垂直。而HE波和EH波则是在光纤波导中所特有的概

念，它们的电矢量和磁矢量都不和传播方向垂直，都在传播方向上有分量。

对于波在光纤中到底存不存在的问题，可以通过下面的方法进行验证：因为这种

波在z方向上没有分量，则结合式(4-13)至式(4-16)来看，只有使加=0才能满足条

件。即有序〃£—£2=0,于是可以得到力=。掠。与此同时，式(4-18)和式(4-19)

则变成:

济滑。

上面两式即是E.和H.的横向拉普拉斯方程，这表明导波系统中TEM波在横截面上的场分

ZZ

量满足拉普拉斯方程。因此其分布应该与静态场中相同边界条件下的场分布相同。正是由于

这一点，我们断定凡能维持二维静态场的导波系统，都能传输TEN波。例如二线传输线、

同轴线等。也即为了传输血/波必须要有二个以上的导体。

空心金属波导管内部，由于不能维持二维静态场，故不能传输汨0波。这是波导管中

电磁波显著的特点之一。而光纤波导内部则更无法维持静态场，故光纤中也不能传输7EM

波。关于力波的详细讨论可参考《导波光学》一北京理工版。

由于电磁场模式的矢量解法过程繁琐，所以对于大多数的实际应用光纤都采用近似解。

对阶跃型光纤，最常用的近似方法就是标量近似法。对弱导光纤来说，支持传输模式的纵向

场分量比横向场分量要小得多，即|七|=|耳|、\Hz\=|",|，它们的比值很小，但又不等

于零，而且在弱导光纤中传播的横向电磁场的偏振状态保持不变，这种形态的电磁波非常接

近横电磁波(7EM),称为准电磁波(TEM).这种波的横向电场和横向磁场之比近似于介

质的波阻抗，即

耳_I_Z()

瓦一寸工一丁

式中，下标表示垂直于z方向的横向，Z0=J风是自由空间的波阻抗。由于其量纲

具有电阻的性质故由此得名。

三、模式的特点

(1)叠加性：光波导中总的场分布是所有模式的线性叠加，从数学的角度来说，

相当于对光波导中的场进行傅里叶展开，展开项就是各种模式。

(2)正交性：一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系，这是因为模式是求解

光纤中波动方程所得到的本征解，而正交性则是本征解的一个重要特征。

（3）有序性：模式可用波动方程的一系列特征解表示，这些解是离散可排序的。排

序方法一般有两种：一是以传播常数月的大小排序，夕愈大序号愈小；二是以（团，〃）

两个自变量排序，可有两列序号。

（4）稳定性：一个模式沿纵向（沿z轴方向）传输时，在某种条件下其场分布形式可

以保持不变，这时称该模式具有稳定性。

四、射线和模式

鉴于前一章已经用几何光学方法或称为射线追踪方法对光的传播特性进行过研究,在分

析模式之前，先讨论射线和模式之间的关系。在光纤的半径与波长之比很大时，由几何光学

方法可以得到光纤导波特性很好的近似结果，这就是所谓的“短波长极限”。尽管射线方法

仅在零波长极限时才严格成立，但对于多模光纤这样包含大量导波模式的非零波长系统，射

线方法仍可以提供相当精确的结果，而且是极有价值的。与严格的模式分析方法比较，射线