考研数学一(无穷级数-常微分方程)历年真题试卷汇编1题后含答

考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则()．A．当收敛时，anbn收敛B．当发散时,anbn发散C．当收敛时,an2bn2收敛D．当发散时,an2bn2发散正确答案：C解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为C．解析二考察选项C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数()．A．收敛B．收敛C．收敛D．收敛正确答案：D解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选D．知识模块：无穷级数3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是()．A．若，则级数收敛B．若存在非零常数λ，使得则级数发散C．若级数收敛，则D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选B．知识模块：无穷级数4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数().A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性根据所给条件不能判定正确答案：C解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选C．知识模块：无穷级数5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为()．A．B．C．D．正确答案：D解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为()．A．(一1，1]B．[一1，1)C．[0，2)D．(0，2]正确答案：C解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选C．知识模块：无穷级数7．(1999年试题，二)设其中则等于()．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题设，所给S(x)为余弦级数，周期为2，将f(x)作偶延拓，并由傅里叶级数收敛定理，知所求和函数值为选C。题干中只给出在[0，1]上的表达式，待求的是时的傅里叶级数和，应想到利用S(x)的奇偶性和周期性．知识模块：无穷级数8．(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π．则y(1)等于()．A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：先由题意，建立y(x)所满足的一阶微分方程．由题设及导数的定义，有这是可分离变量的方程，分离变量为两边积分，得｜lny｜=arctanx+C，其中C为任意常数．将y(0)=π代入上式，可求出C=lnπ，因此ln｜y｜=uretanx+lnπ将x=1代入，可求出选D．本题的关键是要得到微分方程得到该微分方程有两种方法：①由微分与增量的关系可知应是dy，从而可知△x的系数应是y’，即②由两边除以△x后，令,△x→0取极限亦可得知识模块：常微分方程9．(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()．A．y’’’+y’’一4y’一4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’一y’’一4y’+4y=0D．y’’’一y’’+4y’一4y=0正确答案：D解析：由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为λ1=1，λ2.3=±2i，从而特征方程为(λ—1)(λ+2i)(λ一2i)=(λ—1)(λ2+4)=λ2一λ2+4λ一4=0故所求微分方程为y’’’一y’’+4y’一4y=0，故应选D．本题考查的是线性常系数齐次微分方程解的结构，线性无关的解与其特征值的关系．对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，应该也要掌握其特征方程与对应解之间的关系．知识模块：常微分方程填空题10．(2008年试题，二)已知幂级数在x=0收敛，在x=一4发散，则幂级数的收敛域为____________.正确答案：当x=0时，x+2=2；当x=一4时，x+2=一2．故由题意可知，幂级数的收敛域为(一2，2]．故当一2收敛，即幂级数3)n的收敛域为(1，5]．解析：收敛域则应考虑端点的敛散性．知识模块：无穷级数11．(1997年试题，一)设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为____________.正确答案：已知收敛半径为3，则．令x一1=t，则幂级数因此收敛半径也为3，所以一3nan(x—1)n+1的收敛区间为(一2，4)．解析：①注意收域区间的规定是指开区间，因而不需要考虑端点的敛散性；②幂级数经过有限次的逐项求导或积分，不改变其收敛半径与收敛区间．知识模块：无穷级数12．(2003年试题，一)设则a2=____________.正确答案：本题考查欧拉一傅里叶系数公式由题设，f(x)=x2，从而解析：求傅里叶系数应首先弄清该傅里叶级数的周期、奇偶性，然后套用相应的公式即可知识模块：无穷级数13．(2011年试题，二)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________.正确答案：由y’+y=e-xcosx得因为y(0)=0，所以C=0，于是y=e-xsinx．涉及知识点：常微分方程14．(2008年试题，二)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：将微分方程zy’+y=0积分得ln｜y｜=一ln｜x｜+C，利用题设条件得又因为y(1)=1，所以解析二仔细观察会发现原微分方程可写成(xy)’=0，则有xy=C．又y(1)=1，则得C=1．故而得涉及知识点：常微分方程15．(2006年试题，一)微分方程的通解是_____________。正确答案：是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得ln｜y｜=1n｜x｜—x+C1即｜y｜=eC1｜x｜e-x所以，此微分方程的通解是y=Cxe-x，C为常数．涉及知识点：常微分方程16．(2005年试题，一)微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为_____________.正确答案：将原方程变形为积分有因为．所以C=0，得涉及知识点：常微分方程17．(2002年试题，一)微分方程yy’’+y12=0满足初始条件的特解是________________.正确答案：由题设所给方程yy’’+y12=0，令y’=u，则．代入原方程，有=0，分离变量得，两边积分得lnu=一lny+C，即lnuy=C，uy=eC=C1由初始条件y｜x=0=1，可求出从而即分离变量得：两边积分得：y2=x+C2．由y｜x=0=1呵求出C2=1．因此所求特解为：y2=x+1．涉及知识点：常微分方程18．(2000年试题，一)微分方程xy’’+3y’=0的通解为_____________.正确答案：设y’=u，从而y’’=u’，原方程变为zu’+3u=0，分离变量为积分得积分得所得通解为解析二所给方程可转化为欧拉方程x2y’’+3xy’=0．令x=±e’，则方程化为常系数的线性方程特征方程r2+2r=0的根为r1=0，r2=一2，则得通解为)，=C2+C1e-2t，即有涉及知识点：常微分方程19．(2012年试题，二)若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=____________．正确答案：齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r一2=0，得特征根为r1=1，r2=一2，则有通解f(x)=c1ex+c2e-2x，代入方程f(x)+f(x)=2ex得2c1ex一c2e-2x=2ex，则c1=1，c2=0．因此f(x)=ex．涉及知识点：常微分方程20．(2009年试题，二)若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为___________．正确答案：由通解y=(C1+C2x)ex的形式可知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征方程r2+ar+b=0有重根r=1，则a=一2，b=1．设微分方程为y’’一2y’+y=x的特解为y’’=Ax+B，则一2A+Ax+B=x，比较等式两边x的系数，即有A=1，一2A+B=0，则A=1，B=2故特解为y*=x+2，则非齐次方程y’’+ay’+6y=x的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2把y(0)=2，y’(0)=0代入，得C1=0，C2=一1．故所求的解为y=-xex+x+2．涉及知识点：常微分方程21．(2007年试题，二)二阶常系数非齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=___________.正确答案：齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=0的特征方程为r2一4r+3=0，则可得其通解为y=C1ex+C2e3x(因r1,2=1，3)，非齐次方程y’’一4y’+3y=2e2x的一个特解为y*=一2e2x，则此方程的通解为y=C1/ex+C2e3x一2e2x(C1，C2∈R)．涉及知识点：常微分方程22．(2001年试题，一)设y=e*(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为________________．正确答案：本题与以往对于微分方程的考查的角度不同，是要求从通解还原出方程本身，这就需要根据特征值与通解的关系，求出特征值，反推特征方程，从而还原出微分方程，由题设，可知对应的两个特征值为λ1=1+i，λ2=1—i，从而有特征方程λ2一2λ+2=0，因此齐次微分方程为y’’一2y’+2y=0．解析二不管所求微分方程是什么类型的(只要是二阶)，由通解)，=ex(C1sinx+C2cosx)求导得：y’=ex[(C2—C2)sinx+(C1+C2)cosx]，y’’=ex(一2C2sinx+2C1cosx)消去C1，C2得y’’一2y’+2y=0．涉及知识点：常微分方程23．(1999年试题，一)y’’一4y=e2x的通解为y=______________．正确答案：先求齐次方程的特征根．由题设，相应的特征方程为λ2一4=0，则λ1=2，λ2=一2，齐次方程通解为y=C1e2x+C2e2x，假设非齐次方程特解为y*=Axe2x，代入原方程，有，因此．综上，所求通解为y=C1e2x+C2e-2x+涉及知识点：常微分方程24．(2004年试题，一)欧拉方程的通解为______________.正确答案：题设所给为二阶欧拉方程，令x=et，则一并代回原方程得此为二阶常系数线性齐次方程．相应特征方程为λ2+3λ+2=0，可解得特征根为λ1=一1，λ2=一2，则通解为y=C1e-t+C2e-2t，所以原方程通解为解析：对于二阶欧拉方程x2y’’+pxy’+qy=f(x)(p，q为常数)，可令x=et(t=lnx)得代入原方程后可化为二阶常系线性微分方程f(e’)．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25．(2004年试题，三)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α>1时，级数收敛．正确答案：由题设，引入辅助函数f(x)=xn+nx一1则关于原方程存在唯一正实根的讨论转化为讨论函数f(x)的零点．因为f(0)=一10，则由连续函数的零点定理知，f(x)在[0,1]内存在零点，设其为xn，即xn∈(0，1)，且f(xn)=0；又，f’(x)=nxn－1+n，当x>0时f’(x)>0，所以f(x)在[0，+∞)上严格单调递增，从而xn是f(x)在(0，+∞)上唯一零点，即原方程xn+nx一1=0在(0，+∞)上存在唯一正实根xnn．由xn+nxn一1=0及xn∈(0，1)知所以当α>1时，由正项级数收敛及比较判别法知，收敛(α>1)．涉及知识点：无穷级数26．(1999年试题，九)设(1)求的值；(2)试证：对任意的常数λ>0，级数收敛．正确答案：(1)由题设先求出级数通项从而显然级数的部分和因此(2)为证明级数收敛，需要对an作出估计，由已知，令tanx=y，则因此已知λ>0，从而收敛，由比较判别法知，级数收敛．涉及知识点：无穷级数27．(1998年试题，八)设正项数列{an}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由．正确答案：由题设，正项数列{an}单减且有下界，由此知数列{an}收敛，并记且有a≥0．而由已知发散。结合莱布尼兹交错级数判别准则可知a≠0，否则必收敛，因此a>0，既然an单调减少且极限为a>0，则有而几何级数的公比必然收敛，因此由比较判别法知收敛．解析二同分析一，先证得极限存在，且a>0．又所以由正项级数的根式判别法.因此由比较判别法知收敛．涉及知识点：无穷级数(1997年试题，六)设a1=2，，证明28．存在；正确答案：证明数列极限存在，通常是利用单调有界准则．由题设即an+1≤an，数列单调递减，且有下界，则{an}必收敛．设在式an+1=两边取极限，得解得a=1，因此涉及知识点：无穷级数29．级数收敛．正确答案：关于级数记其通项为bn，即由(1)中知bn＞0．将代入有由比值值判别法知收敛．解析二本题还可由以下方法证得结果，由(1)中已知，an≥1且an+1n，则即0≤bn≤an一an+1，级数部分和由(1)知．所以存在，因此收敛．证毕．涉及知识点：无穷级数30．(2012年试题，三)求幂级数的收敛域及和函数．正确答案：先求收敛半径R，令令x2由于，级数足发散的，因此发散．即得幂级数的收敛域为(一1，1)．下面求和函数，令令．则其中得和函数涉及知识点：无穷级数31．(2000年试题，七)求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．正确答案：由题设，先求幂级数的收敛半径．因为所以收敛半径R=3，则收敛区间为(一3，3)．当x=3时，幂级数通项为而级数发散，因此原幂级数在x=3处发散当x=一3时，上述级数是变量级数，可采用分解法讨论它的敛散性由收敛知，收敛．又收敛知，收敛，即x=一3时原幂级数收敛，从而得其收敛域为[一3，3)．解析：级数虽然是交错级数，但不满足莱布尼兹判别法的条件，因此不能莱布尼兹判别法判断其敛散性．此外，由于该级数是变号级数，因而下述论证方法是错误的：因收敛，故收敛．知识模块：无穷级数32．(2010年试题，18)求幂级数的收敛域与和函数．正确答案：设幂级数的第n项为un，则un=令则当一1为交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛，故题设中所给级数的收敛域为[一1，1]．设幂级数的和函数为令则S(x)=xS1(x)，S1(0)=0．且有故而所以S(x)=xS1(x)=xarctanx，即幂级数的和函数为xarctanx．涉及知识点：无穷级数(2007年试题，20)设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’一2xy’一4y=0。y(0)=0，y’(0)=133．证明正确答案：，则代入方程y’’一2xy’一4y=0得则有(n+2)(n+1)an+2—2nan一4an=0，整理得：涉及知识点：无穷级数34．求y(x)的表达式．正确答案：y(0)=0→a0=0；y’(0)=1→a1=1．由(I)知：an+2=→a2n=…=a2=a0=0．故解析：在讨论第二部分的问题时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式，如不熟悉，可用通用的求和函数方法求解．知识模块：无穷级数35．(2005年试题，16)求幂级数的收敛区间与和函数f(x)．正确答案：根据题意。令t=x2，不妨考察。有因为所以所以的收敛半径为1，原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(一1，1)．再求和函数f(x)．把所给级数分成两部分，其中再设有因为f2’(0)=0，f(0)=0所以f(x)=f1(x)+f2(x)=解析：幂级数求和应尽量将其化为形如或的幂级数，再通过逐项积分或逐项求导的方法求出其和函数．知识模块：无穷级数36．(2002年试题，七)(1)验证函数∞)满足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．正确答案：(1)由题设，结合幂级数可以逐项求导的性质，先求y’(x)和y’’(x)，即由于是因此y(x)是微分方程y’’+y’+y=ex的解．(2)通过求(1)中微分方程来得到y(x)，该微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ2+λ+1=0，从而特征根为因此原方程相应的齐次线性方程的通解为设原方程特解为y*=Aex。则代入原方程有，3Aex=ex，即综上，原方程通解为由题设(1)可知y(0)=1，y’(0)=0，可解出．C2=0，所以幂级数的和函数为涉及知识点：无穷级数37．(2009年试题，16)设an为曲线y=xn与y=xn+1(n=1，2，…)所围成区域的面积，记s1=．求s1与s2的值．正确答案：曲线y=xn与y=xn+1在点x=0和x=1处相交，则有因为令x=1，则有由上式得涉及知识点：无穷级数38．(2006年试题，17)将函数展开成x的幂级数．正确答案：用分解法转化为求的展开式．由(已知)，将f(x)分解部分分式并展成x的幂级数：所以涉及知识点：无穷级数39．(2003年试题，四)将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．正确答案：由于幂级数可逐项求导(积分)，结合题设所给函数f(x)的形式，可知应先将f(x)求导以后作幂级数展开，再逐项积分，即从而因此由于级数收敛，函数f(x)在处连续，所以令则因此解析：幂级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛区间，但在收敛区间的端点处的敛散性可能会改变．如幂级数n4nx2n的收敛域为但逐项积分后所得幂级数的收敛域为其实它在处也收敛，但函数处没有定义．知识模块：无穷级数40．(2001年试题，五)设试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数的和．正确答案：分析题设所给f(x)的结构，可知将arctanx展成幂级数即可，则从而f(x)的幂级数展开式为令x=1，则．因此解析：注意函数已经是x的幂函数形式，因而求解时只需关注函数arctanx的展开式．另外，求级数的和是幂级数展开式的一个基本应用，求出对应的函数，赋值后即可得到级数的和．知识模块：无穷级数41．(2008年试题，19)将函数f(x)=1—x2(0≤x≤π)展开成余弦形式的傅里叶级数，并求的和．正确答案：令F(x)=1一x2(x∈[一π，π)，则F(x)=f(x)(x∈[0，π])．由于在[一π，π]上F(x)=1一x2是偶函数，故bn=0(n=1，2，…)．当n=0时，当n=1，2，…时，因而有当x=0时，有涉及知识点：无穷级数42．(2010年试题，15)求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解．正确答案：先求奇次线性微分方程y’’一3y’+2y=0的通解，其特征方程为r2—3r+2=0，对应的特征解为r1=1，r2=2，故而方程y’’一3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x．设非奇次线性方程的特解为y*=(ax2+bx)ex，将其带入方程中可得a=一1，b=一2，则特解y*=(一x2一2x)ex=一x(x+2)ex．故所求非奇次线性微分方程的通解为y=y1+=y*=C1ex+C2e2x一x(x+2)ex，其中C1，C2为任意两个常数．涉及知识点：常微分方程(2003年试题，七)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．43．试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程．正确答案：由题设，x=c(y)与y=y(x)互为反函数且y’≠0，则即此式两边对x求导，得代入原微分方程，得y’’一y=sinx(1)此即变换后的微分方程．涉及知识点：常微分方程44．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解．正确答案：方程(1)其相应齐次方程y’’一y=0的特征方程为λ2一1=0，即λ1=1，λ2=一1，从而通解为y=C1ex+C2e-x，又设方程(1)特解为y*=Acosx+Bsinx代入方程(1)可求得A=0，．因此y*=综上y’’一y=sinx的通解为由初始条件y(0)=0,．可求出C1=1，C2=一1．因此所求初值问题的解为涉及知识点：常微分方程45．(2004年试题，三)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克，km／h表示千米／小时．正确答案：由题设，设飞机质量为m=9000(kg)，着陆时的水平速度为v0=700(km／h)，并设从着陆点开始时的t时刻，飞机滑行距离为x(t)，速度为v(t)，则[*]由牛顿第二定律知[*]关于(1)，由[*]则[*]．即dx=[*]积分上式得[*]由初始条件，当t=0时，x(0)=0，v(0)=v0，知[*]所以[*]令v=0，可解得[*]即飞机滑行的最长距离为1．05km．关于(2)，即[*]分离变量得[*]积分上式得[*]同样由初始条件v(0)=v0可解出C2=v0，所以[*]从而[*]即得到同样结果．解析：方程(1)实际上是一个二阶常系数线性齐次微分方程，即mx’’+kx’=0，相应特征方程为可解得特征根为λ1=0，λ2=则通解为由初始条件x(0)=0，v(0)=v0，得C3=一C4=所以当t→+∞时,同样可得出飞机滑行的最长距离为1．05km．知识模块：常微分方程46．(1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任