吉林省长春市市第十八中学高一数学理期末试卷含解析

吉林省长春市市第十八中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．【解答】解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2+a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故选：B．2.设函数为偶函数，且当时，，又函数，则函数在上的零点的个数为(

)个。

A.

B.

C.

D.参考答案：C3.函数在上的最大值比最小值大，则为（

）

A

B

C

或

D

参考答案：C4.已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是（A）l⊥m，l∥α

（B）l⊥m，l⊥α

（C）l∥m，l∥α

（D）l∥m，l⊥α参考答案：A5.一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），则此几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略6.若a是函数的零点，若，则的值满足A．

B．

C．

D．的符号不确定参考答案：B7.银行三年定期的利率为，一年定期的利率为，一年后取出将本息再存入一年定期，这样三年后取出的本息与存三年定期取出的本息相比较，还是一年一年的存合适，那么值应小于

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A8.若，，则等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C略9.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是A．

B． C．

D．参考答案：A10.一个球的表面积是，那么这个球的体积为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．参考答案：（3，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．12.不等式的解集是，则的值等于_________.参考答案：略13.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是

。参考答案：解析：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P。设机器人改变方向的点为A，，。则由已知条件有，以及.所以有即所求平面图形为弓形，其面积为

平方米。14.若不等式对任意都成立，则的取值范围为___________．参考答案：略15.函数的定义域为______________________参考答案：16.在锐角△ABC中，|BC|=1，∠B=2∠A，则=2；|AC|的取值范围为

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；数形结合；综合法；解三角形．【分析】根据正弦定理便可得到，从而便可得到，而根据△ABC为锐角三角形，从而得到，这样便可得到，这样便可得出cosA的范围，从而得出|AC|的取值范围．【解答】解：如图，根据正弦定理：，|BC|=1，∠B=2∠A；∴；∴；∴|AC|=2cosA；∵A，B，C为锐角三角形，∠B=2∠A，∠C=π﹣3∠A；∴；∴；∴；∴；∴|AC|的取值范围为（）．故答案为：2，．【点评】考查正弦定理，二倍角的正弦公式，以及锐角三角形的概念，余弦函数在上的单调性．17.（5分）已知函数f（x）=，若f（x）=10，则

．参考答案：x=3或﹣5考点： 分段函数的应用．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由分段函数可知，令x2+1=10，﹣2x=10，从而解得．解答： 令x2+1=10，解得，x=3或x=﹣3（舍去）；令﹣2x=10，解得，x=﹣5；故答案为：3或﹣5．点评： 本题考查了分段函数的自变量的求法，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求值：（1）（2）2log310＋log30.81

参考答案：解：（1）原式=（2）原式=19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．（2）根据两点之间线段最短可得到周长最短的情况，再根据已知两点求得直线解析式，即可求得所求点的坐标．（3）根据三角形的面积计算方法可以将三角形切割为两个便于计算的小三角形，再求每个三角形的底和高，即可表示出三角形的面积，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的点的坐标．【解答】解：（1）因为抛物线在x轴上的交点为B（1，0），和C（5，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），由抛物线过A（0，4），∴a（0﹣1）（0﹣5）=4，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣5），即y=x2﹣x+4，对称轴为直线x==3，（2）存在．如图所示，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB，∵B，C关于对称轴对称，AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，此时△PAB的周长最小，设直线AC方程为y=mx+n，将A（0，4），B（1，0），代入可得，解得：，即y=﹣x+4，当x=3时，y=﹣×3+4=，∴P点坐标为（3，）；（3）存在．设N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图所示，过N作NF∥OA，分别交x轴和AC于F，G，过A作AD⊥FG的延长线于点D，连接CN，根据（2）的AC解析式y=﹣x+4，可得G（t，﹣t+4），∴NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵S△ANC=S△AGN+S△CGN，S△AGN=GN×AD，S△CGN=CF×GN，∴S△ANC=GN×（AD+FC）=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时△NAC的面积最大，最大值为，此时t2﹣+4=×（）2﹣×+4=﹣3，∴此时N的坐标为（，﹣3）．20.如图，正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为．

（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．参考答案：解：（1）连结交于点，连结PO，则PO⊥面ABCD，

∴∠PAO就是与底面所成的角，∴tan∠PAO=．

设AB=1，则PO=AO?tan∠PAO==．

设F为AD中点，连FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以就是侧面与底面所成二面角的平面角．

…在Rt中，，∴，即侧面与底面所成二面角的大小为；（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以，．∴就是异面直线PD与AE所成的角．

在Rt中，．∴．

由，可知面．所以，

在Rt中，，即异面直线PD与AE所成角的正切值为．

略21.（本小题满分12分）已知向量（1）求向量的夹角；（2）若求参考答案：解：(1)∵，∴设向量的夹角为，则所以向量的夹角为。………………6分略22.记函数f（x）=的定义域为集合A，则函数g（x）=的定义域为集合B，（1）求A∩B和A∪B（2）若C={x|p﹣2＜x＜2p+1}，且C?A，求实数p的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）先分别求出函数f（x）、g（x）的定义域A、B，再利用交集、并集的定义可求出A∩B和A∪B．（2）由C?A，分类讨论，即可求出实数p的取值范围．【解答】解：（1）∵x﹣2＞0，