广西壮族自治区“贵百河”2024届高三下学期4月质量调研联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区“贵百河”2024届高三下学期4月质量调研联考数学试题一、单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，则，故选：B.2.已知，为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，故.故选：C.3.抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为，则该学生这8次成绩的分位数为（）A.85 B.85.5 C.87 D.88.5〖答案〗D〖解析〗8次的数学成绩由小到大排列为：，因，故分位数为，故选：D.4.被除的余数为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗因为，其中能被整除，又，所以被除的余数为.

故选：B5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗,为偶函数,排除A.,排除B和C.故选:D.6.已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（）A. B. C.－3 D.3〖答案〗B〖解析〗因为圆的方程为：，化为标准方程得：，所以圆心为，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式得直线的斜率为：，由垂直关系的斜率公式得：，解得，故选：B．7.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（）（精确到）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设，上底面积为，下底面积为，所以1平升为，约为.故选：B.8.已知函数在区间上单调递增，则a最小值为（）A. B. C.e D.〖答案〗A〖解析〗由题意得在上恒成立，，故，即，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故a的最小值为.故选：A二、多选题9.平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，则（）A. B.锐角三角形C.的面积为 D.的外接圆半径大于2〖答案〗CD〖解析〗，所以，由正弦定理得，故A错误；由余弦定理，得，所以角是钝角，故B错误；由，得，的面积为，故C正确；设的外接圆半径为，则，故D正确.故选：CD10.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接BM，翻折过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角B.棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABCC.当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BCD.∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角〖答案〗BC〖解析〗对A，取BD中点E，连接CE，ME，如图，因△BCD是正三角形，有CE⊥BD，而M是AD的中点，有ME∥AB，而AB⊥BD，则ME⊥BD，CE∩ME＝E，CE，ME⊂平面CME，于是得BD⊥平面CME，CM⊂平面CME，所以CM⊥BD，A不正确；对B，取CD的中点N，连MN，因M是AD的中点，则MN∥AC，AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，B正确；对C，因，要三棱锥C﹣ABD的体积最大，当且仅当点C到平面ABD距离最大，由选项A知，点C到直线BD的距离是二面角A﹣BD﹣C的平面角，当∠CEM＝90°时，CE⊥平面ABD，即当C到平面ABD距离最大为时，三棱锥C﹣ABD的体积最大，此时CE⊥ME，有CE⊥AB，而AB⊥BD，CE∩BD＝E，CE，BD⊂平面BCD，则有AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AB⊥BC，C正确；对D，若∠CMB是二面角C﹣AD﹣B的平面角，则AD⊥CM，因为M为AD中点，故CA＝CD，这不一定成立，故D错误．故选：BC．11.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（）A.若，则中点到轴的距离为4B.弦的中点的轨迹为抛物线C.若，则直线的斜率D.的最小值等于9〖答案〗BCD〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为，设，对于A，依题意，，解得，线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，由消去x得，，则，，，设线段中点坐标为，则，消去可得，因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；对于C，显然，由，得，，由选项B知，有，又，则,，因此直线的斜率，C正确；对于D，由选项B知，，则，因此，当且仅当，即时取得等号，D正确.故选：BCD.三、填空题12.已知向量的夹角为，，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，．故〖答案〗为：13.已知，则_________.〖答案〗〖解析〗因为，可得，所以.故〖答案〗为：.14.设分别为椭圆左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗由题意得，，，则，直线的斜率为，即，联立方程组，，可得，而，故，代入直线中得，故可得，由题意得，可得，化简得，即，化简得，同除得，且，解得.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，即，所以，联立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.16.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.（1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；（2）求第一局比赛甲获胜的概率；（3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.解：（1）依题意，的所有可能取值为设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，所以，.所以的分布列为012故的均值为.（2）设第一局比赛甲获胜为事件，则.由（1）知，，由全概率公式，得解得，即第一局比赛甲获胜的概率.（3）由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，因此可得；故该场比赛甲获胜的概率.17.已知四棱锥中，，，，，，（1）求证：（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.（1）证明：在梯形ABCD中，，，，，可算得，,所以,所以，在中，，，满足，所以，又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因为平面PBD，所以；（2）解：由（1）证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，则平面平面ABCD，取BD中点O，连OP，OC，因为，所以，而平面ABCD，且平面平面，平面PBD，所以就是PC与平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，计算可得，所以，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为解法由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，则平面平面ABCD，通过计算可得，建立以，为x轴，y轴的正方向，以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，显然z轴再平面PBD中且垂直于BD，则，，，，所以，，，设平面PBD的法向量为，则，即，取，设直线PC与平面PBD所成角为，则，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为18.已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，.（1）求的方程；（2）过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点在定直线上：（ii）若直线与交于点，求证：．（1）解：由点，的坐标可知，离心率为，故，所以，所以双曲线方程为；（2）证明：（ⅰ）设直线为：，联立双曲线得，消去得：，根据题意得：，设，，则，，，，故，直线：，因为在上，所以，直线：，直线：，令，可得，解得，故点在直线上；（ⅱ）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设，，点在直线上，所以，点在直线上，所以，，所以.19.已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“下界函数”．（1）如果函数为的一个“下界函数”，求实数的取值范围；（2）设函数，