柱、锥、台体、圆的面积与体积公式

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式〔一〕圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，那么其侧面展开图的面积即为侧面面积。1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积〔二〕直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，那么侧面展开图的面积就是侧面的面积。1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c'＝c时即柱体的侧面积公式；〔三〕棱柱和圆柱的体积斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长〔四〕棱锥和圆锥的体积〔五〕棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。〔六〕球的外表积和体积公式〔一〕简单的组合几何体的外表积和体积——割补法的应用割——把不规那么的组合几何体分割为假设干个规那么的几何体；补——把不规那么的几何体通过添补一个或假设干个几何体构造出一个规那么的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1.有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，那么铁丝的最短长度为多少厘米？解：展开后使其成一线段AC＝考点二求几何体的面积例2.设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？〔保存两位有效数字〕解：答：略。考点三求几何体的体积例3.求棱长为的正四面体的体积。分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。解：如图，将正四面体补形成一个正方体，那么正方体的棱长为1，那么：V正四面体＝V正方体－4V三棱锥＝1－。考点四求不规那么几何体的体积例4.证明四面体的体积，其中a，b，c为自同一顶点S出发的三条棱SA、SB、SC的长，α，β为点S处的两个面角∠BSC、∠ASC，C为这两个面所夹二面角的大小。证明：通过补形，可将此三棱锥补成一个三棱柱，如图。那么该三棱柱的体积可以利用“直截面面积×侧棱长”来进行求解，假设设过A点的直截面为AHD，那么由题意知：∠ADH＝C；又AD⊥SC，故AD＝SA×sinβ＝a·sinβ；假设过B作BE⊥SC于E，那么BE＝HD＝BC×sinα＝b·sinα.所以，从而有。考点五球的外表积和体积例5.在球心的同侧有相距为9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的外表积和体积。分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径解：设球的半径为R，O为球心，O1、O2分别是截面圆的圆心，如图。那么O1A＝7，O2B＝20，OA＝OB＝R，从而分别解三角形OO2B和三角形OO1A得到OO1和OO2，由OO1－OO2＝9解得R＝球的外表积为2500π，球的体积为。考点六求点到平面的距离——等积法的应用例6.在正方体ABCD－A’B’C’D’中，棱长为a，求B到平面AB’C的距离。解：设B到面AB’C的距离为h，因为AB’＝B’C＝CA＝a，所以SΔAB’C＝〔a〕＝a，因此·a·h＝VB－AB′C＝VB′－ABC＝·a·a＝a，故h＝a，即B到面AB′C的距离为a。附：拟柱体通用体积公式拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面.其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。，选A。例2.如下图，在多面体ABCDEF中，ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，，EF与面AC的距离为2，那么该多面体的体积为〔〕A. B.5 C.6 D.，选D。【模拟题】一、选择题1.〔2008四川〕设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，那么这三个圆的面积之比为：〔〕A.3：5：6B.3：6：8 C.5：7：9 D.5：8：92.〔2008山东〕以下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是〔〕A.9πB.10πC.11πD.12π3.〔2008湖北〕用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，那么球的体积为〔〕A.B.C.D.4.〔2008湖南〕长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝，AA1＝1，那么顶点A、B间的球面距离是〔〕A.2 B. C. D.*5.〔2008重庆〕如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交局部〔图中阴影局部〕的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色局部的体积，那么以下关系中正确的选项是〔〕A.V1＝ B.V2＝C.V1>V2 D.V1<V26.〔2008海南改〕一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为〔〕A.B.C.D.7.〔2008天津改〕假设一个球的体积为，那么它的外表积为〔〕A.B.C.12D.24二、填空题：8.〔2008四川〕正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，那么该正四棱柱的体积等于________________。9.〔2008浙江〕如图，球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA＝AB＝BC＝，那么球O的体积等于___________。三、解答题*10.〔2008广东卷〕如下图，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．〔1〕求与平面所成角的正弦值；〔2〕证明：是直角三角形；〔3〕当时，求的面积。11.〔2008辽宁卷〕如图，在棱长为1的正方体中，AP＝BQ＝b〔0<b<1〕，截面PQEF∥，截面PQGH∥。〔Ⅰ〕证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；〔Ⅱ〕证明：截面PQEF和截面PQGH的面积之和是定值，并求出这个值；〔Ⅲ〕假设与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值。**12.在六条棱分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大的体积是多少？并证明你的结论。13.设一直角四面体P－ABC〔即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90º〕的三条棱PA、PB、PC的长之和为L，试求〔并证明〕其最大体积。【试题答案】一、选择题DDBCDAB二、填空题8、2；9、三、解答题10、【解】〔1〕在中，，而PD垂直于底面ABCD，，在中，，即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为，由有，即；〔2〕，而，即，，是直角三角形；〔3〕时，，即，的面积11、解：〔Ⅰ〕证明：在正方体中，，，又由可得，，，所以，，所以平面。所以平面和平面互相垂直。〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ＝1，所以截面PQEF和截面PQGHR的面积之和是，是定值。〔III〕解：连结BC′交EQ于点M。因为，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．与〔Ⅰ〕同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．设AD’交PF于点N，连结EN，由知．因为AD’⊥平面PQEF，又与平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E为BC中点．所以EM＝，又，故D’E与平面PQGH所成角的正弦值为．12、【解】三角形两边之和大于第三边，按题设的数据，一边为2的三角形，其余两边只可能是：①3，3；②5，5；③4，5；④3，4。从而，四面体中以2为公共边的有两个面，其余两边只可能有以下三