江苏省无锡市江溪中学高三数学理上学期摸底试题含解析

江苏省无锡市江溪中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6 B．﹣2x+6 C．2x﹣6 D．﹣2x﹣6参考答案：B考点：函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．专题：计算题．分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．解答：解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a﹣b|是函数的周期是解答本题的关系．2.设是三条不同的直线，为三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，且，则；④若，则其中假命题的序号为.参考答案：答案：①②③

解析：垂直于同一个平面的两个平面可以平行也可以相交，故命题①为假；垂直于同一条直线的两条直线可以平行也可以相交或异面，故命题②为假；而③的条件不能保证故假命题的序号为①②③.3.若双曲线的一条渐近线为，则实数m=（

）A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：B由题意知，即，故有，所以.试题立意：本小题主要考查双曲线的几何性质；意在考查运算求解能力.4.已知为等差数列，，则等于

A.-1

B.1

C.3

D.7参考答案：B解析：∵即∴同理可得∴公差∴.选B。5.设m、n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则的—个充分条件是A．m//n,//,

B．,//,//m

C．m//n，,//

D．,,参考答案：C6.已知变量x、y满足表示的平面区域为Ｍ，则Ｍ中的点P(x,y)到直线x+y=10的距离的最大值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A如图所示，平面区域为Ｍ是一个五边形ＡＢＣＤＥ，点ＡＢＣＤＥ分别到ｘ＋ｙ＝１０的距离是：,,，，．综上所述，Ｍ中的点P(x,y)到直线x+y=10的距离的最大值是．7.已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是()A．x－y>0

B．x＋y<0C．x＋y>0

D．x－y<0参考答案：C略8.若，则

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（

）A．20

B．25

C．40

D．50参考答案：B解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为，故答案为B.10.将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为

．参考答案：

12.已知函数f（x）=1+x﹣，若函数f（x）的零点都在（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是．参考答案：1考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在上有一个零点，即可得出结论．解答：解：f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）=1＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在上有一个零点；∵函数f（x）的零点都在（a＜b，a，b∈Z）内，∴b﹣a的最小值是1．故答案为：1．点评：此题是中档题，考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．13.在数列中，，为的前n项和．若，则_______．参考答案：414.已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为________．参考答案：设，，∵，∴．∴，∴，∵，∴，即

∴表示的可行域为平行四边形，如图：由，得，由，得，∴,∵到直线的距离，∴，∴，∴，∴，.15.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为．参考答案：210【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】设前3m项和为x，则30，100﹣30，x﹣100成等差数列，解出x的值，即为所求．【解答】解：等差数列{an}的每m项的和成等差数列，设前3m项和为x，则30，100﹣30，x﹣100成等差数列，故2×70=30+（x﹣100），x=210，故答案为：210．【点评】本题考查等差数列的性质，前n项和的性质，得到30，100﹣30，x﹣100成等差数列，是解题的关键．16.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则________．参考答案：3由题意得分别为中点,所以点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求|,抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.17.在中，角所对的边分别为，若，，，则

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的面积S满足（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值。参考答案：（1）

（2）19.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．可得四边形ABOD是平行四边形，由于AD⊥DC，可得四边形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M为EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．【解答】（I）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四边形ABOD是平行四边形，∵AD⊥DC，∴四边形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{an}的前n项和，为正整数.（1）令，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令，求.参考答案：（1）；（2）.试题分析：由于题目已知给出和的关系，可令求出，然后当时，利用得出和的关系，由于可知：，说明数列是等差数列，再求数列的通项公式，在得出的通项公式；第二步由得出，符合使用错位相减法求和，于是采用错位相减法求出数列的前项和即可;试题解析：（1）在中，令，可得，即当时，，，因为，则，即：当时，，又数列是首项和公差均为1的等差数列．于是，则：．（2）由（1）得，所以:由①-②得,则考点：1．数列前项和与通项的关系；2．转化思想；3．错位相减法；21.17．(本小題满分12分）设的内角、、的对边分别为、、，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．参考答案：（1）（2）（1）∵，所以，∵，∴．∴．∴．在△中，．∴，．（2）∵，．

∴∴，当且仅当时取“=”，∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．22.互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、（注：图中（单位：小时）代表分组为）（1）求饼图中a的值；（2）假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？（只需写出结论）（3）从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．参考答案：（1）；（2）第4组；（3）