概率论与数理统计答案-祝东进

概率论与数理统计答案-祝东进习题1.1写出下列随机试验的样本空间:掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数.从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数.连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或检查四个产品就停止检查,记录检查的结果.在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解:(1);;{(正),(反,正),(反,反,正),(反,反,反,正),…};{(次,次),(次,正,正,正),(次,正,正,次),(次,正,次,次),(次,正,次,正),(正,次,次),(正,次,正,正),(正,次,正,次)};.在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示:(1)=”出现的点数之和为偶数”.(2)=”出现的点数之和为奇数,但没有骰子出现1点”.(3)=”至少掷出一个2点”.(4)=”两颗骰子出现的点数相同”.解:(1);;;.设是三个事件,试用来表示下列事件:事件“中至少有一个事件发生”.事件“中至少有两个事件不发生”.事件“中至多有一个事件不发生”.事件“中至少有一个事件不发生”.事件“至少有一个发生,而不发生”.解:(1);或;或;;或.指出下列命题哪些成立,哪些不成立?(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7)等价于或或.(8)若,则.解:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)正确;(5)错误;(6)正确;(7)正确;(8)正确.在数学系的学生中任选一名学生,令事件表示被选学生是女生,事件表示被选学生是三年级学生,事件表示被选学生是运动员.叙述的意义.在什么条件下成立?什么时候成立?解:(1)被选学生是三年级男运动员;因为等价于,即数学系的女生全部都是三年级运动员;数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.试用维恩图说明,当事件,互不相容,能否得出,也互不相容?解:不能.设样本空间,事件,,试求:.解:;;;.习题1.2设,求(1);(2);(3).解:;;.设且求.解:注意到.从而由得.于是.设为三个随机事件,且,求.解:由知.于是由广义加法公式有.设为两个随机事件,且,问:在什么条件下,取到最大值,最大值是多少?在什么条件下,取到最小值,最小值是多少?解:(1)由于.由此可见在条件下,取到最大值.注意到.因此当时,取到最小值.思考:有人说(2),在时,取到最小值0.你能指出错误在什么地方吗?设为两个随机事件,证明:(1).(2).证明:(1)由广义加法公式可得.由(1)立得.其余不等式是显然的.设为三个随机事件,证明:.证明:由广义加法公式可得设为个事件,利用数学归纳法证明:(1)(次可加性).掷一枚均匀的硬币次,求出现的正面次数多于反面次数的概率.解:设表示硬币出现的正面次数多于反面次数,表示硬币出现的反面次数多于正面次数,表示硬币出现的反面次数等于正面次数.易见,.当时,易见,从而.当时,易得.从而.从一个装有个白球,个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此题设想将袋中的个白球和个黑球全部摸出,则最后一次(第次)摸出白球与本题所述的事件相同.因此由抽签原理可得所求的概率为.口袋中有5个白球、3个黑球,从中任取两个,求至少取到一个白球的概率.解:所求的概率为.某人有把钥匙，其中只有一把能打开门,他一把接一把地试开门,不能开门的就扔掉．求他恰好在第次把门打开的概率．解:所求的概率为.任取一个正整数,求下列事件的概率:该数平方的个位数是1;(2)该数立方的个位和十位都是1.解:(1)我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关.因此我们观察取出数的个位数,其样本空间为.易知其是古典概型.设表示该数平方的个位数是1,则,于是.(2)一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关.因此我们观察取出数的个位和十位数,其样本空间为,表示该数立方的个位和十位都是1.则,于是.某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，假设拔完规定电话位数算完成一次拨号，且假设对方电话不占线，试问他拨号不超过四次就能接通电话的概率是多少?解:所求的概率为.一公司批发出售服装，每批100套．公司估计某客商欲购的那批100套服装中有4套是次品，12套是等级品，其余是优质品，客商在进货时要从中接连抽出2套做样品检查，如果在样品中发现有次品，或者2套都是等级品，客商就要退货．试求下列事件的概率：(1)样品中1套是优质品，1套是次品；(2)样品中1套是等级品，1套是次品；(3)退货；(4)该批货被接受；(5)样品中恰好有1套优质品．解:(1)样品中1套是优质品，1套是次品的概率为;)样品中1套是等级品，1套是次品的概率为;退货的概率为;该批货被接受的概率为;样品中恰好有1套优质品的概率为.在桥牌比赛中,把52张牌(不包括大小王)任意地分给东、南、西、北四家(每家13张牌),求下列事件的概率:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花;(2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃；(3)南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃.解:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率为或;南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃的概率为;南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃的概率为.将3个球随机地放入4个杯子,求4个杯子中球的个数最大值为2的概率.解:3个球随机地放入4个杯子共有种放法.4个杯子中球的个数最大值为2相当于先从3个球中任意地选出2个球作为一个整体和另外一个球放到4个杯子(注意不能同时放入同一个杯子)的放法总数为.于是所求的概率为.设集合有4个元素,集合有3个元素,随机地作集合到集合的映射,求该映射为满射的概率.解:该映射为满射的概率为.将个球随机地放入个盒子中,求下列事件的概率:每个盒子中均有球;(2)恰好有1个盒子空着的概率.解:设表示第个盒子无球,.设表示每个盒子中均有球.则.注意到,,,,于是由广义加法公式有从而.恰好有1个盒子空着可以这样理解,先从个盒子任意选定1个空盒,然后将个球随机地放入个盒子,使得个盒子都有球.从而由(1)及乘法原理可知"恰好有1个盒子空着"共有样本点,于是其概率为.某班有个同学参加面试,共有张考签,每人抽到考签用后即放回,在面试结束后,求至少有一张考签没有被抽到的概率.解:设表示第张考签没有被抽到,.设表示至少有一张考签没有被抽到.则.注意到,,,,于是由广义加法公式有从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率为多少?解:设表示所取的项含第行第列主对角线元素,.设表示所取的项包含主对角线元素.则.注意到,,,,于是由广义加法公式有习题1.5已知,求;;.解：注意到故...□设试证:证明:因为,.故□设件产品中有件不合格品,从中逐一不放回地取出两件产品,已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率;已知所取的两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:(1)设表示"第次取出不合格品",.于是所求的概率为.设表示所取的两件产品中有一件是不合格品,表示另一件也是不合格品.于是所求的概率为□掷两颗均匀的骰子,(1)已知点数和为偶数,求点数和等于8的概率;(2)已知点数和为奇数,求点数和大于6的概率;(3)已知点数和大于6,求点数和为奇数的概率.解:(1)所求的概率为;(2)所求的概率为;(3)所求的概率为.□一个家庭中有三个小孩,已知其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.解:表示三个小孩中有一个是女孩,表示三个小孩中至少有一个是男孩,于是所求的概率为□为防止意外事故，在矿井内同时安装两种警报系统与，每种系统单独使用时，其有效率为0.92,为0.93，在失灵条件下有效概率为0.85．求：(1)发生事故时，这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2)在失灵条件下，有效的概率.解:表示系统有效,表示系统有效.由题意知,从而.所求的概率为.所求的概率为.□口袋中有只红球和只白球,现从中一个一个不放回地取球,已知前次都没有取到红球,求第次取出红球的概率.求第次取出红球的概率.解:(1)所求的概率为;(2)所求的概率为.□口袋中有只白球、只黑球和个红球,现从中一个一个不放回地取球,试求白球比黑球出现得早的概率.解:设表示白球比黑球出现得早,表示第次取出白球,表示第次取出黑球,表示第次取出红球,则,且两两互斥,于是.□某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.求任取一位射手，他能通过选拔进入比赛的概率.解:设表示选出级射手,.表示选出的射手能通过选拔进入比赛.于是由全概率公式得□12个乒乓球中有9个新球，3个旧球，第一次比赛，取出3个球，用完放回，第二次比赛又取出3个球.求第二次取出的3个球中有2个新球的概率.解:设表示第一次比赛取出3个球中有个新球,.表示第二次取出的3个球中有2个新球.由全概率公式知□某商店出售尚未过关的某电子产品，进货10件，其中有3件次品，已经售出2件,现要从剩下的8件产品中任取一件，求这件是正品的概率.解:设表示已经售出2件产品中有件次品,.表示从剩下的8件产品中任取一件产品是正品.则由全概率公式知□“学生参加选择题的测验,每一个题目有5个备选答案，其中有一个正确．若该学生知道答案，则他一定能选出正确的答案，否则他随机地从5个答案中选一个．若该学生知道所有试题的70％的正确答案，求：(1)对一试题，该学生选得正确答案的概率是多少?(2)若该学生对一试题已选得正确答案，问他真正知道此题答案的概率是多少?设有来自3个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.求先抽到的一份是女生报名表的概率.已知后抽到的一份是男生报名表,求先抽到的一份是女生报名表的概率.口袋中有一球,不知它的颜色是黑的还是白的,假设”该球是白球”的可能性为.现再往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只,已知取出的是白球,求口袋中原来那只球是白球的概率.解:设表示"往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只是白球,"