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晶体的比热3.6.1晶体比热的一般理论本节主要内容：3.6.2晶体比热的爱因斯坦模型3.6.3晶体比热的德拜模型3.6晶体的比热下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。晶体比热的实验规律(1)在高温时，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个数,kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量)；(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。晶体的定容比热定义为：3.6.1晶体比热的一般理论---晶体的平均内能晶格振动比热晶体电子比热通常情况下，本节只讨论晶格振动比热。1.杜隆--珀替定律(经典理论)根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶体有N个原子，则总自由度为：3N。低温时经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆--珀替定律。2.晶格振动的量子理论晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的能量都是量子化的。第i个谐振子的能量为：ni是频率为

i的谐振子的平均声子数：第i个谐振子的能量为：晶体由N个原子组成，晶体中包含3N个简谐振动，总振动能为对于宏观晶体,原胞数目N很大，波矢q在简约布里渊区中有N个取值，所以波矢q近似为准连续的，频率也是准连续的。上式可以用积分来表示：间的振动模式数。表示在3.频率分布函数(模式密度)设晶体有N个原子,则(1)定义:其中

m是最高频率，又称截止频率。(2)计算因为频率是波矢的函数，所以我们可以在波矢空间内求出模式密度的表达式。包含在内的振动模式数为：单位频率间隔内的振动模式数。波矢密度两个等频率面间的体积每一支格波的振动模式数每一支格波的模式密度晶格总的模式密度两个等频率面间的波矢数qyqx体积元：dq：两等频面间的垂直距离,ds：面积元。体积元包含的波矢数目：由梯度定义知:代入上式得证明：(法一)例1：证明由N个质量为m、相距为a的原子组成的一维单原子链的模式密度一维单原子链共有N个值dq间隔内的振动模式数为:间隔内的振动模式数为：(因子2是因为一个

对应于正负两个波矢q，即一个

对应两个振动模

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