2022-2023学年湖北省随州市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022-2023学年湖北省随州市统招专升本数

学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

设》=COSU■.则/。⑹=（）

A.—COSTB.cos.r

C.—sirurD.sin.r

2.

2

则x=0是/6）的（）

e7+l

A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点

3.

.点1=0是函数y=3,-1的

1)

3了+1

A.连续点B.跳跃间断点C可去间断点D.第二类间断点

4.

函数/(x)=<°"一°’在x=0处连续，则。=()

a+x,x>0

A.e2B.e-1C.1D,0

5.

设a=Je，cLr,6=]e"-'>dz.则()

A.a=bB.a>6

C.a<hD.a,b无法比较

6.

?2

函数/(%)="一1/的极值点的个数是()

A.0B.1C.2D,3

7.

Sity=/⑴Mf5)二0,1l北必为/W的(

极大值点

A.

B.极小值点

c.驻点

D拐点

8.

曲线y=的渐近线()

.1--3

A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线

C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线

9.

设函数/(x)满足等式/-了一5丁=0,并且/'(/)=0,/(xo)<O,那么在点!

处，函数/(%)()

A.不能被判定是否取得极值B.一定不取得极值

C.取得极小值D.取得极大值

设】im/(t)Jimg(z)均存在，则下列结论不正确的是

A.+g(x)］存在B.—g(x)］存在

L0

C.J)•g(x)J存在D.lim存在

…g(工)

10.i

11.

由方程孙-siny=1所确定的隐函数y=/(x)的导数?=(>

dx

x

AA,.-Bo.♦rc.y*n-*•x

cosy—ycosy—xx-cosycosx-^

12.

,设r(w)=i,且/(o)=i.则=()

A.x+CB.■工*+a、+C

2

C.x+x+CD.另2+c

13.

.用待定系数法求微分方程/一6j+9y=43,的特解时•应设为()

A.y9=B.3/=q/

C.y9=(ar+b)x2e3xD.5»*=(心+6)e3z

14.

下列级数中收敛的是()

B.

15.

zl0\

设A=°2,则A'=)

10

A.02

30

06

10

08

30

08

极限lim七邛丝的值是

AO$lnrr

17.

用钢板做成一个表面积为54m2的有盖长方体水箱.欲使水箱的容积最大•则水箱的最

大容积为（）

A.18m3

18.

・设函数/（I）=「（C-'+»）市.则，（/）=

A.—+-J?B.一C-，+2JC

C.「+JD.+27

z

已知(i)dz=Tsin.r+C.则/(JZ)d.r=

B.j'sin.r2+C

424

C.-J-2sin.r+CD.—xcosx+C

20.

.连续曲线y=/Q')与直线x==b(a<b)及.r轴围成的曲边梯形的面积为

(

A.Jf(jc)dxB.|J/(jr)dj

C.f|fix)|diD.I/(—i)d、T

1

.设函数f(x卜(1+2x)\xw0在x=0处连续,jjiija=()o

a,x=0

A.1B.eC.e2D.e2

21.

22.

定积分3j产的值是()

A.2ln~B.!n2-1C.Jln2D.1-ln2

23.

.当zf0时.与c-M-1比较是同阶而非等价无穷小的为()

A.-sin.i'B./C.yD.-J-

24.

"1+Inj--

di=()

JiI

A-l32

B.C.yD.e

L0

25.

已知/⑺的一个原函数为等.则j=

A.2要+CB.+CC.2—■—+CD.2co'Q+C

6

设e"是/(x)的一个原函数,则Jj/(x)dx=()

A.e-x(l-x)+CB.e-(l+x)+C

26Ce-，(x-l)+CD.-e-x(l+x)+C

27.

当XT0时，下列变量中()是无穷小量.

1.

A.xsin-B.-sinxC.ln.x2D.

xx

28.

卜列各式成立的是

A.lim/sin\=1

1

x-0xX7T

尸*亍--------JT

2

-2

z,1•SUIT

(.Inn——D.lim——1

L8X4T才

2

将两个球随机地投入四盒子中,则后面两个盒子中没有球的概率为()

A.-BC.一D

3-;6-H

29.

30.

设函数/(函=e*,g数)=sirtrM+1.则/(g(h(x)))=

A.ex+1sinrB.e5,n<z十】)

C.4QN+1)D.sin(e?+,)

二、填空题(20题)

31.

已知L是抛物线V=♦上点0(0.0)与B(1，D之间的一段弧，则［7ds

32函数八"=.二三的间断点有

设f(e')=e2^+5e)则打(严)=

复数z=-l-i的指数形式为

-254]

p-275'

0-1—2

设A=10-3.B,则AB

171

6802

6—9

35.

36.二重积分£*1号,砂=.

嘉级数z7的收敛半径R=

37.n=lT3

1—2cos.不

rInn-----------

7T

1ffSill(r-T)

38.

寨级数苧<P<1）的收敛域为

39./—

L为连接（1,0）及（0.1）两点的直线段，则曲线积分［Gr+.y）ds=

40.八

41.

设函数/（x）在区间（f。,oo）内连续，并且［/（f）由=5/+40,（c为某个常数）

5./（X）=，C-.

10

设A=,则4；=

43.

fsin.r+e2ttr-1.

-------；------,.?•：/：n0.

设./(a)=«"在，=0处连续，则a=

a«.r=0

已知/(x)=x-£/(x)dx,则/(x)=_

44.J。

设函数f(x)=国立士，则/“(I)=

45.2十①

设/(.r)=lim(1——\，则/(ln2)=

22

y/a—.rd.r(a>0)

47.J

微分方程idy+ylllyckr=0的通解为

4AoO.1

49.

直「卜r+23-3z-4=:0,

与平面2才一丁一3之+7=0的位置关系为

，2.r+6y-3=:0

若级数之二收敛，则q的取值范围是

50."=。夕"

三、计算题（15题）

设方程arctan±=InJx?确定y是％的函数,求y'.

51.y

52.求微分方程/十y-2y=的通解.

已知y=Insin.r2.求_y

53.

求极限lim彳1-COS+V

54.

55.

已知某种产品的总成本函数为C（g）=lOOO+q+9（单位：元）.其中q为产

量（单位：件）.

求：（1）生产100件产品的总成本;

（2）生产100件产品的平均成本；

（3）从生产100件到200件时总成本的平均变化率;

（4）产量为100件时总成本的变化率（边际成本）.

计算积分［xlnxdx.

56.

57.

计算二重积分“IV&rd》,其中D={(x,v)Ix2Iyz<2x,y>0}.

58.

jr=・

设曲线T=H（£）,y=1y（£）.由方程组确定，求该曲线在，=1时的斜率&.

e'+P=2e

59.

jjr=「+2z—3,

设函数）=III参数方程」所确定•求参数方程在£=0处的切线

Lv=e-f

方程和法线方程.

d2

设z=/(x+y,中)，具有二阶连续偏导数，求z

dxd

60.y

pZ'l+.Q-3.门一14=1•

求线性方程组<311_12—313+4.J=4.的通解.

“1+5.Z2-913—&门=0

61.

求极限lim工—sm”.

62LO/"arcsirtr

求不定积分iarclan/『dx.

63.J

求不定积分］cos(Inz)dlr.

64.

求r也

水Jil(r'+D，

65.

四、证明题(10题)

66.

证明不等式：当a>b>e时，-<lnZ?<^(€^2.71828).

a\nab

证明对任意］都有z—/<

67.e

68.

设函数/(.r)在闭区间［0.肩上连续，在开区间(0.脑内可导，证明在开区间(0.脑内至

少存在一点£，使得fsin$=­f(s)cos&

证明不等式6">兀二

69.

70.

设/(x)在区间［0,。］上连续，证明：「/(x2)dx=2p/(x2)dx.

J-aJ0

71.

已知/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(。)=/(1)=0,试证，在(0,1)内至

少存在一点§,使得/'(g)cosg='(Rsin皆成立.

证明当.r>0时.ln(l+_r)>半警:.

1+a

72.

73.

已知方程工"一工'一d+3=0有一正根HJ1,证明方程118。―7/—372+1=0

必有一个小于1的正根.

74.

证明：若/(了)y(.r)在上连续.在(”./,)内可导,且/<«)—f(l>)=0.g(工)#0,

则至少存一点se〈”>)•使虫(s)+2g«)/(0=g.

75.

已知方程才“一.--V+r=0有一正根r=1.证明方程11八°-716—3./+1=0

必有一个小于1的正根.

五、应用题(10题)

76.

已知函数f(x)=J求由y=/(z),x=0,z=l,y=0所围成图形绕.r轴旋

转一周的旋转体的体积.

77.

某工厂需要围建一个面积为64平方米的长方形堆料场.一边可利用原来的墙壁,而现

有的存砖只够砌24米长的墙壁,问这些存砖是否足够围建此堆料场？

78.

求由曲线外=2,"=/及才=4所围成的图形的面积，并求此图形绕h轴旋转所得

的旋转体的体积.

79.

求曲线V=6z与y所围成图形的面积.

80.

由曲线》=（才一DQ--2）和二轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所

成的旋转体的体积.

81.

设某产品的需求函数为。=200-4p,其中p为价格，。为需求量，求边际收入函

数，以及0=50和100时的边际收入，并解释所得结果的经济意义.

82.

一个平顶器皿其侧面是铅直的，且侧面高度为力，现把它内部盛满了水放在水平面上，

一股水流从侧面的小孔水平射出，速度等于J荻，x是小孔距离器皿顶部距离，求x为

何值时，水射出的距离最远.

83.

求抛物线产款将圆=8分割后形成的两部分的面板

Lt

84.

某房地产公司有"50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去.当月

租金每增加100元时.就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费20（）元的维修

费,试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

85.

已知曲线1y=aG（a>0）与曲线y=In在点（才0，Y））处有公切线•试求：

（1）常数a和切点数。，皿）;

（2）两曲线与1轴围成的平面图形的面积5.

六、综合题（2题）

86.

设“⑴=/'（«r,y）d/dy,其中/（1,»）=J求*⑺的

凡《10，其他，

表达式.

设/（①）=J|sin/d，，

（1）证明/（工）是以“为周期的周期函数;

⑵求/（z）的值域.

参考答案

1.B

【精析】因为（cos/）"=cos（f+詈）.

则（<?05彳）"'"6'=cos/J'+6K）=cos（xioQ8n）=cosz,故应选B.

2.B

3.B

【精析】lim----=—1,lim----=lim----=1，故应选B.

7-7

-o-3；+1LO+3+1­。+1+3

4.C

C

【评注】根据连续定义，可知极限值=函数值，lime2x=l=lim(a+x)=a,所以

10-XTO+

a=1.

5.A

【精析】b=fe11J,：：dx-l—---Pe^dd-u)=-「£d”=「e，d〃=a.

JoJIJ1Jo

故应选A.

6.C

C

【评注】,(x)=i—白，x=i为驻点;x=0为不可导点，函数/(x)在x=l与x=0

处左右单调性均改变，所以函数有两个极值点.

7.C

若f5)=0,则7=io必为/(1)的驻点，故应选C

8.B

【精析】lim2：+J=0.limY+［=8.

j1-3x.±73x—3

所以.y=0是水平渐近线=±G是垂直渐近线•故应选B.

9.D

【评注】因为y"(Xo)=y(Xo)+5y(Xo)=O+5y(Xo)<O,所以/(天)为极大值.

［答案］D

【解析】若Kmy(z)-0,则留不存在•

10.DiIy(幻

11.B

B

【评注】本题考查由方程所确定的隐函数的导数.方程两边同时对x求导可得

dydydyy

y+X'-■一cosy--=n0,—=------x.

dxdxdxcosy

12.B

［答案1B

【精析】由/'(1)=1,/(0)=1可知/(.r)=.r+1.所以］/(x)d.r=".r+1)d.r=

-j-x2+.r+C.应选B.

13.C

【精析】因为;I=3是特征方程的二重根..r是一次多项式，

所以应设为=/(以*+〃)e",故应选C.

14.B

【评注】的一般项々•与之2”的一般项2"在〃T8时都趋于无穷大，根据级

n=l九九n«*l

数收敛的必要条件：若级数收敛，其一般项必趋于零，可知用与之2”都是发散的;

Z”nsl

调和级数为1很显然是发散的；级数是一个正项级数，不妨令“„表示其一般项,

el〃n=\3

(〃+1)22

则lin田•==鱼型=,<1,根据正项级数的比较审敛法，该级数

f…〃皿3n3

r

必定收敛，所以选B.

15.C

【精析】方法一

fl01rl0]fl

A?=[o2][o2]=[0

方法二

3

rl0、rl0、

A3=

02308

16.A

17.B

【精析】设水箱的长、宽、高分别为w..v•之.则有2.<y+2yz+2xz=54,即xy+yz+

JCZ=27.体积V=xyz.令FQ',.y,N)=xyz+Myy+产+m—27),

Fr=a+Xy+n)=0，

Fv=xz+A(.z+Z)=0,

令＜解得］=3・y=3,之=3•

Fz=xyX(y+a)=0.

FA=xy+yz+xz—27=0,

由于驻点（3.3.3）唯一.实际中确有最大值.故当、r=3,y=3,之=3时长方体体积最

大,最大值V=27.故应选B.

-,2zJ

18C/'(］)=(r(e+z)d/)=c-+./•故应选C.

［答案］C

【精析】J/(u2)dj=1f(j2)dj'=-1-j2sinj*+C.

19.C*"J

20.C

［答案］c

【精析】由定积分的几何意义知.曲边梯形的面积为「I/(1)Id.r.故应选C.

Ja

21.C

22.D

【精析】£if#=［；(1一出产=LrTn(l+切|：=1-1迅

23ca，f0时，J皿-1---tarur〜一%•故应选C.

24.A

*<■(1—InrV，R

【精析】原式=(l+lmr)d(l+lm-)=U=5，故应选A.

JiLiL

25.C

【精析】[?.(石)必=2上(6)d(6)=2空泮+C.故应选C.

26.B

B【评注】记尸(x)=e-，由题意代入不定积分]4"(为心得

|xf(x)dx=jxdF(x)=xF(x)-jF(x)dx=xe-Jt-je-1d.r=(x+l)e-J,+C»故选B.

A

27.A【评注】本题考查的是在xfO时，哪个函数的极限为0.

28.B

【精析】因为lim」"2lim$电1.故应选B.

X7TEt

而lini/sin—=0,limu.lim辿3.故A、C、D错误.

XLEx「吟丁天

29.B

30.B

L答案」B

【精析】y(g(/K.r)))/(g(.r•!))/(sin(.r2ID)产-L故应选B.

31.

^(575-1)

【精析】由题意得，

[xds=]工/I(2工产业=|x-/1+4Xsd.r=1f4j-)7|=-^(5V5—1).

32.

I1=—1,4=3

【精析】由于/(])=-J91―7=7~~；、/1----lim/(.r)=8・lim/(i)=8,

I?-2z-3(1+1)(1—3))—i/・3

故①】=—=3为/(])的两个间断点.

33.

21nl5

jrx

由/(ez)=(er)2+5(eD知f(x)=+5z,故/(lor)=ln%+51n_r,所以

丝辔=(〃ln/))'=陋+2

34.

［答案1烝飞

【精析】由r==&父=一上知5-1一i的指数形式为工=瓜

35.

2196-22

-101535

—434—10

2196-22

［答案二-101535

—134-10

5I

3—22196-22

-1-2

【精析】AB=10-101535

71

68-434-10

6-9

36.

8

1【评注】£dx^Ay3dy=£ixdx=i.

37.

3

38.

2.'叵

【精析】lim1—=lim———=—=B

一当八:一/._兀\一鸟一/____71\

39.

[-14)

1

【评注】因为R=linj巴J=limY—=lin(l+LY=l，又当x=l时，级数为

n~^cin~^x>1"-♦«[n)

t(«+ir

汐

<041)发散，当x=-l时，级数为(0</?<1),这是一个交错级数,

其通项以单调减少且lim〃“=O,级数收敛，综上，堀级数的收敛域为[-1,1).

/I-KO

40.

42

【精析】由题知，直线〕.的方程为》=

I"(工+30ds=fFx+(1—Jr)J+(—1Md彳=f-J2dx=伍

JLJOJo

41.

157,-2

【评注】方程两边对x求导数得/(X)=15X2,代入原方程得

jX15r2d/=5x3+40»或=5/+40,即5必一5c?=5/+40.解得c=-2.

42.

10

08

［答案］

【精析】

43.

一1

［答案1-1

【精析】/(z)在工=0处连续,则lim由比+>3-1=/(O).Hpiim―1

JT-»OjrJT

lim-!lr+lim------=1+2a=aa=-1.

x-*Ox

8

9

【精析】J(工)=ln(2—/)—ln(2+i)，(I)=---—,则/'(.r)=———+

2-①2+i(2-x)2

i㈣】—/=㈣1-,故/(ln2)=1.

47.

4

【精析】设1=asin/.则=ucos/d/,

x/a2—.r2da'=«2cos2/d/=—(cos2z+l)d/

£JOL-o

或根据定积分的几何意义可知

£4L=衿=产

48.

川n)，=C(C为任意常数)

［答案］.i\ny=C(C为任意常数)

【精析】由Ndy+yln1ydz=0,得—dy=—^<Lr.而InInv|+ln工|=In||,即rlny

=C.C为任意常数.

49.平行

［答案］平行

ijk

【精析】直线的方向向量S=12—3=18i+6j+10A=(18.6.10).已知平

-260

面的法向量为n=(2♦—1•一3),则s•n=18X2+6X(—1)+10X(—3)=0.故

Q

已知直线与平面平行或在平面内,又可求得(一5•。，一日)为直线上一点,代人平面

方程得.2­/-1)-0-3•/-^)+7=竽N0.故直线与平面平行但不在平面内.

50.

当4W0时，|夕|>1;当4=0时，夕可取任意非零实数.

【评注】当awO时，等比级数的公比毋<1时收敛，即时>1时级数收敛；当。=0

时，夕取任意非零实数级数都收敛，和为0.

51.

解：方程化为arctan'=LlnQ2+y2),两边对％求导数，得

y2

1l-y-x-y'11any~xyrX+yyf4

•(2X+2R)，即入7=得s

x2y22x2+y2

t1+—

y

y-xy'^x+yy',解得y=

y+x

52.

【精析】对应齐次方程的特征方程为r2+r-2=0,

特征根为

rx=-2,r2=1,

对应齐次方程的通解为Y=Ge%+。浮"

入=-2是特征单根，故设原方程的特解为V=Are-",

?

(寸)'=(A-2Ar)ef•()♦)”=(-4A+4Ar)e-S

代人原方程得A=-J,

即原方程的一个特解为旷=-4工。好，

从而原方程的通解为y=GeT'+Ge，-[ze

53.

y'=2•cos12•2x=2.rcotj-2.则

54.

1

sin一

7

55.

【精析】(1)C(1OO)1000+1004=2100(元)；

1000I100!

(2)C(100)=------前一9=瑞=21(元/件)；

(3)当产量从10()件到200件时总成本的平均变化率为

9()()2/10()2

八/1000；200•三丝、一/1000I100!

X[1())[1。

31（元件）：

由100

（1）当产量为100件时.总成本的变化率为

C'(IOO)1■21(元).

56.

e(X2>

解:xlnxdx=jInxd一Inx+瞪d(lnx)

1I2,

57.

【精析】积分区域如图所示,

j-d/dyrdr

[)

=式cos'Ock?

=北<1—sin?d)d(sin5)

16

58.

dx

【精析】

d7

ef

0=>上=一旦

d/2e—e'

协

_

d山

i=________1________

d石

(2e-e')(z+1)

d7

所以A=半=二

dLr-Ze

59.

【精析】窜=2,+2*=-e，.

d-v

山

所/

以

y-石

2tI2

_—

d/

当r=0时，工=—3.y=1=—

cLrr-oL

所以切线方程为=一/(Z+3).即工+2»+1=0.

法线方程为3—1=2(1+3),即2工一3+7=0.

60.

解：令”=%+歹#=号，竽=£+以，

OX

2

dz=兀+五+加+必乜=(+(*+必+江+£・

dxdy

61.

11一i1

增广矩阵B3-1-344

15—9-80

।(,§J°

1)---------------------------------

241

()1,-3-7-1

244

00000

~2_7T

.T2371

也即=<1~2T1T•其中CLQ为任意常数

100

门，

010

62.

【精析】令々=，,则1=t2，di=2tdt.

r,「心

原式=arctant•d产=/arctant--------7d/

JJ1~Zw

=Z2arctanZ-J11,口

=arctan/-[山+]]:产山

=farctanf-1+arctan/+C<

*

将f=6代入得arctan/7dz=jrarctan\fx~\fx+arctan-Zz+C.

64.

【精析】设"=cos(lnx)9v=x>dv=<lr,则利用分部积分法得

卜。

s(lnx)d*=xcos(lnx)+•sin(lnx)•—cLx

x

=1cos(Iru)+Jsin(lnx)djr

=xcos(lnx)+^xsin(lnx)—Jcos(lnx)dx]♦

故cos(lrtr)&r=yCcos(ln.r)+sin(lrtr)]+C.

65.

【精析】原式二

2J1.r-(x-+1)

小币广

=-1ln|=|ln2.

66.

证明：设/(X)=xlnx,xE(«,+oo)，则ff(x)=l+ln.r>0,xe3+oc),

所以/(x)=xlnx在ve(e,«c)上单调递增，从而当当a>b>e时，有

/(a)>/(Z>).gpaIna>blnb,即

Inab

令g(x)=——,xe(旦+/)，则g(.r)=——<0,XG(e?-^o),

XX

Inx

所以g(x)二.在xe(e,Ts)上单调递减，从而当当a>b>e时,有

x

⑺InaInZ)，一bInb

f(a)</。),即---<—，从而一<--.

abaIn«

综上所述:当a>6>e时，有

amab

67.

【证明】令尸g—由FU=1+21=°得唯一驻点.「=+.且

r(J)=2>0.F(l)=±-l+l=±_±>0,

所以F传)为函数F(k)的最小值,故对任意①都有F(.r),F伐)=十一｝>0,即

--x+.r2>0,

C

即.r一±,

e

68.

【证明】令F(J)=/(jr)sinjr»

则F(0)=/(O)sinO=0=/'(7t)sin7r=F、(ir),

且F(.r)在[0.4上连续.在(O,K)内可导.

由罗尔定理知•在(Of)内至少存在一点。使得尸'(9=0.

即/"(g)sin£=—/(c)cos^.

69.

【证明】两边取对数，并将7T换为八得辅助函数.

设f(x)=elnj--/Z(T)=——1.

X

当1>e时,f(JC)V0.则/(T)在[e,+8)时单调减小,

/(T)</(e)=0,取才=兀>e,/(7t)V0.

即7Te<e".

70.

【证明】「/(x2)dx=f°f(z2)dz+p/(a-2)dx,

J-aJ-aJ0

令.r=-t.则

rororo

f(.x2)dx=/[(—f)2]d(—t)=—f(t2)dr

J-uJaJa

=/(Z2)dz=f(x2)djr.

JoJo

则f(x2)dx=f(x2)dx-\-ff(x2)dx=2/(jr2)dx.

证明：令尸(x)=/(x)cosx,尸'(%)=/r(x)cosx-/(x)sinx

因为/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，所以尸(X)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,

又因为/(。)=/(1)=0,所以尸(0)=尸(1)=0

由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点4,使得尸'记)=0,

%)cos1⑥sin4=0,即/'⑥cosg=/⑥sin&.

72.

.【精析】令F(_r)=(1+_r)ln(l+x)—arctan.r，/、。，显然尸袅)在［0.+8)内连

续.且z>0时

1