高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测41平面向量的概念及其线性运算

[课时跟踪检测][基础达标]1．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－C．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：依题意得eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝2(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，即eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.答案：D2．下列四个结论：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝0；③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，其中一定正确的结论个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，①正确；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，②错；③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，③正确；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，④正确．故①③④正确．答案：C3．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)b－a B．eq\f(1,2)a－bC．－eq\f(1,2)a＋b D．eq\f(1,2)b＋a解析：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a，故选C.答案：C4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).答案：B5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.答案：B6．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，则p⇒q若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故qp.所以p是q的充分不必要条件，故选A.答案：A7．(2017届石家庄市第一次模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(0，eq\r(2))解析：由题意可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))(0<k<1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝eq\f(1,k)>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．答案：B8．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得eq\f(AD,DB)＝eq\f(CA,CB)＝2，即D为AB靠近B的三等分点．∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))．∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故选B.答案：B9．如图，正六边形ABCDEF中，Beq\o(A,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋Eeq\o(F,\s\up6(→))等于()A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))解析：∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).∴原式＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).故选D.答案：D10．已知P为△ABC所在平面内一点，当eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))时，点P位于△ABC的()A．AB边上 B．BC边上C．内部 D．外部解析：由题知eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，如图所示，P在△ABC外部．答案：D11．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，当eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))同向时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；当eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))反向时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13；当eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线时，3<|eq\o(BC,\s\up6(→))|<13.综上可知，3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.答案：[3,13]12．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因为点E在线段CD上，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(\a\vs4\al(2μ),λ)eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\f(\a\vs4\al(2μ),λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))13．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→)).又∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可得eq\o(BD,\s\up6(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12.[能力提升]1.(2017届河南中原名校3月联考)已知a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则实数mA．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，3)C．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D．[－3,3)解析：根据平面向量基本定理，得向量a，b不共线，∵a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，∴2m－3－3m≠0，∴答案：C2．(2018届湖北黄石质检)已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(xy,x＋y)的值为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．2 D．3解析：解法一：由已知得M，G，N三点共线，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up6(→))＝λxeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)yeq\o(AC,\s\up6(→)).∵点G是△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λx＝\f(1,3)，,1－λy＝\f(1,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3x)，,1－λ＝\f(1,3y)，))得eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3，通分变形得，eq\f(x＋y,xy)＝3，∴eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).解法二(特例法)：利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(2,3)，∴eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).答案：B3．(2017届湖南邵阳一模)如图，在△ABC中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb，则m，n对应的值为()A.eq\f(2,7)，eq\f(4,7) B．eq\f(1,2)，eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,7) D．eq\f(1,6)，eq\f(3,7)解析：根据已知条件得，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(ma＋nb)－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－1))a＋eq\f(n,2)b，eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\o(BR,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－1))a＋eq\f(n,2)b－b＋a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)＋\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)－1))b，∴eq\o(QP,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)a＋eq\f(n,2)b，eq\o(RQ,\s\up6(→))＝e