高数课后答案

习题一

1.填空题

(1)若面I=2,则2°=a„答案：2

2

⑵若21+33=0且应1=1,则区l=_.答案：3

(3)若点A(1,2,-4),AB=[-3,2,1},则点B的坐标为一.答案：(-2,-4,5)

(4)不〃B的充要条件为答案：axb=0

(5)aib的充要条件为一.答案：a-b=Q

(6)若2=3i+2，，b=i-J+2kt则。石=_；5a-3h=_:axh=_；axi=_；

Jxa=_.答案：-1,-15,3i-7j-5k,-j-2k,-i-3k

—一0-Vio

(7)若。4={0,1,3},05={0,1,3},则面积、AOAB=_.答案：2

(8)若2={3,2,1},b={2,一3,k},且万J_B,则％=_.答案：0

(9)方程x2+/+z2+3x+5y+25=°在空间中表示答案：球面

(10)方程/+)'2-2、=°在空间中表示_.答案：圆柱面

(11)方程/+V=2z在空间中表示._答案：旋转抛物面

(12)方程丁=2z是坐标面上的.是空间中的。

答案：抛物线，母线平行于x轴的抛物柱面

2y?+z?+4x=4z

V

(13)曲线〔/+3[2-"=127关于)心坐标面的投影柱面方程为_。答案：/+Z2=4Z

(14)在空间直角坐标系中把下列平面的特征填在横线上,y=0_;2x+l=03一了=°二3x+5z-6=0_；

2x+3y+z=0_。答案：xoz坐标面，平行于WZ坐标，过z轴，平行于丫轴，过原点，

(15)平面x+y+z=1的法向量一。答案：1,1)

4=—l.

(16)若平面Ax+By+Cz+£>=0在x轴上的截距为1,则_。答案：D'

5

arccos—,—

(17)两平面2x-3y+6z—l=0与x+3y+2z-3=0的夹角为二答案：7yli4

x=2t-2

<y=-4f-5

(18)若直线上=3f-l与平面/k+〃y+6z_16=0垂直，则一答案：4=4;〃=—8.

222

二+二=1

(19)两曲面4916—与x=6的交线是答案：

(20)方程％=+1在空间中表示_。答案：双曲抛物面

2.选择题

(1)万与B的向量积万xB=。的充要条件是().

a.GLbb.a//bc.a=OJL/?=0d.万与人之一为0答案：b

（2）若I1+b\=\aMbI,则（）.

a.1与5同方向b.I与B反方向c.I万I>l5ld.I万I<l5l答案：a

（3）若万的方向角为①£，7,则（）.

222222

acosa4-cos（3+cos/=1bcosa+cosp+cos/=0

222

csin+sinf3+sin/=1dcosa+cosQ+cosy=1答案：a

Ax+£）]=0

V1

（4）直线I/2Z+&=°（4小力0）的位置特征是（）.

a.垂直于z轴b.平行于）'轴c.平行于x轴d.平行于xoy坐标面答案：b,d

（5）过点P（l,l,0）,P2（l,T,0）,13（0，。，0）的平面方程为（）•

a.x-y=0b.x+y=0c.x-y-z=0d.Z=0答案：d

x-1=0

<y-2_z+3

(6)平面x-1=0与直线11—T的位置关系为().答案：«

a.直线在平面上b.直线与平面平行c.直线与平面垂直d.直线与平面相交于一点

(7)球面方程/+)"+22-2%-22=°的球心/。及半径/?分别为().答案：。

a(1,0,1),/?=&巳A/o(-l,O,-D,/?=V2cMO(-1,O,D,7?=2dM0(l,0,l),R=2

(8)过y轴上的点(0,1,0)且平行于mz坐标面的平面方程为().答案：h

a.x=0b.y=1c.z=0d.x+z=1

(9)准线为xoy坐标面上以原点为圆心、半径为2的圆周母线平行于z轴的圆柱面方程是(),答案。

222222222

a.x+y=21x+y=4c,x+y+4=0d,x+y+z=4

(10)下列方程在空间直角坐标系中表示抛物面方程的是(),答案：h,c

222222222

a.x+y+z=0bx+2y+z=0cx+y=2zdx+ly-z=0

3.在空间直角坐标系中，作出点A(3,2,-1)和B(-2,l,4),并写出它们关于：

(1)各坐标面，(2)各坐标轴，(3)原点的对称点的坐标.

解：A(3,2,-1)关于XOY坐标平面对称的坐标是(3,2」)

A(3,2,-1)关于XOZ坐标平面对称的坐标是⑶-2,-1)

A(3,2,-1)关于YOZ坐标平面对称的坐标是(一3,2,-1)

A(3,2,-1)关于原点对称的坐标是(-3,-2,1)

4.求出向量万=7+7+1,3=21一3了+51的单位向量1°,h°,并分别用严，庐表示汗，b.

解：同=百/=¥(『+『+'恸=屈，庐=噜②句+5E),五="。5=晒群

5.设向量方={3,5,-1),h={2,2,2),c={4,-1,-3),试求

(1)2a-3b+4c;(2)(2,〃为常数).

解：([)2万一%+4'={16,0,—20}(2)贬+应={34+2〃,54+2〃,一4+2〃}

6.设两力6=2:+3]+61和£=2；+4：+2定都作用于点加(1,-2,3)处，且点N(p,g,19)

在合力的作用线上.试求p,4的值.

解：因为加={p-l,q+2,16);耳+12={4,7,8);由对应向量成比例知。=9应=12

7.两船在某瞬间位于P(18,7,0),0(8,12,0),假设两船均沿尸。作匀速直线运动，且速率之比为3：2,

问在何处两船相遇.

解：设在F{X，V，Z}处相遇,尸。=..{-10,5,0},~pF={x-l3,y-l,z}

-->

PF3

=5x-18_y-7^z_3

由题意得「。，即—10_三一―0_「,所以点尸(12,10,0)。

,73.3.11

(三，彳，-1+-/^)，COS6Z=—,cosB=—,

8.设向量方的终点为22V2I万1=3,方向余弦中的22求向量方的坐

标及其起点.

「2分2।MJCOSPJCOS「也

解：由costt+cos夕+cos/=1,22得2,

_33।3&

所以方15万-2j。起点坐标为也,of,匕,。,—1+3正｝

9.已知。={4,-2,4},b={6,-3,2),试求

(1)a-b\(2)(d,b)(3)(3a-2b),(a+2b).

「丁、a-b19

cos(a,b)=­pr19

⑵同w21.arccos—

解：(1)a-b=38(a,b)=21

⑶(3"2B)•(万+23)={°，°，8卜{8，-8,8}=64

10.已知四点4(1,2,3),B(5,-1,7),C(1,1,1),D(3,3,2).求

(1)PrjCDAB.(2)cos(4B,CO)

=OA8_3

P

解：⑴ncD^=^B-cos(AB,CD)=2,(2)cos(市而)SM同--

11.设力/=2:-3]+■使一质点沿直线从点(0,1-1)移动到点M2(2,1-2),试求力户所作的功.

解：W={2,0-1},w=户.加={2，-3』}-{2,0,-l}=3

12.已知[={4,-2,4},b={6,—3,2},试求

(1)axb；(2)(2a+b)xb

解：(1)万XB=8『+16](2)(2a+b)xb=16f+32j

13.求同时垂直于向量2=27+2j+k和3=4:+5]+31的单位向量.

解：k=GXB='-2/+2Z,则向量万同时垂直于向量万和向量日，同=3,所以所求单位向量为

+2(

-3{i~2j+2k)

14.已知三角形的顶点是A(1,-1,2),B(3,3,1)和C(3,1,3),求三角形ABC的面积.

SMBC=-ABxAC=|3/-2j-2^|=V17

解：2

15.求过点尸Q(2,2,4)且与平面x+y-z=0垂直的平面方程.

解:豆={1,3,5},所求平面的法向量“=而、{1,1,一1}=

{-8,6,-2),所求平面方程为4x-3y+z-6=0

16.已知点A(2,-1,2)和B(8,-7,5)求过点B且垂直于质的平面方程.

解：法向量而={6，-6,3},所以所求平面方程为2x—2y+z—35=°

17.求平面2%_/+1_7=0与3+》+2[—11=0的夹角.

〃]={2,-1,1},〃2={L1,2},cos(〃|,〃,)=1j=1£

解：I闻闻2,所以夹角为3。

18.判断下列各对平面的位置关系.

(])x-2y+7z+3=0与3x+5y+z-l=0(2)x+y+z-7=0与2x+2y+2z-l=0

(3)2元一3y+z-l=0与x+y-2z+l=0

解：（1）因为"「五2=0,所以两平面互相垂直（2）因为4x%=°,所以两平面互相平行

（3）两平面相交

19.求过点（1,1,1）,且同时垂直于平面4x—y+3z-l=°和x+5y—z+2=°的平面方程.

解：4={4,-1,3},&={1,5,—1},方="』万2={—14,7,21},所求平面的法向量是万，所以所求平面

方程为2x7-3z+2=0。

20.设平面方程为Ax+By+Q+°=°,问下列情形的平面位置有何特征：

⑴0=0（2）A=0（3）A=0,D=0（4）A=0,B=0,D=0

解：（1）平面过原点（2）平面平行于X轴（3）平面过X轴（4）平面过XOY平面

21.画出下列平面的图形.

（1）2x+3y+3z—6=o（2）y=2（3）2y-3z=0（4）3x-z-3=0解：略

22.将下列直线的一般方程化为点向式方程及参数方程.

x-y+z+5=0z=1

(1)+4z+36=0⑵[2x+3y=2

x=4tx=-2-3t

x_A_z+1y=4+fx+2_y-2_z-l<V=2+2f

解：⑴厂1=-亍[z=-l-3/(2)-3-2-0b=l

x+y—2z-l=0

23.一直线通过点（T，2，D且与直线卜+2>-1+1=°平行.求此直线方程.

解：两平面的法向量分别为％={1，-2},%={1,2,—1},所求直线的方向向量为

x+1_y-2_z-l

n=n,xn2={3-l,l}（所以直线方程为亍一二？——T。

24.一直线通过点（°，2,4）,且与两平面工+27—1=0及>-32—2=°平行，求此直线方程.

解：两平面的法向量分别为%={1，°，2},&={。［,-3},所求直线的方向向量为

x_y-2_z-4

n=n,xn2={-2,3,1）,所以直线方程为与一丁一丁。

25.求过直线1--1-2与平面x+N-3z+15=0的交点，且垂直于该平面的直线方程.

解：求出直线与平面的交点坐标为（3,-3,5）,直线的方向向量为{1』，一3},所以直线方程为

x-3=j+3=^-y

26.确定下列直线与直线、直线与平面的位置关系.

x=2-9/

x_y_z+2［2x—y+2z-4=0x+1_y_z+2'>'=1-3?

（1）口一［一^"与［x-y+2z-3=0（2）5与［z=-3-15f

x+2_y+4_z-3x-2_y+1_z

（3）27—3与4x—2y—2z—1=0（4）3—27与3x—2y+7z-8=0

解：（1）直线方向向量4={—LL—2},另一直线方向向量

/={2,—1,2}X{1,—1,2}=—2/—k,nl-n2=0）所以两直线垂直

（2）两直线的方向向量都是{3/，5},所以两直线平行

（3）直线方向向量R={2,7，-3},平面法向量&={4—2,—2},不方2=0,

所以直线和片面平行

（4）直线方向向量々={3,-2,7},平面法向量〃2={3,-2,7},%=质,

所以直线和片面平行垂直

27.求过点（0,2,2）,（4,0,0）,球心在y轴上的球面方程.

解：设球面方程为『+“+与=户，把（0,2,2）,（4,0,0）代入，解得匕=2,r=可，球面方

程为/+（>+2）2+产=20

28.求下列旋转曲面的方程.

（1）b=°绕x轴及z轴旋转（2）1%=°绕y轴及z轴旋转

（

x-2-y2=11

<

（3）U=0绕x轴及y轴旋转

222222

XVZ.XVZ.J______

-------1----------1-------=1---1---------1-------=1224/2T

解：（1）344334⑵x+Z=丁+y

11

（3）x2-y-z-=i222=l

29.说出下列方程所表示的曲面的名称，并作简图，若为旋转曲面，说明它们是如何形成的.

（I）X2+2y2=I（2）X2+2y2=z（3）2x2+2y2=z

22222222

（4）x+2y=z（5）x-2/=l+z（6）x+2y=l-Z

解：（l）母线平行于Z轴的椭圆柱面（2）椭圆抛物面

（3）旋转抛物面；由（或xoz）坐标面上的曲线Z=2y2（或z=2/）绕Z轴旋转而成.

（4）椭圆锥面；（5）双叶双曲面；

（6）旋转椭球面；山（或WZ）坐标面上的椭圆/+2y2=1（或2y2+Z?=1）绕y轴旋转而成.

30.下列方程组各表示什么曲线？

2-4y2=8zfx2+y2+z2=25fx2+4y2+92=36[2-4y2=4z

<x<<Z<x

⑴[z=8⑵[x=3（3）[y=l（4）[y=~2

解：（1）双曲线（2）圆（3）椭圆（4）抛物线

31.求下列曲线在指定坐标面上的投影曲线方程.

x2+y2-^=0x2+y2+=1

<,

(1)[z=X+l在xoy坐标面⑵〔/+(y-l)2+(z—1)2=1在wy坐标面

x2+y2-x-1=0x2+2y2-2y=0

<<

解：⑴[z=0⑵1z=0

32.描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的图形.

x=0,z=0,x=l,y=2,z=—

(1)x=0,y=0,z=0,x+2>+3z=l(2)4

⑶y=°，z=0,3尤+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6

(4)x=0,y=0,z=0,x+y=l,z=x2+y2解：略

习题二

1.填空

(1)函数y=xsinx的图形关于对称。答案：丫轴

X

⑵设函数'1+x则/"(初

O答案：l+2x

y=3cos-

CS)函数2的周期为«答案：4%

八x1+x

J(X-1)=-----、

(4)已知l+2x,贝ij/(x)=_____。答案：3+2x

(5)设z=lnx(y—l),其定义域为0答案：0={(x,y)|x>0,y>l}u{(x,y)|x<0,y<1}

/(x,y)=x2+y2-xyarcts—2-—、

(6)设则/(1，D=,/(比,")=_。答案：4,t-f(x,y)

f(x+y,-)=x2-y-~~—

⑺设y,则/(x，y)=o答案：y+i

5X4-2X2+1

iim—r--------------------------=

(8)-87X5+2X-+X+3。答案：0

lim(J"+2-J〃+l)-

(9)"x»答案：0

(10)数列有无极限与排在前面的有限项关。答案：无

/(x)=sin—

(11)x在______处间断，且为第______类间断点。答案：尤=0,二

〃幻=ln(x+l)

(12)J=的定义域为-答案：卜卜>1}

1x

y=-----------1------------

(13)ln(x—1)x-2的连续区间为。答案：(1,2)u(2,+8)

2.选择题

(1)下列函数是奇函数的有()答案：c,d

b.ex+sinxd.xcosx

（2）下列函数相同的是（）答案：a,d

y=J1与y=Vx+1

ay=In无3与y=31nxb.Gi

c.y=x-^y=(y[x)2dy=、4-彳2与y=j2-x•12+x

1

z=i

(3)函数ln(x+y)的定义域是()答案：d

O={(x,y)|x+yA。}b0={(x,y)|x+y>o}

O={(x,)')|x+ywl}dO={(x,y)|x+y>0阻+/工1}

xy2

,(x,y)x(O,O);

2...4

/(x)=<r

[0,(x,y)=(0,0)

（4）函数在点（°，°）处（）答案：c

a.极限存在b.连续c.偏导数存在d.可微

（5）下列极限中，极限为1的是）答案：a,b,d

n-1limJ—sinxx+cosx

lim()2lim

b."78、100XT8lim

a.I，n+1wd.A->OOx-sinx

"T⑷=4

lim

(6)设…x-aA为常数，则（）答案:b,c,d

a./（X）在x=。无定义b./（X）在x=a连续

c⑴存在

d./U)-/(«)=A(x-a)+o(x-a)

x-1,0<x<1;

/(x)=<

（7）函数2-x,l<x<3在x=l间断是因为）答案：d

f仆._1丁＞、、，Hm/（x）limf（x）丁七+

a./（'）在x-l无定乂b.xf不存在c.不存在d.XTI不存在

（8）当x-0时，siMx比一是（）答案：d

a.高阶无穷小量b.低阶无穷小量c.同阶无穷小量d.等价无穷小量

lim(l+2产=]

(9)“廿〃则攵=()答案：C

3232

a.2b.3c.-2d.-3

3.求下列函数定义域

3)z=ln[xln(y-x)J

_yj^x-y2

Z—xy+In—----+-Jx~+y2—R~

222

(4)z=ln(y-4x+8)(5)ln(l-x-y)(6).』x+y

[x+y>0

解⑴由题意，得卜一"。,则。={(x,)，)k+y>o,x-y〉o}。

(2)由题意,得xsinyNO,则。={(内)卜20,2〃%4y4(2〃+1)»}^{(%)，),<0

(2〃+1)乃<y<2(〃+1)开}

x>0x<0

(3)由题意，得Hn(y_x)〉0,即[ln(y-幻〉0或[ln(y-幻<0,解之得

D={(x,y)|x>0,y>x+l}u{(x,y)|x<0,x<y<x+l|

{(x,y)y>4x-8

(4)由题意，得y2—4x+8〉0,则O

4x-y2>0

l-x2-y2>0

J--一/"则0{(x,y)\y2<4x,y2<l-x2,x2+y2^0)

(5)山题意，得

in-~~r^°

x-+y

x2+y2-R2>^贝/={(x,y)|x|>R,y>o}

由题意，得

4.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？

(i)y=yl2-x2y=fgjl+x2

(2)(3)y=sin(l-2x)

(4)y^[arctg(l-x2)]3y=71nVx(6)y=(i+/)2

(5)

解(1)y=〃，=2-x2〃=4,V=l+x

u(2)y=tanuo

23

uu=arctanv,v=1-x2

(3)y=〃-,u=sinv,v=l-2xo(4)y=

(5)y~迎,w=Inv,

U=五。(6)y=/,M=1+V,v-ew=-x

5.计算

2..x2—2x+1

lim2r^-5x+3X-3x4+1

lim---limV~lim----------

(1)12x+1(2)ktQX+1(3)TX--1(4)I】x-x

2

x"-l..Jx+1_1d+3/+2x..Vl+x-1

lim-----lim-/---limlim----------

(5)x5x-1(6)XT。xJx+4-2(7)XT-2x~-x—6(8)XTOX

..J2x+1-3.J.，+1

2厂4-x+1「1+2+…+几

lim-T=lim----z-----lim----z------lim-------

(9)VX-2-5/2(10)is3厂-1(11)nrsn+1(12)x-ex+1

112

lim(—+—+••■+))

(13)"T0°1.22-3n-(n+1)(14)㈣x—2x,—8

..sinx2、

4hm(z-------tgx)

lim()

L+2r->2cosx

(15)s-2x+2x-4(16)2

limJ7

解(1)原式=5；(2)原式=0；(3)因为X+犷+1=0,所以原式=8;

(1)2x-l

limlim

_A->1

(4)原式二xfx(x-l)(x+l)x(x+l)=o；

(x-l)(x"-,+x'-2+…+1)io1-1

lim-------------------lim(xn-'+x"-2+•••+1)

(5)原式=—lX-\=XTI=(6)原式=0-2=0；

「x(x+l)(x+2)x(x+l)2

原式=1典(x+2)(x—3)=lim

(7)xf-2x—3=5；

1+__1X

limr——lim

(8)原式=3°xz«l+x+1)=.10Ji+丁+1=0；

(d2x+1—3)(J2x+1+3)(Jx-2+/)1.A/X—2+V22V2

(9)原式二J2x+1+3)(Jx+2+V2)(Vx-~2—V2)hm——7—

=2xf4J2x+1+33

c11

2+-+—

n(n+1)

n2+n

22

…、居—n2+1lim2

(10)(11)原式=lXiTm9XT82(n+l)=T.

i11

X->00...―_L__1

1+-，、…lim”

(12)原式二X=1;(13)原式二〃T8223nn+1)=i.

，+2x+4—12(x-2)(x+4)

limlim1

(x-2)(/+2,x+4)_x72

(14)原式J-(X-2)(/+2X+4)=5.

x-2+41

lim

(15)原式=--2(x-2)(x+2)=4；

(cos--sin-)2

sinx(l-sinx)lim22

limcos2X2X-X\2

nXT七(cos-+sin—)(c：os2-sin£)

(16)原式=222

1

lim

/X.X.2

%->一n(cos+sin)

222To

6.计算

l-2cosx

lim

tgkx1-cosxx

rn

lim----3sin(x--)limlim2sin——

(1)XTOx(2)a。sin5x(3)3(4)XTOxsinx(5)T

x—1/x,.八2\"...2x+3

lim(--)xlim(----)v(8)酬7如短lim(------)

(6)=x+1(7)isi+x(9)72X+1

「kx2x2

解(1)原式=XTOX=(2)原式二A->05x=5；

...71.

1-2cos(—+r)1-cos/+V3sinr

71

X---

(3)令3,贝EijK原式”=H10m-----si7n，—=li/m_>osinr

2sin2

―-2-+V3

"也+百"IP

lim2sin—cos—lim^T+V3r-

r->0sinr22=-0乙=A/D；

.x

xsin

x2

lim-

M->00人

(4)原式=1Tox-x—£；

(5)原式二2"=x.

0.r+10

(6)原式=巴8x+1=18X+1JX+1

lim-\—

3c(i+-r

(7)原式=1=e-；

.71

sm—x]_2

-t2-It「-t2-2t

lim。--)—|—lim—>丁

v]/►Yvl/►t=x-\limlim4

rcos—xcos—XiO-sin…。―儿t—

(8)原式=2=222=71；

ry2x+l

(1+

2x+l

lim2-

o+J

(9)原式=

7.计算

..ln(l+ax)].lnx-1

lim〃口n(〃+a)—In〃]lim---------lim----------

(1)30(2)x(3)…x-e

2

1rvx+x+1-1.x1

\im[n(an-1)](a>0)lim2,J(sin—+—)

…L'7Jv7(5)*T°吆2冗(6)〃T82"4〃

2x+,+5xlimx2(cos—+—V-)

lim

(7)XT82、+5、(8)〃f°xsin-x

n

limIn(1+")。

,a.n

hm〃m(Z1i+-)L

解(i)原式=n->oo〃=n-x»

「ax

/、mglim—

(2)原式=.nox=a

ln(l+')

「ln(/+e)—Ine

t=x-elim--------------------lim---------入iimX

(3)原式=/->otif。t=iof=e

i

lim-i)limning

(4)原式="f8L」="f8=lna；

22

[・X+x]・X+xj

原式二x->0tg2MA/厂+X+1+1)_.x->02X(]X~+X+1+1)=4.

(5)

.x

sin—i、+5

lim<—lim-5-----二

18(_)*+l

(6)原式=2"X：(7)原式二55；

lim*-cos—+lirn;-

(8)原式=30xiosin'x=io

3x+2,x<0

/(x)=,x2+l,0<x<l

X>1

8.设.X,分别求出下列极限。

⑴蚂/⑴lim/(x)、limf(x)limf(x)7、limf(x)

⑵(3)(4)XT”J'(5)'

解⑴㈣曾3x+2)一,

lim/(x)=lim(x2+1)=1limf(x)=lim(3x+2)=2lim/(x)

(2)XTO，XfO+，所以I。不存在；

..2

limf(x)lim(x2+1)lim—哂『2；

(3).v->i=x->r=2Jx->l=*fi，x=2,所以

2

lim/(x)hm-limf(x)lim(3x+2)

(4)=A->+oOX=Q.(5)X-=XT+00=+00o

靖+1,x<0;

sin2x

f(x)=,,X>O;

X