北京密云县第四中学高三数学理摸底试卷含解析

北京密云县第四中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数

(i是虚数单位)的虚部为A．－1B．0

C．1

D．2参考答案：C2.设函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：

那么方程的一个近似根(精确到)为

（

）A． B．

C．

D．参考答案：B3.运行如图所示的流程图，则输出的结果an是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣1 D．1参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，an的值，即可得到输出的结果an．【解答】解：n=1，a1=1，a2=5，满足条件n＜10，第1次执行循环体，有a3=a2﹣a1=4．n=2；满足条件n＜10，第2次执行循环体，有a4=a3﹣a2=﹣1，n=3；满足条件n＜10，第3次执行循环体，有a5=a4﹣a3=﹣5，n=4；满足条件n＜10，第4执行循环体，有a6=a5﹣a4=﹣4，n=5；满足条件n＜10，第5执行循环体，有a7=a6﹣a5=1，n=6；满足条件n＜10，第6次执行循环体，有a8=a7﹣a6=5，n=7；满足条件n＜10，第4执行循环体，有a9=a8﹣a7=4，n=8；满足条件n＜10，第5执行循环体，有a10=a9﹣a8=﹣1，n=9；不满足条件n＜10，输出答案．故选：C4.已知复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则z的共轭复数的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=（1﹣i）2，得．∴，∴z的共轭复数的虚部为1．选D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】用L表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于L和h的式子V=，令=L2h，解出π的近似值．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L=2πr，∴r=，∴V==．令=L2h，得π=．故选A．【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．6.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A7.已知向量

A．—3 B．—2

C．l

D．－l参考答案：A因为垂直，所以有，即，所以，解得，选A.8.在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是(

)

(A)1

(B)

(C)

(D)-1参考答案：A解：2R(sinC－sinA)=csinA=2RsinCsinA，TsinC－sinA=sinCsinA，T2cossin=－[cos(C+A)－cos(C－A)]=[1－2sin2－2cos2+1]．T(sin+cos)2=1，但sin+cos>0，故选A．9.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，该几何体的左视图为（

）参考答案：B10.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的

y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图放置的正方形，,、分别在轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值为_________________参考答案：212.若圆与圆相交于，则的面积为________.参考答案：略13.(几何证明选讲选做题)如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为

.参考答案：14.已知实数满足，则当时，目标函数的取值范围是．参考答案：15.如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点处取得最大值，则的取值范围是

．参考答案：16.设g（x）=，则g（g（））=．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．17.已知圆锥的轴截面（过旋转轴的截面）是等边三角形，则沿母线展开所得扇形的圆心角是__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知数列满足.（Ⅰ）证明数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，求数列的前项和.

参考答案：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，又因为，所以.所以数列是首项为2，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，所以.（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知，，所以

，

①①得

②②—①得

=.

解析：本题主要考查数列的递推公式，等差数列的概念、通项公式，等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.

19.（14分）已知函数f(x)=﹣x3+2ax2﹣3a2x（a∈R且a≠0）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程；（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（﹣2），f′（﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f′（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，，f'（x）=﹣x2﹣4x﹣3，∴，f'（﹣2）=﹣4+8﹣3=1．∴，即所求切线方程为3x﹣3y+8=0．（2）∵f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）．当a＞0时，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a．∴函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞），∵f（3a）=0，，∴当a＞0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为．（3）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，∵f'（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减，∴当x=2a时，，当x=2a+2时，．∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范围是[1，3]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．20.已知焦距长为4的双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点，且点在双曲线的一条渐近线上．（1）求该双曲线的方程；（2）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（3）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：由条件知，，设，．（I）双曲线的方程是（II）解法二：同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得．………④

．……⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．（III）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．21.(本题满分13分)在中，分别是角A、B、C的对边，且满足：．（I）求角C；

（II）求函数的单调减区间和取值范围．参考答案：（I）思路点拨1：连接,证明：;------------------4分

思路点拨2：取BC中点,取中点,证明：是平行四边形

思路点拨3：取AC中点K，连接MK,NK，证明平面MKN//平面BCC1B1

（II）过作BC的垂线,垂足为O，侧面BCC1B1底面ABC

所以平面ABC，------------------------------------6分

所以就是侧棱BB1与底面ABC所成的角，即=60°--7分

又AB=AC，所以,

如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系

则-------------8分

-------------9分

解1：，设平面的法向量为

则，令，则y=-1,x=-3,所以---11分

又平面ABC的法向量为（0,0,1），

设平面使得平面与底面ABC的所成角为

所以，又在上单调递减，

所以在上不存在点P，使得平面