湖南省娄底市沙塘中学高三数学文期末试题含解析

湖南省娄底市沙塘中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法中正确的是（

）A.当时，函数是增函数，因为2>l，所以函数是增函数．这种推理是合情推理B.在平面中，对于三条不同的直线，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理C．若分类变量X与Y的随机变量的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小D.参考答案：C2.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MN=Q，MN=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N）,下列选项中，不可能成立的是（

）

A．M没有最大元素，N有一个最小元素

B．M没有最大元素，N也没有最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素

D．M有一个最大元素，N没有最小元素参考答案：C3.函数，则的图象大致是(

)A．

B．C．

D．参考答案：C4.已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：A5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的y=（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.【详解】输入，，不成立，；，成立，跳出循环，输出.故选D.【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.6.经统计,某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是(单位:亿元),其中为随机误差,如果今年该地区财政收入10亿元,则年支出预计不超出(

)A.10亿

B.11亿

C.11.5亿

D.12亿参考答案：D7.已知R是实数集，集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，，则A∩（?RB）=（）A．（1，6） B．[﹣1，2] C． D．参考答案：D【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据不等式的性质求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，={x|x＞6或x≤}，则?RB={x|＜x≤6}，则A∩（?RB）={x|＜x≤2}，故选：D8.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．参考答案：A考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），故选：A．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．9.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（

）

A．64

B．32

C．2

D．参考答案：B略10.对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4x

B．y＝logxC．y＝logx

D．y＝log2x参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则不等式的解集为

．参考答案：12.计算的结果为

．参考答案：2略13.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线(t为参数)被曲线截得的弦长为，则a的值为

.参考答案：－1或－5

14.若两直线x-2y+5=0与2x+my-5=0互相平行，则实数m=

．参考答案：-415.已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范围即可得出的范围．【解答】解：设∠APB=2θ，则PA=PB=，当OP取得最小值时，θ取得最大值．圆心C（2，1）到直线x+2y﹣9=0的距离为=，圆的半径为r=1，∴sinθ的最大值为=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．设cos2θ=t，f（t）==，则f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上单调递增，∴f（t）的最大值为f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案为（0，]．16.

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为_________。参考答案：答案:17.在△ABC中，∠A=60°，，则△ABC面积的范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=－7，S3=－15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．参考答案：解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，D为AA1的中点， 点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上.(1)求证：B1D⊥CBD；(2)若△CBD是正三角形，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.参考答案：(1)证明：设点在平面内的射影为，则，，且，因，所以.………2分在中，，，则，在中，，，则，故，故.……………4分因，故.……5分(2)法一、，……………6分由(1)得，故是三棱锥的高，………7分是正三角形，，，………8分，………9分，………11分故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为.…12分

法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，故，故，………8分由(1)得，故是四棱柱的高，………………9分故，…11分故，故三棱柱的体积为.…………12分法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分记到平面的距离为，由得，即，…………9分为的中点，故到平面的距离为，…10分.故三棱柱的体积为.…12分20.已知数列{an}满足：a1=2，an+1+1=a1a2a3…an．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）（ⅰ）证明：当n≥2时，an2=an+1﹣an+1；（ⅱ）若正整数m满足a1a2a3…am+2015=a12+a22+a32+…+am2，求m的值．参考答案：考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）通过an+1+1=a1a2a3…an，令n=1即得结论；（Ⅱ）（ⅰ）通过an+1+1=a1a2a3…an及an+1=a1a2a3…an﹣1可得，进而可得结论；（ⅱ）通过a1a2a3…am=1+am+1，可得，利用=am+1+m+2，计算即可结论．解答： （Ⅰ）解：∵an+1+1=a1a2a3…an，∴a2+1=a1，∴a2=a1﹣1=1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：∵an+1+1=a1a2a3…an，①∴an+1=a1a2a3…an﹣1，（n≥2）．

②由①÷②得，∴an+1+1=（an+1）an，即当n≥2时；（ⅱ）解：由a1a2a3…am=1+am+1，∵，，，…，∴=am+1+m+2，则（1+am+1）+2015=am+1+m+2，∴m=2014．点评：本题考查数列的基本性质，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x﹣2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk﹣1）≤16g（xk）成立；（3）求证：．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．.专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）首先设出直线y=2x﹣2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．解答：解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x﹣2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0﹣2①∵，∴②由②得，2x0﹣2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．由f（x）≥g（x），即，整理得，∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2﹣2xlnx恒成立．设h（x）=x2﹣2xlnx，，∵，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．（2）当a=1时，，∵，∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为．要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk﹣1）≤16g（xk）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=xk﹣1=3时不等式左边取得最大值，xk=e时不等式右边取得最小值．∴（k﹣1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13．因此，k的最大值为13．

（3）证明：1°当n=1时，左边=，右边=ln3，根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即．令x=3，得，即．因此，n=1时不等式成立．

2°假设当n=k时不等式成立，即，则当n=k+1时，，要证n=k+1时命题成立，即证，即证．在不等式中，令，得．∴n=k+1时命题也成立．

综上所述，不等式对一切n∈N*成立．点评：本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．22.(13分)已知数列的前项和，数列满足

．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的通项；（Ⅲ）若，求数列的前项和．参考答案：解析：（Ⅰ）∵,∴．---------------------------------------------------------2分

∴．

------------------------------------3分

当时，