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文档简介
2023-2024学年河北省石家庄市晋州市第一中学高考仿真模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.42.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.03.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项4.设分别为的三边的中点,则()A. B. C. D.5.已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为()A. B. C. D.6.如图,已知三棱锥中,平面平面,记二面角的平面角为,直线与平面所成角为,直线与平面所成角为,则()A. B. C. D.7.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.8.已知复数满足,其中为虚数单位,则().A. B. C. D.9.若(是虚数单位),则的值为()A.3 B.5 C. D.10.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神兽人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A. B. C. D.12.设,且,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.满足约束条件的目标函数的最小值是.14.已知,则展开式的系数为__________.15.已知全集,集合,则______.16.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在棱长为的正方形中,,分别为,边上的中点,现以为折痕将点旋转至点的位置,使得为直二面角.(1)证明:;(2)求与面所成角的正弦值.18.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求证:(2)求证:.19.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,,,.(1)证明:平面平面;(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.20.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.21.(12分)已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.(1)求实数的值及函数的单调区间;(2)设函数,证明时,.22.(10分)已知函数,,若存在实数使成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题2、C【解析】
集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.3、B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.4、B【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B【点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.5、B【解析】试题分析:由题意得,,所以,,所求双曲线方程为.考点:双曲线方程.6、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.【详解】作于,于.因为平面平面,平面.故,故平面.故二面角为.又直线与平面所成角为,因为,故.故,当且仅当重合时取等号.又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.故.故选:A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.7、B【解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.8、A【解析】
先化简求出,即可求得答案.【详解】因为,所以所以故选:A【点睛】此题考查复数的基本运算,注意计算的准确度,属于简单题目.9、D【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】(是虚数单位)可得解得本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用,复数的模的求法,考查计算能力.10、D【解析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.11、D【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.12、C【解析】
将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-2【解析】
可行域是如图的菱形ABCD,代入计算,知为最小.14、【解析】
先根据定积分求出的值,再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为所以的通项公式为当时,当时,故展开式中的系数为故答案为:【点睛】此题考查定积分公式,二项展开式公式等知识点,属于简单题目.15、【解析】
根据题意可得出,然后进行补集的运算即可.【详解】根据题意知,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】
点在的平分线可知与向量共线,利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,利用向量的坐标求向量的模,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见详解;(2)【解析】
(1)在折叠前的正方形ABCD中,作出对角线AC,BD,由正方形性质知,又//,则于点H,则由直二面角可知面,故.又,则面,故命题得证;(2)作出线面角,在直角三角形中求解该角的正弦值.【详解】解:(1)证明:在正方形中,连结交于.因为//,故可得,即又旋转不改变上述垂直关系,且平面,面,又面,所以(2)因为为直二面角,故平面平面,又其交线为,且平面,故可得底面,连结,则即为与面所成角,连结交于,在中,,在中,.所以与面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明与性质,利用定义求线面角,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)先根据绝对值不等式求得的最大值,从而得到,再利用基本不等式进行证明;(2)利用基本不等式变形得,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个不等式,再进行不等式相加,即可得答案.【详解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即两边开平方得.同理可得,.三式相加,得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和推理论证能力.19、(1)证明见解析;(2)为线段上靠近点的四等分点,且坐标为【解析】
(1)先通过线面垂直的判定定理证明平面,再根据面面垂直的判定定理即可证明;(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系,根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,即可计算出的坐标从而位置可确定.【详解】(1)证明:因为,,,所以,即.又因为,,所以,,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)解:连接,因为,是的中点,所以.由(1)知,平面平面,所以平面.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则平面的一个法向量是,,,.设,,,,代入上式得,,,所以.设平面的一个法向量为,,,由,得.令,得.因为二面角的平面角的大小为,所以,即,解得.所以点为线段上靠近点的四等分点,且坐标为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题,难度一般.(1)证明面面垂直,可通过先证明线面垂直,再证明面面垂直;(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值,要注意结合图形分析.20、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】
(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设,,,,所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21、(1);函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)详见解析.【解析】
试题分析:(1)由题得,根据曲线在点处的切线方程,列出方程组,求得的值,得到的解析式,即可求解函数的单调区间;(2)由(1)得根据由,整理得,设,转化为函数的最值,即可作出证明.试题解析:(1)由题得,函数的定义域为,,因为曲线在点处的切线方程为,所以解得.令,得,当时,,
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