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文档简介
四川省宜宾市翠屏区宜宾四中2024年高三第六次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()A.-1 B.1 C.0 D.23.定义运算,则函数的图象是().A. B.C. D.4.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值为()A. B. C.8 D.65.已知集合,则=A. B. C. D.6.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.37.已知,则的大小关系为A. B. C. D.8.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()A. B. C. D.9.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度10.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()A.20 B.24 C.25 D.2611.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②12.五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等差数列满足,,则的值为________.14.某市高三理科学生有名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布,已知,若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析,则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.15.在中,点在边上,且,设,,则________(用,表示)16.已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.19.(12分)已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于,两点,点为椭圆的左焦点.(1)求证:直线与椭圆相切;(2)判断是否为定值,并说明理由.20.(12分)根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多,综合国力大幅提升.将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为;表示全国GDP总量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根据数据及统计图表,判断与(其中为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出关于的回归方程.(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.参考数据:45678的近似值551484031097298121.(12分)已知数列满足:,,且对任意的都有,(Ⅰ)证明:对任意,都有;(Ⅱ)证明:对任意,都有;(Ⅲ)证明:.22.(10分)已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
求出集合,利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由,得,则集合,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合是解决本题的关键,属于基础题.2、B【解析】
化简得到z=a-1+a+1【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数,故a-1=0故选:B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数,意在考查学生的计算能力.3、A【解析】
由已知新运算的意义就是取得中的最小值,因此函数,只有选项中的图象符合要求,故选A.4、C【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简,结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,半焦距为,则,,设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:,则当且仅当时,取等号.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式,属于中等题.5、C【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,,则.故选C.【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.6、A【解析】
直接将两边同时乘以求出复数,再求其模即可.【详解】解:将两边同时乘以,得故选:A【点睛】考查复数的运算及其模的求法,是基础题.7、D【解析】
分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.8、B【解析】
可设,将化简,得到,由复数为实数,可得,解方程即可求解【详解】设,则.由题意有,所以.故选:B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题9、B【解析】
分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可.详解:将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选B.点睛:本题主要考查三角函数的图象变换,结合和的关系是解决本题的关键.10、D【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为(种),故选:D.【点睛】本题考查组合的应用,此类问题注意实际问题的合理转化,本题属于容易题.11、C【解析】
①举反例,如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例,如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确;②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确;③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确;④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系,选择题一般可通过特殊值法进行排除,属于简单题目.12、A【解析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种,其中2类元素相生的结果有5种,再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果,其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果,所以2类元素相生的概率为,故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、11【解析】
由等差数列的下标和性质可得,由即可求出公差,即可求解;【详解】解:设等差数列的公差为,,又因为,解得故答案为:【点睛】本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用,属于基础题.14、【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率,乘以可得.【详解】解:,所以应从分以上的试卷中抽取份.故答案为:.【点睛】本题考查正态分布曲线,属于基础题.15、【解析】
结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示,即可得到结果.【详解】在中,因为,所以,又因为,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查三角形中向量的线性运算,关键是利用已知向量为基底,将未知向量通过几何条件向基底转化.16、【解析】
由题意可知:为上的单调函数,则为定值,由指数函数的性质可知为上的增函数,则在,单调递增,求导,则恒成立,则,根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围.【详解】若方程无解,则或恒成立,所以为上的单调函数,都有,则为定值,设,则,易知为上的增函数,,,又与的单调性相同,在上单调递增,则当,,恒成立,当,时,,,,,,此时,故答案为:【点睛】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,正弦函数的性质,辅助角公式,考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)详见解析;(2).【解析】
(1)由直径所对的圆周角为,可知,通过计算,利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形,所以有.由已知可以证明出,这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面,利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;(2)以为坐标原点,分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出平面的一个法向量和平面的法向量,利用空间向量数量积运算公式,可以求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)证明:因为半圆弧上的一点,所以.在中,分别为的中点,所以,且.于是在中,,所以为直角三角形,且.因为,,所以.因为,,,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由已知,以为坐标原点,分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则即,取,得.设平面的法向量,则即,取,得.所以,又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.18、(1)单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)最大值是.【解析】
(1)求得,由题意可知和是函数的两个零点,根据函数的符号变化可得出的符号变化,进而可得出函数的单调递增区间和递减区间;(2)由(1)中的结论知,函数的极小值为,进而得出,解出、、的值,然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】(1),令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.又因为,所以当时,,即;当或时,,即.所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)由(1)知,是的极小值点,所以有,解得,,,所以.因为函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.所以为函数的极大值,故在区间上的最大值取和中的最大者,而,所以函数在区间上的最大值是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值,考查计算能力,属于中等题.19、(1)证明见解析;(2)是,理由见解析.【解析】
(1)根据判别式即可证明.(2)根据向量的数量积和韦达定理即可证明,需要分类讨论,【详解】解:(1)当时直线方程为或,直线与椭圆相切.当时,由得,由题知,,即,所以.故直线与椭圆相切.(2)设,,当时,,,,所以,即.当时,由得,则,,.因为.所以,即.故为定值.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查向量的运算,注意直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.20、(1),;(2)148万亿元.【解析】
(1)由散点图知更适宜,对两边取自然对数得,令,,,则,再利用线性回归方程的计算公式计算即可;(2)将代入所求的回归方程中计算即可.【详解】(1)根据数据及图表可以判断,更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程.对两边取自然对数得,令,,,得.因为,所以,所以关于的线性回归方程为,所以关于的回归方程为.(2)将代入,其中,于是2020年的全国GDP总量约为:万亿元.【点睛】本题考查非线性回归方程的应用,在处理非线性回归方程时,先作变换,转化成线性回归直线方程来处理,是一道中档题.21、(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】分析:(1)用反证法证明,注意应用题中所给的条件,有效利用,再者就是注意应用反证法证题的步骤;(2)将式子进行相应的代换,结合不等式的性质证得结果;(3)结合题中的条件,应用反证法求得结果.详解:证明:(Ⅰ)证明:采用反证法,若不成立,则若,则,与任意的都有矛盾;若,则有,则与任意的都有矛盾;故对任意,都有成立;(Ⅱ)由得,则,由(Ⅰ)知
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