高考文数一轮复习课件第六章数列第四节数列求和

第四节数列求和总纲目录教材研读1.求数列的前n项和的方法考点突破2.常见的裂项公式考点二裂项相消法求和考点一错位相减法求和考点三分组转化法求和1.求数列的前n项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=①

=②

na1+

.(ii)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=③

na1

;教材研读当q≠1时,Sn=④

=⑤

.(2)分组转化法把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列

之和,再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式

的推导过程的推广.(5)错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错

位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法若一个数列的前n项和中,可两两合并求解,这种方法称为并项求和.形如

an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12

=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.2.常见的裂项公式(1)

=⑥

-

;(2)

=⑦

;(3)

=⑧

-

.

1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn=

()A.2n+n2-1

B.2n+1+n2-1

C.2n+1+n2-2

D.2n+n2-2答案

C

Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+…+(2n+2n-1)=(21+22+…+2n)+[1+3+5

+…+(2n-1)]=

+

=2n+1-2+n2.故选C.C2.已知数列{an}的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3),则S15+S22-S31的值是

()A.13

B.-76

C.46

D.76答案

B

S15=1-5+9-13+…+(4×13-3)-(4×14-3)+(4×15-3)=7×(-4)+57=29,BS22=1-5+9-13+…+(4×21-3)-(4×22-3)=11×(-4)=-44,S31=1-5+9-13+…+(4×29-3)-(4×30-3)+(4×31-3)=15×(-4)+121=61,∴S15+S22

-S31=29-44-61=-76.故选B.3.数列

的前n项之和为

,则n=

.3.数列

的前n项之和为

,则n=

.答案99解析由题意得

+

+

+…+

=

-

+

-

+

-

+…+

-

=1-

=

,令

=

,解得n=99.994.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n·2n,则Sn=

.(n-1)2n+1+2答案(n-1)2n+1+2解析∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n.

①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.

②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1

=

-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2.∴Sn=(n-1)2n+1+2.典例1

(2015北京朝阳一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,an+1=Sn,n

∈N*.(1)写出a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)已知等差数列{bn}中,有b2=a2,b3=a3,求数列{an·bn}的前n项和Tn.考点一错位相减法求和考点突破(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又当n=1时,a1=S1=4.所以an=

(3)设等差数列{bn}的公差为d,依题意,b2=a2=4,b3=a3=8,则由

得b1=0,d=4,则bn=4(n-1).所以an·bn=

因为当n=1时,(n-1)2n+2=0,所以an·bn=(n-1)2n+2(n∈N*).解析(1)因为a1=4,an+1=Sn,所以a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16.所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+…+an-1bn-1+anbn=0+1×24+2×25+3×26+…+(n-2)×2n+1+(n-1)×2n+2,

①2Tn=0+1×25+2×26+3×27+…+(n-2)×2n+2+(n-1)×2n+3,

②①-②,得-Tn=24+25+26+27+…+2n+2-(n-1)×2n+3=

-(n-1)×2n+3=-16-(n-2)×2n+3.所以Tn=16+(n-2)×2n+3.方法技巧(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前

n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的

公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”

以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.1-1已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1

=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.解析(1)设数列{an}的公差为d(d>0),数列{bn}的公比为q,由已知得

解得

或

∵d>0,∴d=2,q=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n,∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①,2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②,②-①得Tn=-1×2-2×22-2×23-…-2×2n+(2n-1)×2n+1=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)×2n+1=-2-

+(2n-1)×2n+1=6+(2n-3)×2n+1.考点二裂项相消法求和典例2

(2016北京东城二模)已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,其前

n项和为Sn.(1)求{an}的通项公式及Sn;(2)令bn=

(n∈N*),求数列{bn}的前8项和.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,由a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=

·n=

·n=n2+2n.(2)由bn=

,得bn=

=

=

-

.设{bn}的前n项和为Tn,则T8=

+

+

+…+

=1-

=

.故数列{bn}的前8项和为

.易错警示利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一

项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前

面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.2-1

(2018北京海淀高三期中)已知等比数列{an}满足a1a2a3=8,a5=16.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)设bn=log2an+1,求数列

的前n项和Tn.解析(1)设等比数列{an}的公比为q.因为a1a2a3=8,且a1a3=

,所以

=8,解得a2=2,又因为a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1.所以an=2n-1(n∈N+),所以Sn=

=

=2n-1.(2)因为an+1=2n,所以bn=log2an+1=n,所以

=

=

-

.所以数列

的前n项和Tn=

+

+…+

=1-

=

.典例3

(2017北京西城一模)已知{an}是等比数列,a1=3,a4=24.数列{bn}

满足b1=1,b4=-8,且{an+bn}是等差数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.考点三分组转化法求和解析(1)设等比数列{an}的公比为q.由题意得q3=

=8,解得q=2.所以an=a1·qn-1=3·2n-1.设等差数列{an+bn}的公差为d.由题意得d=

=

=4.所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n.从而bn=4n-3·2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知bn=4n-3·2n-1.设{bn}的前n项和为Sn.则Sn=(4+4×2+…+4n)-(3×21-1+3×22-1+…+3×2n-1)=4(1+2+…+n)-3(20+21+…+2n-1)=2n(n+1)-

=2n2+2n+3-3·2n.所以,数列{bn}的前n项和为2n2+2n-3·2n+3.规律总结(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{an}