2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第五章　计数原理

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

第五章计数原理

（全卷满分150分,考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的）

1.小明同学从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试,则他至少选中1道

排列题的选法有（）

A.56种B.64种C.72种D.144种

2.在（合一|）5的二项展开式中的系数为（）

A.-10B.10

C.-5D.5

3.重阳节,是中国传统节日，节期为每年农历九月初九,二九相重,谐音“久久”，

有长久之意.人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬

老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案种数

是（）

A.35B.40

C.50D.70

4.把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,

每人至少一张,且分给同一人的多张票必须连号,那么不同的分法种数为（）

A.96B.240C.280D.480

5.某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一枚棋子放在如图所示的正方形

ABCD（边长为2个单位）的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按

逆时针方向行走了几个单位,如果掷出的点数为i（i=l,2,…,6）,则棋子就按逆时

针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起

点A处的所有不同走法共有（

U

41---------1A

A.21种B.22种

C.25种D.27种

6.若9。+禺+19e+・・・+*人9+邛+1是11的倍数，则自然数n为（）

A.奇数B.偶数

C.3的倍数D.被3除余1的数

7.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组,每个小组至

多可接收该班2名同学,每名同学只能报一个小组,则不同的报名方案有（）

A.15种B.90种

C.120种D.180种

8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内

切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以

为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比

为n,则（诙的展开式中的常数项是（）

\nx）

A.15B.-15

cC.135Dn・-135

44

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分）

9.已知A劈-禺+0!=4,贝IJm的值可以是（）

A.1B.2

C.3D.4

10.下列命题是真命题的是（）

A.C罂o=L62700

B.C1+C|=Cf0

C.C1+C|+C1+Ct+Cf+Cf+Cj=254

D.（l+2x）的展开式中二项式系数最大的项是IX3X；：7X9x（4x”

11.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是

（）

A.可组成360个不重复的四位数

B,可组成156个不重复的四位偶数

C.可组成96个能被3整除的不重复的四位数

D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数字

为2310

12.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三

门作为选考科目，下列说法错误的是（）

A.若任意选择三门课程,则选法总数为A3

B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为最髭

C.若物理和历史不能同时选,则选法总数为噌-g

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选,则选法总数为禺比-玛

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知(3日一：旷的展开式中第7项的二项式系数最大,则n=,展开式

中的常数项为.

14.已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排,则白颜色的

汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有种.(用

数字作答)

15.已知(x-2)6=ao+aix+a2x%-+a6x6,则@二______.

aO

16.函数y=f(x)的定义域D和值域A都是集合｛1,2,3)的非空真子集,如果对于D

内任意的X,总有x+f(x)+xf(x)的值是奇数,则满足条件的函数y=f(x)的个数

是.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法？

(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人在内，有多少种选法？

3!—\TL

(4+习(neN+)的二项展开式中所有奇数项的二项式

系数之和为128.

(亨3/—的展\Ti开式中的常数项；

(2)在(1+*)+(1+动2+(1+93+(1+动4+―+(1+*)2+11的展开式中，求六的系数.(结果用

数字作答)

19.(本小题满分12分)7人站成两排队列，前排3人,后排4人.

⑴一共有多少种站法？

⑵现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人后排加2人其他人保持相对位

置不变,有多少种不同的加入方法？

20.(本小题满分12分)已知(x2-3x+2)5=ao+aix+a2x2+—+aioxi°.求:

(l)ao+ai+a2+---+aio；

(2)(ao+az+ad+ae+ag+aio)2-(ai+as+as+aT+aJ.

21.（本小题满分12分）某次会议期间，组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分

配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五

人均能胜任这四个岗位.

(1)若每人不准兼职,则不同的分配方案有多少种？

⑵若甲、乙被抽调去别的地方,剩下的三人要求每人必兼两职,则不同的分配方

案有多少种？

22.(本小题满分12分)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情

况下各有多少种不同的报名方法？(用数字回答)

⑴每人恰好参加一项,每项人数不限；

⑵每项限报一人,且每人至多参加一项；

(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加.

答案与解析

1.B从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试,至少选中1道排列题的

选法有禺C介比玛=64种.故选B.

5丁

2.A的展开式的通项为TxCKx"；(一=砥(-2)丫弋

令10-3r=7,解得r=l,故x7的系数为玛(-2)1-10.故选A.

3.C6名学生分成两组,每组不少于2人,则可分为一组2人另一组4人,或每组

3人,所以不同的分配方案种数为鬣A＞玛=50.故选C.

4.B因为每人至少一张,且分给同一人的多张票必须连号，

所以可以在座位号为1、2、3、4、5、6的五个空位中插入3个隔板，有牖=10种

方法,然后分给甲、乙、丙、丁四个人，有A%24种分法，

所以不同的分法种数为10X24=240,故选B.

5.D由题意,知正方形ABCD的周长为8,当抛掷三次骰子的点数之和为8或16

时,棋子恰好又回到起点A处.

①点数之和为8的情况有:1,1,6;1,2,5;1,3,4;2,2,4;2,3,3,排列方法共有

禺+Ag+A§+禺+的=21种；

②点数之和为16的情况有:4,6,6;5,5,6,排列方法共有禺+禺=6种.

所以,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同走法共有21+6=27种.

故选D.

n1

6.AV9+Cl+19"+-+C^19+C^+1

…+C寤92+*9+c需）号

=1（9+l）n+1-1=1（10n+1-l），

nnl

又9+Cl+19+-+C^19+C«+1M11的倍数，...n+l为偶数,即n为奇数.

故选A.

7.B根据题意,5名同学需以“2,2,1”形式参加三个不同社区服务小组，即先把

5名同学分成3组,每组人数分别为2,2,1,共有笔歌=15种分组方法,再将3组

分配到三个不同社区服务,共有15XA1=9O种,故选B.

8.A设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,所以圆柱的体积

如内3

23

V1=nR-2R=2nR,球的体积V2二一五R,所以m=—4R32

3Vo311

22

又圆柱的表面积Si=2JiR•2R+2JiR=6nR,球的表面积S2=4nR,所以

123rr

"9窖=|,所以诙=1,则（诙％2-）6=（/」）6,其展开式的通项为Tr+1<^x-（-l）,

S24nR22n\nxj\xj°

令12-3r=0,解得r=4,所以常数项为C式-1”=15.故选A.

-4

9.BCAT--

10.BCD由于点%o」°M9：98=16i700,故A不是真命题；

由组合数的性质C『+Ck1=C91，可得量+量=量0,故B是真命题;

C^+C1+C1+C^+C1+Cf+C^=2-Cg-Cf=256-2=254,故C是真命题;

(l+2x)10的展开式中二项式系数最大的项是

510x9x7x6

点(2x)=^(2X)5="3X；X7X9(4X);故D是真命题.故选jo.

11.BCA选项，有玛Ag=300个，故A中说法错误；

B选项,分为两类:0在末位,则有Ag=60个,0不在末位,则有禺禺A汇96个,所以

共有60+96=156个，故B中说法正确;

C选项,先把相加能被3整除的四个数按从小到大的顺序列举出来,

即(0,1,2,3),(0,1,3,5),(0,2,3,4),(0,3,4,5),(1,2,4,5),

再将它们排列成四位数，•••共有4禺A§+A%96个，故C中说法正确；

D选项,首位为1的有Ag=60个,前两位为20的有A汇12个,前两位为21的有

A汇12个,此时共有60+12+12=84个，因而第85个数字是前两位为23的最小数,

即为2301,故D中说法错误.故选BC.

12.ABD若任意选择三门课程,则选法总数为◎，故A中说法错误；

若物理和化学至少选一门，则选法总数为禺髭+禺禺，故B中说法错误；

若物理和历史不能同时选,则选法总数为C尹禺禺，即C尹玛，故C中说法正确；

若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法总数为玛髭+C乳〉

玛，故D中说法错误.

故选ABD.

13.答案12;-1760

解析由二项式系数的性质可得］+1=7,得n=12.(证-勺"的展开式的通项为

12—Tz丁12—4丁

Tr+1=C：2%M(V)=(-2)(：2%-,令12-n=0,得r=3,故常数项为T4=T760.

14.答案14400

解析不管怎样排都能满足白颜色的汽车至少2辆停在一起,所以分两步：

第一步,将5辆白颜色的汽车全排列,有Ag=120种方法；

第二步,将3辆红颜色的汽车插空,有AV120种方法.

由分步乘法计数原理得，共有120X120=14400种停放方法.

15.答案-j

6r1

解析(x-2)6的展开式的通项为Tr+1=C^x-(-2),r=0,1,…,6.

3

a3=Cj(-2)=-160,a0=Ct(-2)=64,

所以艺;一出二一3

a0642

16.答案29

解析因为x+f(x)+xf(x)=(x+1)(f(x)+1)-1的值是奇数，

所以f(x),x中至少有一个为奇数，

定义域为“},{3},{1,3}的都可以，此时共有3+3+3X3=15种情况;

定义域为{2},{1,2},{2,3}的函数为2)£{1,3},此时共有2+3X2+2X3=14种情

况.

综上,共有15+14=29个函数y=f(x)满足条件.

17.解析⑴根据题意,从5名男生中选出2人,有釐=10种选法，(2分)

从4名女生中选出2人,有第二6种选法，(4分)

则4人中男生和女生各选2人的选法有10X6=60种.(5分)

(2)先从9人中任选4人,有禺=126种选法，(7分)

其中甲、乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有的=35种，(9分)

所以男生甲与女生乙至少要有1人在内的选法有126-35=91种.(10分)

18.解析•..二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128,

...§=128,解得n=8.(2分)

(1)代+，的展开式的通项为二尸超管厂(丁=超％手,(4分)

令手=0,得r=2,则常数项为T3=Ci-CL(7分)

3\2/16

(2)(1+x)+(l+x)2+(l+x)3+(1+x)4+…+(l+a°的展开式中x3的系数为

C1+Cj+-+C?o=Ct+Ci+-+C3o=c4+C3+...+C3o=C4i=330.(12分)

19.解析(1)7人站成两排队列，前排3人,后排4人,即将7个人全排列,有A>5

040种站法.(3分)

⑵根据题意，分2步进行分析：

①前排3人中有4个空位，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有禺禺=12种排

法；(6分)

②对于后排,若插入的2人不相邻,则有髭种排法,若插入的2人相邻,则有玛A刍

种排法,则后排的安排方法有A/玛A^30种.(9分)

所以共有12X30=360种不同的加入方法.(12分)

20.解析(1)(X2-3X+2)5=ao+aix+a2X2+---+aioX10,

,,25

令x=l,得ao+ai+a2+*+aio