新高考艺术生40天突破数学90分讲义第16讲数列通项(原卷版+解析)

第16讲数列通项【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.二、利用递推公式求通项公式=1\*GB3①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得=2\*GB3②叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得=3\*GB3③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.④利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，求出【典型例题】（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，满足，则__________.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式.例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，求.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3可以表示成，2，；②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；③数列的第项是；④数列中的每一项都与它的序号有关．A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（）A．7 B．10 C．12 D．223．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足，且a1=1，a2=5，则（）A．69 B．105 C．204 D．2055．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列中，，，则（）.A． B．C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（）A． B．C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）若为数列的前项和，且，则等于（）A． B． C． D．9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（）.A．190 B．192 C．180 D．18210．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，则（）A． B． C． D．11．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，且，，则（）A． B． C． D．12．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，若，，则等于（）A． B．C． D．13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列中，，，，则（）A． B． C． D．14．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式可能是an＝（）A． B．C． D．二、多选题15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（）A．an＝－B．an＝C．数列为等差数列D．－505016．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（）A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为C． D．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，，则________．18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列的前项和记作，，则________．19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则______．21．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，则___________.24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，且，则________________.25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列，则得到递推关系.则___________.26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列满足，则的最小值为___________.四、解答题27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足：，求{an}的通项公式；（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式.32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为.（1）求m的值，并求出数列的通项公式；（2）令，设为数列的前n项和，求.35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．（1）证明：数列为等比数列，并求出；（2）求数列的前n项和．第16讲数列通项【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.二、利用递推公式求通项公式=1\*GB3①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得=2\*GB3②叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得=3\*GB3③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.④利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，求出【典型例题】（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．【答案】ABD【详解】依题意，当时，，当时，，，所以，所以，所以.当时，；当时，符合上式，所以.，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，满足，则__________.【答案】【详解】依题意，，所以.故答案为：例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．【答案】【详解】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.【详解】由，得，又，所以当时，，又也满足上式，所以；例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式.【详解】解：因为，，所以，，又，得，所以，又，所以，.例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，求.【详解】解：因为，所以，而，∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，∴.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.【详解】，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3可以表示成，2，；②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；③数列的第项是；④数列中的每一项都与它的序号有关．A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．【详解】解：对于①，是集合，不是数列，故选项①错误；对于②，数列是有序的，故数列，0，1与数列1，0，是不同的数列，故选项②错误；对于③，数列的第项是，故选项③正确；对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．故选：．2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（）A．7 B．10 C．12 D．22【答案】A【分析】根据通项公式直接求项即得结果.【详解】因为数列{an}满足a1=1，且an=所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，所以a4=2a3-1=2×4-1=7.故选:A【点睛】本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用累加法得出.【详解】由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足，且a1=1，a2=5，则（）A．69 B．105 C．204 D．205【答案】D【分析】可将已知适当变形成为，可构造等差数列，利用累加法求得【详解】设，故构成以4为首项，1为公差的等差数列故…………故选：D【点睛】若满足，可考虑用累加法求通项公式，其原理为…………，运算化简即可.5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列中，，，则（）.A． B．C． D．【答案】A【分析】通过赋值，利用累加法，即可求得结果.【详解】因为，，所以，所以，，……，以上各式累加得，即.故选：A.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；【详解】解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．8．（2022·全国·高三专题练习）若为数列的前项和，且，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求得.【详解】时，.时，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：B9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（）.A．190 B．192 C．180 D．182【答案】B【分析】根据公式计算通项公式得到，故，求和得到答案.【详解】当时，；当时，，经检验不满足上式，所以，，则，.故选：B.10．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令可求得的值，由，由作差法可得出的表达式，再对是否满足的表达式进行检验，即可得解.【详解】当时，则有；当时，由，①可得，②①②可得，所以，，满足.故对任意的，.故选：D.11．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，且，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列与的关系，可得数列从第项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解.【详解】由得，即，所以数列从第项开始是等差数列，又因为，，所以，所以．故选：B12．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，若，，则等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先转化为递推关系再求解.【详解】由可得：，两式相减得：，即，，又由可得：，，当时，，综上，，故选：.13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解.【详解】在中，，由可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以，故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式可能是an＝（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，变形数列的前4项，然后归纳出通项公式．【详解】解：根据题意，数列的前4项为，，，，则有，，，，则数列的通项公式可以为.故选：D.二、多选题15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（）A．an＝－B．an＝C．数列为等差数列D．－5050【答案】BCD【分析】利用数列通项和前n项和的关系求解.【详解】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，故an＝故B正确，A错误；所以，故D正确．故选：BCD16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（）A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为C． D．【答案】ABD【分析】根据题设的关系，可判断是否为等比数列，进而可得的通项公式，应用分组求和及等比数列前n项和得，再写出通项，应用裂项法求，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：，则且，即是等比数列；∴，且，又，∴.故选：ABD.三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，，则________．【答案】【分析】由条件可得，由累加法可得答案.【详解】由,即所以故答案为：18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列的前项和记作，，则________．【答案】【分析】由进行求解即可．【详解】当时，，当时，，当时，，不符合上式．所以，故答案为：19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．【答案】25．【分析】由，化简整理得到，求得，进而求得时，，根据，得到，即可求解.【详解】由题意数列的各项均为正数，且满足，当时，可得，整理得，又由，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以，因为数列的各项均为正数，可得，所以当时，，当时，，由，即，即，又由，所以，所以满足的最大的正整数等于.故答案为：.20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则______．【答案】【分析】利用与的关系，替换，构造是等差数列，即可求得数列的通项公式.【详解】因为，，所以，所以是等差数列，公差为3，又，所以，．故答案为：21．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.【答案】【分析】由递推关系式可得，构造数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故答案为：22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．【答案】【分析】根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.【详解】在正项数列中，，则有，于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，则有，即，所以数列的通项公式是.故答案为：23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，则___________.【答案】【分析】利用求得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以.故答案为：24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，且，则________________.【答案】【分析】根据变形得，可构造等比数列，由等比数列的性质可求出，即可求得．【详解】由可得：，因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，即，故.故答案为：．【点睛】本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，以及等比数列的定义应用，属于基础题．25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列，则得到递推关系.则___________.【答案】256【分析】首先利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式，进一步求出结果.【详解】由有穷数列，递推关系，整理得：，整理得：，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，整理得，所以，故答案为：256.26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值．【详解】解：，数列是以10为首项，1为公差的等差数列在上单调递减，在上单调递增时，取得最小值为故答案为：四、解答题27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足：，求{an}的通项公式；（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.【答案】（1）an=；（2）an=.【分析】（1）对an+1=两边“取倒数”，得到，再利用累加法求解；（2）由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得到，然后利用累乘法求解.【详解】（1）对an+1=两边“取倒数”，得，即=2n+，∴.∴n≥2时，，将以上各式累加得，，所以，所以，当n=1也满足，所以.（2）因an≠0，由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得，∴n≥2时，，逐项累乘，得，∴，当n=1也满足，∴.28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.【答案】（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．【分析】（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式【详解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.【答案】【分析】将题中条件变形为，再利用累乘法求出数列的通项公式.【详解】由，得，所以当时，，因为，所以，又因为时，满足上式，所以30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式;（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前项和，需采用分组求和法，即可求出前项和．（1）∵，①当时，，即当时，．②由①－②得，即∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．∴（2）由（1）知∴，∴．31．（2022·全国·高三专题练习）已知