福建省南平市实验中学高二数学文上学期期末试卷含解析

福建省南平市实验中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆的极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是A．2

B．

C．

D．5参考答案：C略2.已知向量=（1，0），=（1，2），向量在方向上的投影为2．若∥，则||的大小为（）A．.2 B． C．4 D．参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】计算cos＜＞即可得出cos＜＞，根据投影公式列方程解出答案．【解答】解：cos＜＞===，∴cos＜＞=cos＜＞=，∴在方向上的投影为||cos＜＞==2，∴||=2．故选D．3.．以下说法中错误的个数是（

）个①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件.③“”是“”的充分不必要条件.A．1

B．2

C．3D．０参考答案：A4.若，则的定义域为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C5.黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2011个图案中，白色地面砖的块数是

(

)

A．8046

B．8042

C．4024

D．6033参考答案：A略6.已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则(

)．A．?p：?x∈R，sinx≥1

B．?p：?x∈R，sinx≥1C．?p：?x∈R，sinx>1

D．?p：?x∈R，sinx>1参考答案：C略7.用数学归纳法证明：“”在验证时，左端计算所得的项为（

）A．1 B． C． D．参考答案：C8.中心在原点，焦点坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（

）A．+=1

B．+=1

C．+=1 D．+=1

参考答案：C略9.命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R，，则下列命题中为真命题的是(

) A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q参考答案：B考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判断出p，q的真假，再判断出复合命题的真假即可．解答： 解：命题p：?x∈R，2x＜3x；当x=0时，不成立，是假命题，￢p是真命题；命题q：?x∈R，，画出图象，如图示：，函数y=和y=有交点，即方程有根，是真命题；故选：B．点评：本题考查了复合命题的判断问题，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题．10.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）.A.；

B.；

C.；

D..参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一条直线与一个正四棱柱（即底面为正方形，侧棱垂直底面）各个面所成的角都为,则=_________．参考答案：略12.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题：（1）曲线C不可能是圆；（2）若，则曲线C为椭圆；（3）若曲线C为双曲线，则或；（4）若曲线C表示焦点在轴上的椭圆，则其中正确的命题是_________(填上正确命题的序号)．参考答案：（3）（4）略13.观察下列不等式

……

照此规律，第五个不等式为________．参考答案：14.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．15.已知等差数列{an}中，满足S3=S10，且a1＞0，Sn是其前n项和，若Sn取得最大值，则n=．参考答案：6或7考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得a7=0，进而可得数列{an}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，易得结论．解答：解：∵等差数列{an}中，满足S3=S10，且a1＞0，∴S10﹣S3=7a7=0，∴a7=0，∴递减的等差数列{an}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴Sn取得最大值，n=6或7故答案为：6或7点评：本题考查等差数列前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．16.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为

．参考答案：0.65【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出敌机被击中的概率．【解答】解：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P（A）=0.3，P（B）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.3）（1﹣0.5）=0.65．故答案为：0.65．17.设是函数的导数，是函数的导数，若方程=0有实数解，则称点（，）为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数（）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：

．参考答案：20由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），∴g（2﹣x）+g（x）=8，故设m，则=m，两式相加得：8×5=2m，解得：m=20，故答案为：20．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．19.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且的面积为（点O为坐标原点）.（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，且的面积为，求l的斜率.参考答案：（1）∵的面积为，∴，即.又∵椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，∴，即.∴，∴∴，∴的方程为.（2）设直线的方程为，联立，可得，∴，∴∴依题意可得，整理得，则，∴20.已知，，求.参考答案：【分析】先列出矩阵的特征多项式，然后求出对应的特征向量，和，令，然后直接求即可【详解】解：（1）矩阵的特征多项式为，令，解得，，解得属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为.令，即，所以，解得，.所以.【点睛】本题考查特征多项式与特征向量的问题，属于中档题21.（1）求证：．（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．参考答案：【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】（1）两边平方证明即可；（2）①根据同角的三角函数的关系以及二倍角公式计算即可；②根据计算结果推广公式即可．【解答】（1）证明：要证明成立，只需证明，…即，即…从而只需证明即24＜30，这显然成立．这样，就证明了…（2）解：①选择（2）式，计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=1﹣=．…②三角恒等式为sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．…2