广东省阳江市2023-2024学年高一上学期期末测试数学试题（含答案解析）

机密★启用前2023-2024学年度第一学期高一期末测试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】D【解析】【分析】根据集合包含的知识以及元素的互异性可求解.【详解】由题意：，得：或两种情况，若，则，此时，不满足互异性；若，则解得或，显然，符合题意，而当时，，不满足互异性.综上所述：.故选：D.2.“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.3.已知，则下列结论正确是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】举出反例即可判断ACD，根据不等式心智即可判断B.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当因为，所以，故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选：B.4.已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】由于函数是定义在R上的减函数，所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.5.设函数，则等于（）A. B.1 C. D.10【答案】A【解析】【分析】赋值和即可得到方程组，解出即可.【详解】令得①，令得②，联立①②得，故选：A.6.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先画出分段函数的图像，然后转换变量化成对勾函数模型，再根据自变量的取值范围求出整体取值范围即可.【详解】作出分段函数的图像，如图所示，，直线与函数图像有4个交点，则关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，因为直线与函数图像有4个交点，所以，所以，根据对勾函数性质可知在上单调递减，所以，所以，故选：D7.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求得和，即可求解.【详解】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，又由对数函数在上为单调递减函数，所以，所以，即.故选：D.8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用给定的函数模型，求出，再借助取对数的方法求出时的值即可.【详解】依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，两边取对数得，因此，所以污染物减少大约需要.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列不等式的解集为R的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分别对不等式所对应的方程的判别式进行逐一判断，结合一元二次函数图象即可得出结论.【详解】对于A，易知方程的判别式，即对应的整个二次函数图象都在轴上方，所以解集为R，即A正确；对于B，易知方程的判别式，由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误；对于C，易知方程的判别式，即对应的整个二次函数图象都在轴下方，所以解集为R，即C正确；对于D，易知不等式可化为，显然该不等式恒成立，即解集为R，即D正确；故选：ACD10.已知函数，则函数具有下列性质（）A.为上的奇函数 B.在上是递减函数C.的值域为 D.的图象关于对称【答案】AC【解析】【分析】A：根据定义域以及与的关系判断即可；B：根据解析式结合奇偶性进行判断；C：根据解析式结合分式取值特点直接分析函数值域；D：根据的取值进行判断.【详解】A：定义域为关于原点对称，，所以为上的奇函数，故A正确；B：当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上单调递增，又因为为奇函数，所以在上是递增函数，故B错误；C：当时，，因为，所以，又因为为奇函数，所以当时，所以的值域为，故C正确；D：若的图象关于对称，则一定有；因为，显然的图象不关于对称，故D错误；故选：AC.11.已知函数，则（）A.是上的奇函数B.当时，的解集为C.当时，在上单调递减D.当时，值域为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，直接由奇函数的定义即可判断；对于B，直接分类讨论解绝对值不等式即可判断；对于C，举出反例，推翻C选项；对于D，通过令换元法，然后再分类讨论求出的值域即可判断.【详解】对于A，首先定义域是关于原点对称，其次，即是上的奇函数，故A正确；对于B，当时，，所以或，解得或，即当时，的解集为，故B正确；对于C，不妨取，此时，对，有，故C错误；对于D，当时，令，此时，而，当时，，从而当时，即值域为.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接由定义即可判断，对于B，注意分类讨论解决速度最快了，对于D，通过换元令，这样就不要分或进行讨论了.12.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行比较大小即可.【详解】因为，易知，而，所以，且，则A正确，B错误，C正确，，，比较与的大小关系，，，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，即，所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为，综上所述的最小值为，因为关于的不等式的解集是，所以恒成立，所以当且仅当，当时，不可能成立，当时，，解得.综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.14.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先讨论，然后时，将一元二次不等式恒成立问题进行等价转换即可得解.【详解】若，则不等式变为了恒成立，故满足题意；若，则不等式恒成立等价于，解得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.15.已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为_________．【答案】1（不唯一）【解析】【分析】分别画出函数和的图像，再根据条件求解.【详解】设，分别绘制函数的大致图像如下图：其中有最小值，，没有最小值，是它的渐近线，点在上，，，如上图，当时，不存在最小值，；故答案为：（不唯一）.16.已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】用两个零点表示所求关系式即可求解.【详解】记题设的两个零点为，则由知所以所以故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将用两个零点表示，结合零点的范围可得答案.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知关于的不等式的解集为．（1）求关于的不等式的解集；（2）求的最小值．【答案】17.或18.16【解析】【分析】（1）根据韦达定理代入即可解出不等式；（2）减少变量，将式子转化为，再利用基本不等式即可.小问1详解】由题意得是方程的两实数根，且，则有，即，，即，由，得，解得或，则不等式解集为或.【小问2详解】因为，且由（1）得，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为16.18.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由交集的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，列出不等式，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得.当时，，则.【小问2详解】因为，所以，显然，则解得，即a的取值范围是.19.已知函数是定义在上的偶函数，当时，（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函数定义直接可得解析式；（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号，再考虑到定义域即可求出的范围．【小问1详解】设，则，，由为偶函数有，故.【小问2详解】当时，因为对称轴为，则此时为单调递增函数，由偶函数可知在上为减函数，又因为，所以，故有，即，故.20.已知函数.（1）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明；（2）函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）作差变形因式分解再利用指数函数单调性判断符号即可；（2）转化为两函数的值域之间的包含关系即可.【小问1详解】函数在上单调递增，证明：任取，则，因为指数函数在上单调递增，所以，又因为，所以，即，所以在上单调递增.【小问2详解】，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，设的值域为，则，设，，设的值域为，由题意得，当时，，显然不合题意，舍去，当时，根据（1）中结论知在上单调递增，此时，，值域，则有，解得，当时，根据（1）中结论知在上单调递减，此时值域，则有，解得，综上所述，或21.为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产万件，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元．通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得和时，利润的表达式，进而得到的函数关系式；（2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质和基本不等式，分别取得利润的最大值，比较即可得到答案.【小问1详解】解：因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，当时，可得；当时，，所以.【小问2详解】当时，可得，当时，取得最大值万元；当时，万元，当且仅当时，即时，函数取得最大值，最大值为万元，因为，所以年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元.22.已知函数.（1）若，求在上的最小值；（2）若，且对于，有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.（