优教名师：第18章 平行四边形 章末复习

第18章平行四边形章末复习知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念？（2）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质？（3）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定？知识回顾问题探究课堂小结随堂检测回顾旧知，体会特殊四边形的关系本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么次序学习的？请说说这些四边形之间的关系？活动1探究一整理提升（1）本章学习的特殊的四边形有______________、________、________、__________．（2）研究次序是从平行四边形到________，从菱形到_________，从一般到________.平行四边形正方形菱形矩形矩形正方形特殊知识回顾问题探究课堂小结随堂检测整合旧知，比较研究特殊四边形内容、步骤、方法的异同1.各种平行四边形中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？活动2探究一整体提升（1）试着填写下表：图形研究内容研究步骤研究方法平行四边形矩形菱形正方形知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（2）在研究各种平行四边形时，研究内容是各种平行四边形的

、

、

的特征，研究步骤是

、

、

，研究方法有

.活动2探究一整体提升（3）你能说说平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？整合旧知，比较研究特殊四边形内容、步骤、方法的异同知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究一整体提升2．你能把各种平行四边形的性质和判定整理成易记的知识结构吗？试一试！3．本章利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理，你能仿照这一过程，再得出一些其它几何结论吗？整合旧知，比较研究特殊四边形内容、步骤、方法的异同知识回顾问题探究课堂小结随堂检测例1.菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．应用训练1探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识点：菱形的判定和性质，

全等三角形的判定和性质，

等边三角形的判定和性质，

平行线的判定和性质；数学思想：数形结合

知识回顾问题探究课堂小结随堂检测详解：证明：（1）连接AC，∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180o－∠B=120°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°，∴∠CFE=180°－∠FEC－∠ECF=180°－30°－120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF；应用训练1探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．应用训练1探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测点拨：（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．应用训练1探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，连接OP．试判断四边形BPCO的形状，并说明理由．思考：（1）四边形ABPO是什么四边形？（2）若将平行四边形ABCD改为矩形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形？应用训练2探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（3）若得到的四边形BPCO是矩形，应将平行四边形ABCD改为什么四边形？（4）能否得到正方形BPCO呢？此时四边形ABCD又是什么四边形？应用训练2探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识点：平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质；数学思想：数形结合

详解（1）平行四边形

（2）菱形（3）菱形

（4）能，正方形知识回顾问题探究课堂小结随堂检测D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，

求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）应用训练3探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测详解：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．应用训练3探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测应用训练3探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲点拨：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答知识回顾问题探究课堂小结随堂检测△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：

．②BC，CD，CF之间的数量关系为：

；（将结论直接写在横线上）应用训练4探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．应用训练4探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=，CD=BC，请求出GE的长．知识点：正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；数学思想：数形结合知识回顾问题探究课堂小结随堂检测详解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，

∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案为：垂直；应用训练4探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（2）成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；应用训练4探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，应用训练4探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲．在△ADH与△DEM中，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG=知识回顾问题探究课堂小结随堂检测应用训练4探究二提升应用，灵活运用特殊四边形的性质和判定重点、难点知识★▲．知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重难点突破知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）要多从图形的变化的角度去认识平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性．（2）矩形、菱形的性质是求角度、线段的长度和验证两角是否相等、两直线位置关系的常用知识．而菱形的对角线互相垂直平分，又联想到直角三角形