广东省东莞市第四高级中学2023-2024学年高一上学期10月期中数学试题【含答案】

东莞市第四高级中学2023-2024学年第一学期期中段考试题高一数学一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1.集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过解一元一次不等式，结合表示整数集合进行求解即可.【详解】由，可得，又，所以集合.故选：C2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定，可得答案.【详解】命题“”的否定是“”，故选：A.3.在下列图像中，表示函数图像的可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念进行判断.【详解】根据函数的定义可知，任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点，只有D正确．故选：D．4.若，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，且，得到，，然后利用不等式的基本性质判断.【详解】因为，且，所以，．因为，，所以，所以B不成立；因为，，所以一定成立，故C正确；当时，A、D不成立．故选：C【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.5.“”是“”（）A.充分而不必要条件 B.充要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质、特例法，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】因为，所以，即由，当时，显然成立，但是不成立，因此“”是“”的必要而不充分条件，故选：C6.设，，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作差法比较大小即可.【详解】，，故选：A7.若不计空气阻力，则以初速度竖直上抛物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中.现有一名同学以初速度竖直向上抛一个排球，则该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将初始值代入解析式，转化为解不等式，即可求解.【详解】由条件可知，，，则，即，解得：，即，所以停留的时间约为.故选：A8.函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】去绝对值化为，由点，是其图象上两点，，利用函数单调性，可得，即可求出结论；或根据函数单调性结合已知条件，得出时，，再将原不等式等价转化，即可求解.【详解】解法一：因为是上的增函数，，是其图象上的两点，所以函数的草图如图所示.由图象得，，即.解法二：因为是上的增函数，，是其图象上的两点，所以当时，.又已知，即，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查利用函数的单调性结合函数草图解不等式，属于基础题.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分；每小题至少有两个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有一个错误选项得0分）9.给出下列四个对应，其中构成函数的是A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】本题可通过每一个自变量是否有唯一的数字与之对应来判断是否可以构成函数.【详解】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A正确；B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B错误；C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C错误；D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D正确，故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，是中档题.10.下列各组函数是同一函数的是（）A与 B.与C.与 D.与【答案】AD【解析】【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故与是同一函数，A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为，故二者不是同一函数，C错误；对于D，，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确，故选：AD11.已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则A.B.C.，D.，不等式的解集为【答案】AC【解析】【分析】由，可判断A；由，可判断B；由图可得时，；时，，可判断C；由，结合图象可判断D.【详解】A.因为，，所以，正确；B.，，所以，错误；C.由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；D.由C得，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D错误.故选：AC【点睛】本题考查数形结合法求函数的解析式、求函数值、求参数，关键是由图象判断出函数的类型并求出解析式，本题考查分析问题、解决问题能力，运算求解能力.12.关于x的不等式的解集可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再对a进行分类讨论，最后得到不等式的可能解集.【详解】因为，所以，当a＞0时，，不等式解集为；当a＝0时，，不等式解集为；当a＜0时，，若，解集为；若，解集为R；若，解集为．故选：BCD三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.不等式的解集为____________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解方法，即可解不等式.【详解】解：不等式，可化为，即，解得，故答案为：.14.若，则的最小值是___________.【答案】8.【解析】【分析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可.【详解】解：因为，所以，，所以当且仅当即时，取等号，所以的最小值是8.故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.15.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】解：不等式对一切实数都成立，当时，不等式为，显然成立；当时，要使得对一切实数都成立，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.16.某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．【答案】1440【解析】【分析】设长为,则,求出,再结合各个区域的造价求得,利用基本不等式可得最值.【详解】设长为,则,

即,

所以.

当且仅当,即时,等号成立,

所以当时,取最小值为1440.故答案为：1440.四、解答题（共6小题，第17题10分，其他题每题12分，合计70分）17.已知全集，集合，.（1）求，；（2）求，并写出它的所有真子集.【答案】（1），（2），对应真子集有，【解析】【分析】（1）化简集合，由交集和并集定义可求，；（2）化简集合，由交集和补集定义求出，一一列举出真子集即可.【小问1详解】化简得，，所以，；【小问2详解】由题知，，则，则集合对应真子集有，18.设集合，（1）若时，求，（2）若，求的取值范围.【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果；（2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果.【小问1详解】∵，，∴当时，则，所以，或，又，所以或.【小问2详解】∵， ∴，∴当时，则有，即，满足题意；当时，则有，即，可得，解得：.综上所述，的范围为或.19.给定函数.（1）在同一直角坐标系中画出函数的图像；（2）表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.【答案】（1）图象见解析（2），【解析】【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可；（2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值.【小问1详解】对于，过作一条直线即可得到的图象，对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，【小问2详解】由，得或，结合图象，可得的解析式为，结合图象可知，当时，.20.已知函数，．（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；（2）结合单调性构造关于m的不等式求解．【小问1详解】证明：，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增；【小问2详解】由（1）知：在上单调递增，所以，可得，解得故实数m的范围是．21.已知不等式的解集为或．（1）求的值；（2）解不等式．【答案】（1），；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据由不等式的解集为或，根据三个二次之间的对应关系，易得的值；（2）原不等式可化为，分类讨论即可求出答案．【小问1详解】因为不等式的解集为或所以的根为.时，；所以，即，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，，即，即，当时，不等式的解集为，当时，，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.综上，时，不等式的解集为，时，，不等式的解集为，时，不等式的解集为.22.已知是一元二次函数，满足且（1）求函数的解析式．（2）函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，