第四章实数（知识归纳题型突破）学年八年级数学上学期单元完整版讲速记巧练（苏科版）

第四章实数（知识归纳+题型突破）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解算术平方根的非负性。了解无理数、实数的意义，掌握实数的分类以及实数与数轴的一一对应关系。一、二次根式1、平方根：如果，那么x叫做a的平方根．表示方式：正数a的两个平方根记作．2、算术平方根：正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫作a的算术平方根．3、立方根：一般地，如果，那么x叫做a的立方根．表示方式：数a的立方根记作．4、最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．5、同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫作同类二次根式．二、算术平方根的非负性1、算术平方根的非负性：2、常用公式：、、三、实数1、无理数：无限不循环小数．2、无理数常见形式：①与π有关的式子，②无限不循环小数，③开方开不尽的数．3、实数与数轴上的点一一对应．题型一求一个数的平方根（算术平方根）【例1】的平方根是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方根的定义，即可求解．【详解】解：．故选：B．【例2】的算术平方根为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】先求出，再根据算术平方根的定义求解.【详解】解：，4的算术平方根为2；故选：C.【例3】如果，那么的算术平方根为（

）A．7 B． C．1 D．【答案】B【分析】先根据非负数的性质求出x、y，再根据算术平方根的定义求解.【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴7的算术平方根是；故选：B.巩固训练1．9的平方根是（

）A．3 B．81 C． D．【答案】C【分析】根据称x是a的平方根，且计算即可．【详解】∵，∴，故选C．2．化简的结果是（

）A． B．4 C． D．2【答案】D【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．【详解】解：因为，所以，故选：D．3．8的平方根是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根据平方根的定义解答即可．【详解】解：8的平方根是．故选：D．4．若实数，满足，则的值为（

）A． B．8 C．2 D．【答案】D【分析】根据非负数的性质求出x、y，进而求解.【详解】解：∵，，∴，解得：，∴；故选：D.题型二已知（算术）平方根求这个数【例4】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数．【答案】25【分析】由题意得：，解得，，则，进而可求．【详解】解：由题意得：，解得，，∴，∴，∴这个正数是25．【例5】已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值．【答案】7【分析】根据平方根与算术平方根的定义列出等式，然后两式相减即可．【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是4，∴，，得：．【例6】已知的平方根是，2是的立方根．(1)求a，b的值．(2)求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题；（2）根据立方根的定义解决此题．【详解】（1）解：由题意得：，解得：．（2）解：由（1）可得，．巩固训练5．已知的算术平方根是3，，求的算术平方根．【答案】的算术平方根是3．【分析】根据算术平方根和平方根的定义得到关于m、n的方程，解得m和n的值，然后再求得代数式的值，再求其算术平方根可得答案．【详解】解：∵的算术平方根是3，∴，解得：，∵，∴，解得：，∴，∴的算术平方根是3．6．已知正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可；（2）将，的值代入中计算后求其平方根即可．【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和，，解得：，则，那么，的算术平方根是4，，解得：；（2）解：，那么其平方根为．题型三算术平方根的非负性【例7】若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是．【答案】64【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，解方程求出a即可解答．【详解】解：根据题意可得：，解得：，∴这个正数是；故答案为：64．【例8】实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是．【答案】2【分析】根据数轴可得，再利用算术平方根的性质和绝对值的化简法则，即可解答．【详解】解：根据数轴，得，∴，，∴原式，故答案为：2．巩固训练7．若与互为相反数，则．【答案】1【分析】由相反数的定义可得，则，，再求解x，y的值，再代入计算即可.【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，，解得：，，∴，故答案为：18．已知：，那么的值为．【答案】【分析】根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，解得：，，，故答案为：．题型四立方根【例9】若一个数的立方根等于，则这个数等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据立方根的定义求解即可．【详解】由题意可设这个数为，∴，故选：．【例10】已知x没有平方根，且，则x的立方根为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平方根的性质求得的值，然后根据立方根的定义求得其立方根即可．【详解】解：∵x没有平方根，且，∴，则的立方根为，故选：D．巩固训练9．的立方根是．【答案】【分析】利用立方根的定义即可得出结论．【详解】解：的立方根是．故答案为：．10．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是．【答案】4【分析】先根据一个数的两个平方根互为相反数得到的值，计算出这个正数，求得立方根即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是和，∴，解得：，则这个正数是，即，故答案为：4．题型五利用平方根解方程【例11】计算求下列各式中的x(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【详解】（1）解：（2）解：【例12】求下列各式中的x值(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用立方根的定义求解即可；（2）将方程变形后，利用平方根的定义求解即可．【详解】（1）解：开立方得：，解得：；（2）解：方程整理得：，开方得：或，解得：或．【例13】求解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把原方程变形为，再根据平方根的性质解答，即可求解；（2）先把原方程变形为，再根据立方根的性质解答，即可求解．【详解】（1）解：，∴，∴，解得：；（2）解：∴，∴，∴．巩固训练11．解方程(1)(2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；（2）利用立方根的定义解方程即可．【详解】（1）解：或；（2）解：．12．求下列未知数x的值(1)(2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）将等式适当变形，利用平方根的意义解答即可；（2）将等式适当变形，利用立方根的意义解答即可．【详解】（1）解：，，或，∴或；（2）解：，，，∴．13．求满足下列各式的未知数(1)(2)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用立方根的意义直接开方即可求解．（2）利用平方根的意义直接开方即可求解．【详解】（1）解：原方程变形为：，开方得：．（2）开方得：，解得：，．题型六无理数【例14】下列实数中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义逐一分析判断即可．【详解】解：实数中，无理数有，，故选B【例15】下列5个数：、、、、中，无理数出现的频数是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】根据无理数是无限不循环小数找出5个数中的无理数，进而可求解．【详解】解：∵，，∴所给5个数中，、是无理数，有2个，∴无理数出现的频数是2，故选：A．【例16】下列四个实数中，属于无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可．【详解】解：A、是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；B、是有理数，故本选项不符合题意；C、是有理数，故本选项不符合题意；D、是无理数，故本选项符合题意；故选：D．巩固训练14．在实数，，，中，无理数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据无理数的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A．是负整数，是有理数，不合题意；B．是正整数，是有理数，不合题意；C．是开方开不尽的数，是无理数，符合题意；D．是有限小数，是有理数，不合题意．故选：C15．在下列实数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．【详解】解：A．是分数，属于有理数；B．是循环小数，属于有理数；C．开不尽方，是无理数；D．，是分数，属于有理数；故选：C．16．在实数3，，，，，0，，，3.14，，，（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有个．【答案】5【分析】无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．【详解】解：∵，，∴在这些实数中，无理数有，，，，0.0102030405…，共计5个．故答案为：5．题型七实数与数轴【例17】如图，数轴上的无理数被挡住了，则的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据a的位置可判断a的相反数的位置，然后根据无理数的估算可得答案．【详解】解：∵，∴．∵，，∴的相反数是．故选B．【例18】如图，一条长度为的线段绕着O点旋转一周，当与数轴重合时，A点表示的数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出点A到原点的距离，确认A的符号，就是点表示的数．【详解】解：∵O点为，点A在原点的右侧，∴当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是，∴点A表示的数是．故选：D．巩固训练17．如图，实数在数轴上表示的大致位置是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【分析】先求出在数轴上的位置，再求出在数轴上的位置，即可得出正确选项．【详解】解：∵，∴，即，∴，故在和之间，故选C．18．如图，数轴上表示实数的点可能是（

）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】A【分析】先估算出的值，确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可判断．【详解】解：∵，∴，∴，∴数轴上表示实数的点可能是：点M，故选：A．19．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，最有可能被墨迹（如图所示）盖住的无理数是．【答案】【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【详解】解：∵，，，，∴，，，，∴最有可能被墨迹覆盖住的无理数是．20．如图，在中，，，点，在数轴上对应的数分别为，．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则与点对应的数是．【答案】【分析】直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【详解】解：∵在中，，，∴，∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，∴，∴点表示的数是．故答案为：．21．如图所示的数轴上，点是线段的中点，和两点对应的实数是和，则线段的长为．【答案】【分析】证明，求解，可得．【详解】解：∵点是线段的中点，∴，∵，和两点对应的实数是和，∴，∴；故答案为：题型八实数大小比较【例19】下列四个实数1，，，中，最小的实数是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】∵，，，且，∴，则最小的实数为：，故选：D．【例20】、、、这四个数中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据实数的大小比较法则的内容比较数的大小，再得出答案即可．【详解】解：∵，∴最大的是，故选A．巩固训练22．在这4个数中，最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两个负数的绝对值大的反而小，即可求解．【详解】解：两个负数绝对值大的反而小，故最小的是；故选：C23．比较大小：6．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】平方法，比较实数大小即可．【详解】解：∵，∴；故答案为：．24．比较大小：．（填“>”或“<”号）【答案】【分析】先估算，再进行比较即可．【详解】∵，∴，∴，∴，故答案为：．25．比较大小：5（填“”，“”或“”）【答案】【分析】先把5化成，再与比较大小，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故答案为：．题型九无理数的估算【例21】估算的值（

）A．在与之间 B．在与之间C．在与之间 D．在与之间【答案】B【分析】根据无理数大小的估算方法进行解答即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．【例22】估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】A【分析】由，再利用不等式的性质求出的范围即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，故选：A【例23】与是两个连续整数，若，则，分别是（

）A．6，8 B．3，2 C．2，3 D．3，4【答案】D【分析】先判断11在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间．【详解】解：∵，∴，∴，．故选：D．【例24】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)的整数部分是，小数部分是(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．【答案】(1)3，(2)4【分析】（1）先估算出的取值范围，进而可得出结论；（2）先求出，的值，再代入代数式进行计算即可．【详解】（1）解：，，的整数部分是3，小数部分是．故答案为：3，；（2），，；，，，．巩固训练26．下列整数中，与最接近的是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】夹逼法得到的范围，进而得到的范围，进行判断即可．【详解】解：∵，且离9更近一些，∴，且离3更近一些，∴，且离3更近一些，故选B．27．不等式的正整数解的个数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】先解不等式，得，再根据，得，从而得出不等式的正整数解是3，2，1，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴不等式的正整数解是3，2，1，共3个，故选：C．28．阅读下面的文字，解答后面的问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．(1)的整数部分是______，小数部分是______；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．【答案】(1)4；(2)1【分析】（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分；（2）分别估算的大小，进而求得a，b的值，代入代数式进行计算即可求解．【详解】（1）∵，∴，∴的整数部分是4，小数部分是．故答案为：4，；（2）∵，∴，∴的整数部分是2，小数部分，∵，∴，∴的整数部分．∴．题型十近似数【例25】下列说法正确的是（

） D．3000有一个有效数字【答案】C【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．再结合近似数的精确度求解即可．【详解】解：0.720有3个有效数字，故A不符合题意；3.61万精确到百位，故B不符合题意；5.078精确到千分位，描述正确，故C符合题意；3000有4个有效数字，故D不符合题意；故选C【例26】下列说法中，正确的是（

）A．近似数精确到十分位B．按科学记数法表示的数，其原数是C．将数保留个有效数字是D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位【答案】C【分析】根据近似数的精确度及科学记数法求解即可．【详解】解：A、近似数精确到百分位，故该选项错误；B、按科学记数法表示的数，其原数是，故该选项错误；C、将数保留个有效数字是，正确；D、用四舍五入得到的近似数精确到万分位，故该选项错误．故选C．【例27】四舍五入法中的“新定义”阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的