必修一第四章第2节2对数的运算学历案教师版

第四章对数运算与对数函数§2对数的运算【学习主题】对数的运算新授课【课时安排】1个课时【学习目标】1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.【学习重难点】1.理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)【学情分析】1.学生有对数概念的基础，对数运算是一种全新的运算，学生在对数运算中容易想当然，从而错误的运用对数运算。2.学生学习了指数和指数函数，指数和对数联系起来学习能对知识的理解更加清晰，更方便探寻到本质。【学法建议】1.注重运算性质的推导过程，真正理解这些运算性质的来龙去脉，不要死记硬背；2.注重练习题的计算过程，若出现错误，耐心分析错因，提高运算的准确性。【学习过程】一一、课前预习，发现问题（一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第100103页，思考并回答下列问题（写出答案）（2）记录预习发现的问题。问题1：推导公式loga(MN)＝logaM＋logaN.问题2：推导公式logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.问题3：推导公式logaMn＝nlogaM(n∈R).问题4：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？举例说明。问题5：对数运算的性质有什么特点？显示出什么优势？问题6：观察问题1、2、3的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？问题7：推导公式logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b>0，a，b≠1，N>0).预习自测1.基础知识自测（一）对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．（二）换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有l则有logab＝eq\f(logcb,logca).2.迁移与拓展=1\*ROMANI.性质(1)可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即

logaN1N2⋯=2\*ROMANII.几个常用结论（尝试证明）（一）思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)1．log2x2＝2log2x.(×)2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(×)3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．(×)4．logx2＝eq\f(1,log2x).(√)（二）小试牛刀1．计算log84＋log82等于()A．log86B．8C．6D．1D[log84＋log82＝log88＝1.]2．计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2C[log510－log52＝log55＝1.]log23·log32＝________.1[log23·log32＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝1.]（四）完成课本第101、104页练习，并把学历案上的学习任务完成同时标记疑问题二、二、课中学习，合作探究【学习任务1】对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2).【课堂评价1】求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.【课堂活动与展示】小组代表展示结果【反思总结】1.利用对数性质求值的解题关键是什么？2.对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．【学习任务2】对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(1＋1＋1)log52＝eq\f(13,3)·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).分组讨论：（变结论）在本例（2）的条件下，求log915（(用a，b表示[解]∵log189＝a，∴log183＝eq\f(a,2).又log185＝b，∴log915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183＋log185,log189)＝eq\f(\f(a,2)＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a).【课堂评价2】求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).【课堂活动与展示】学生板书过程【反思总结】换底公式常用于解决什么样的问题？1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．熟记常用的公式如：logab·logba＝1，loganbm＝eq\f(m,n)logab，logab＝eq\f(1,logba)等．【学习任务3】对数运算性质的综合应用思考探究：1．若2a＝3b，则eq\f(a,b)等于多少？提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴eq\f(a,b)＝log23.【例3】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值[思路点拨]eq\x(3a＝5b＝c)eq\o(→,\s\up15(指对互化))eq\x(求\f(1,a)，\f(1,b))eq\o(→,\s\up30(\f(1,a)＋\f(1,b)＝2))eq\x(求c的值)[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15).【课堂评价3】1.把本例条件变为“3a=5b[解]∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log153＋log155＝log1515＝1.2.若本例条件改为“若a,b是正数。且3a=5b=c”[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝eq\f(3lgc,lg3)－eq\f(5lgc,lg5)＝eq\f(lgc3lg5－5lg3,lg3lg5)＝eq\f(lgclg125－lg243,lg3lg5)<0，【课堂活动与展示】小组讨论，小组代表展示过程【反思总结】应用换底公式应注意哪些方面？应用换底公式应注意的两个方面1化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.【学习任务4】解对数方程解下列方程:(1)lgx2−lg(x+2)=0;(2)lgx−lg3=2lg5−lg(x−10).【课堂评价