第七节极限存在准则及两个重要极限创新班

极限存在准则

两个重要极限第七节极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则本节先介绍两个极限是否存在的判定准则,并利用它们来推导出两个重要极限.1.夹逼准则证上两式同时成立,上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.注在构造{yn},

{zn}或g(x),h(x)的时候可以采取将{xn}或f(x),适当地缩小,适当地扩大,适当的标准为{yn},

{zn}或g(x),h(x)的极限容易求出,且{yn},

{zn}或g(x),h(x)的极限相等.{xn}{yn}{zn}适当缩小适当扩大h(x)g(x)适当缩小适当扩大f(x)例1解由夹逼定理得练一练解从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现函数极限与数列极限关系的一个定理.(自学)证必要性根据假设定理证毕注

此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使例

证明不存在.证

取两个趋于0的数列及有由定理知不存在.2.单调有界准则单调不减单调不增单调数列几何解释:若{xn}单调不减,{xn}有两种可能,即移向无穷远或无限接近某一定点A,因{xn}有上界M,

则{xn}的极限存在且不超过M.准则的含义:单调不减且有上界的数列必有极限;单调不增且有下界的数列必有极限.利用极限存在准则II可以证明一些极限的存在性,并求极限.例2证例3解(舍去)于是解得练一练(1)二、两个重要极限注1于是类似可得综上所述注2的形式特点:i)极限呈；ii)中(1)和(2)的表达式必须相同.当(1)和(2)的表达式不相同时,必须作恒等变换凑(2)与(1)相同.注3的变形形式:区别缺一不可例3一般地练一练解解解练一练在下列等式中,错误的是()(3)(2)考虑x取正整数n且趋于∞时的情形下先证存在.类似地,因为且多了最后一项,从而{an}单增.对任意的n有这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值用e=2.7182818284……)来表示,即于是等价形式注1的形式特点:i)极限呈；ii)中(1)和(2)的表达式连同符号是互为倒数.当(1)和(2)的表达式不互为倒数时,必须作恒等变换凑(2)与(1)互为倒数.缺一不可例4解解例5练一练解法一解法二原式原式型非常适用的结论:为使计算简化,我们给出(不证明)上面公式的一个对“1∞”练一练解原式解例6例7

求解

原式=练一练解练一练解例7连续复利问题设有一笔初始本金A0存入银行,年利率为r,则一年末结算时,其本利和为如果一年分两期计息,每期利率为为后一期的本金,则一年末本利和为且前一期的本利和作如果一年分n期计息,每期利率为后一期的本金,则一年末利和为且前一期的本利和作为令,则表示利息随时计入本金.这样t年末的本利和为于是到t年末共结算nt期(每期利率为),其本利和为(1)已知现值A,求终值At,有复利公式(2)已知终值At,求现值A0,有贴现公式(这是利率称为贴现率)则有如下结论:一般地,设A0为初始本金(称为现在值或现值),年利率为r,按连续复利计算,t年末的本利和记为A,(称为未来值或终值),这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利;当一年内计息期