高等数学选讲模拟试题

高等数学选讲

福建师范大学数学与计算机科学学院编

2010年1月

目录

专题1求极限的方法与技巧

专题2一元分段函数的极限、连续、导数与积分

专题3介值定理与微分中值定理的应用

专题4一元函数微分法

专题5导数的应用

专题6方程根的证明

专题7不等式的证明

专题8不定积分

专题9积分上限函数

专题10定积分

专题11定积分的应用

专题12向量代数

专题13平面与直线

专题14曲面与空间曲线

专题15二元函数的极限与连续

专题16多元函数微分法

专题17偏导数的应用

专题18二重积分

专题19三重积分

专题20曲线积分

专题21曲面积分

专题22常数项级数

专题23塞级数

专题24傅里叶级数

专题25一阶微分方程的求解

专题26高阶微分方程的求解

专题27差分方程的求解

附录考研数学考试大纲和考研数学重点内容

2

附录1考研数学重点内容

一、高等数学部分：两个重要极限，未定式的极限，主要的等价无穷小，极限

存在性的问题和间断点的判断以及它的分类，一元函数连续性、可导性、可微性

的关系，各种函数求导数的方法，特别注意一元函数的应用问题，中值定理（构

造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明），零点问题，以及极值和凹凸性；

多元函数连续性、偏导性和可微性以及一阶连续可偏导的关系，各种函数求偏导

的方法，多元函数微分学的应用（条件极值，最值问题）；不定积分和定积分的

基本计算类型，用定积分性质去解决问题（包括定积分的奇偶性、周期性、单调

性以及在特定区间上三角函数定积分的性质），定积分的应用（面积问题、体积

问题及跟微分方程相结合的问题）；一阶线性微分方程和二阶常系数齐次/非齐次

线性微分方程；常数项级数性质问题，尤其是如何判断级数的敛散性，塞级数的

收敛区间、收敛半径、和函数以及塞级数的展开问题。对于数学一的考生，还包

括格林公式和高斯公式以及曲线积分与路径无关的条件。

二、线性代数部分：矩阵的逆阵和矩阵的秩的问题，向量组的线性相关性与向

量的线性表示，方程组的解的讨论、待定参数的解的讨论问题，特征值、特征

向量的性质以及矩阵的对角化，正定二次型的判断。

三、概率统计部分（数学二不考）：概率的性质与概率的公式（加法公式、减法

公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及Bayes公式），一维随机变量

函数的分布（特别是连续型变量），多维随机变量的联合分布和边缘分布及其随

机变量的独立性，随机变量的数字特征，参数估计（特别是参数估计的点估计法

包含矩估计法和极大似然估计）。

附录2考研数学考试大纲

I、全国硕士研究生入学统一考试《数学一》考试大纲

一、考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计

二、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

三、答题方式

3

答题方式为闭卷、笔试.

四、试卷内容结构

高等教学56%

线性代数22%

概率论与数理统计22%

五、试卷题型结构

单选题8小题，每题4分，共32分

填空题6小题，每题4分，共24分

解答题（包括证明题）9小题，共94分

六、高等数学的考试内容和考试要求

（一）、函数、极限、连续

考试内容：

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段

函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概

念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：

单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

x1x）

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求：

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限叮右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间

的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最

大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.

（二）、一元函数微分学

考试内容：

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平

面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、

隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值

定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、

拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆

与曲率半径

考试要求：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的

4

切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性

与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解

微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解

并会用柯西（Cauchy）中值定理.

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最

大值和最小值的求法及其应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间5,6）内，设函数/（尤）具有二阶导数。当

/"（x）＞0时，/（x）的图形是凹的；当/〃（x）＜0时，/（x）的图形是凸的），会求函数图形

的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.

9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

（三）、一元函数积分学

考试内容：

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性

质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函

数的积分反常（广义）积分定积分的应用

考试要求：

1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.

2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元

积分法与分部积分法.

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿―莱布尼茨公式.

5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

6.掌握用定积分表达和计算一些儿何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋

转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）

及函数的平均值.

（四）、向量代数和空间解析几何

考试内容：

向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行

的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲

面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直

线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常

用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投

影曲线方程

考试要求：

1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条

5

件.

3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算

的方法.

4.掌握平面方程和直线方程及其求法.

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关

系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.

6.会求点到直线以及点到平面的距离.

7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.

8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.

9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影

曲线的方程.

（五）、多元函数微分学

考试内容：

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元

连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复

合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面

的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最

大值、最小值及其简单应用

考试要求：

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分

条件，了解全微分形式的不变性.

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.

5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函

数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单

多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

（六）、多元函数积分学

考试内容：

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类

曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分

的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式

斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求：

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、

球面坐标）.

3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.

4.掌握计算两类曲线积分的方法.

5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.

6

6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法,

掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.

7.了解散度与旋度的概念，并会计算.

8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲

面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.

（七）、无穷级数

考试内容：

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条

件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理

任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幕级数及其收

敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幕级数的和函数幕级数在其收敛区间内的基本

性质简单幕级数的和函数的求法初等函数的幕级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系

数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在［-/,/］上的傅里叶级数函数在

［0,/］上的正弦级数和余弦级数

考试要求：

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必

要条件.

2.掌握儿何级数与p级数的收敛与发散的条件.

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

7.理解幕级数收敛半径的概念、并掌握幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

8.了解某级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求

一些累级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

10.掌握"，sinx,cosx,ln（l+x）及（1+x）"的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用

它们将一些简单函数间接展开成基级数.

11.了解傅里叶级数的概念利狄利克雷收敛定理，会将定义在［T,/］上的函数展开为傅里叶

级数，会将定义在［0,1］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数

的表达式.

（八）、常微分方程

考试内容：

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯

努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶

的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程

高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉

（Euler）方程微分方程的简单应用

考试要求：

7

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.

3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.

4.会用降阶法解下列形式的微分方程：y（"）=/（x）,y"=/（x,y'^ny"=/（y,y'）.

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分

方程.

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数

非齐次线性微分方程.

8.会解欧拉方程.

9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

II、全国硕士研究生入学统一考试《数学二》考试大纲

一、考试科目：高等数学、线性代数

二、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

三、答题方式

答题方式为闭卷、笔试.

四、试卷内容结构

高等教学78%

线性代数22%

五、试卷题型结构

单项选择题8小题，每小题4分，共32分

填空题6小题，每小题4分，共24分

解答题（包括证明题）9小题，共94分

六、高等数学的考试内容和考试要求

（一）、函数、极限、连续

考试内容：

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段

函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函

数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关

系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界

准则和夹逼准则两个重要极限：

sinx,

hm------=1lim|1+—

XT°Xx-><x>X

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求：

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

8

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限

之间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最

大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.

（二）、一元函数微分学

考试内容：

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平

面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、

隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中

值定理洛必达（L'Hospital）旗IJ函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、

拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆

与曲率半径

考试要求：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的儿何意义，会求平面曲线

的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导

性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解

微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数

和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，

了解并会用柯西（Cauchy）中值定理.

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最

大值和最小值的求法及其应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的

图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，

会描绘函数的图形.

9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

（三）、一元函数积分学

考试内容：

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性

质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函

数的积分反常（广义）积分定积分的应用

考试要求：

1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.

2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元

积分法与分部积分法.

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

9

4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿―莱布尼茨公式.

5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋

转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）

及函数平均值.

（四）、多元函数微积分学

考试内容：

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二

元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏

导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算

考试要求：

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微

分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函

数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单

多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.

（五）、常微分方程

考试内容：

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可

降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分

方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

微分方程的简单应用

考试要求：

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程.

3.会用降阶法解下列形式的微分方程：和.

4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分

方程.

6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数

非齐次线性微分方程.

7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

III、全国硕士研究生入学统一考试《数学三》考试大纲

一、考试科目：微积分.线性代数.概率论与数理统计

二、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

三、答题方式

答题方式为闭卷、笔试.

四、试卷内容结构

微积分56%

10

线性代数22%

概率论与数理统计22%

五、试卷题型结构

单项选择题8小题，每题4分，共32分

填空题6小题，每题4分，共24分

解答题（包括证明题）9小题，共94分

六、微积分的考试内容和考试要求

（一）、函数、极限、连续

考试内容：

函数的概念及表示法函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性复合函数.反函数.分段函

数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极

限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小

量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准

则两个重要极限：

sinx,..（.1Y

rhm-------=1lim1+—=e

Xf。X281X）

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求：

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念.

6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要

极限求极限的方法.

7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与

无穷小量的关系.

8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最

大值和最小值定理.介值定理），并会应用这些性质.

（二）、一元函数微分学

考试内容：

导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平

面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数.反函数和

隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达

•'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性.拐点及渐近

线函数图形的描绘函数的最大值与最小值

考试要求：

1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边

际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.

2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段

函数的导数会求反函数与隐函数的导数.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

II

4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

5.理解罗尔（Rolle）定理.拉格朗日（Lagrange）中值定理.了解泰勒定理.柯西（Cauchy）

中值定理，掌握这四个定理的简单应用.

6.会用洛必达法则求极限.

7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的

求法及其应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间优力）内，设函数/（X）具有二阶导数.当

/"（x）＞0时，/a）的图形是凹的；当/"（x）＜0时，/（x）的图形是凸的），会求函数图形

的拐点和渐近线.

9.会描述简单函数的图形.

（三）、一元函数积分学

考试内容：

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本

性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿―莱布尼茨（Newton-Leibniz）

公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用

考试要求：

1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积

分的换元积分法和分部积分法.

2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的

导数，掌握牛顿―莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.

3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解

简单的经济应用问题.

4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

（四）、多元函数微积分学

考试内容：

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连

续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二

阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值.最大值和最小值二重积分的概念.基本性

质和计算无界区域上简单的反常二重积分

考试要求：

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,

会求多元隐函数的偏导数.

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函

数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单

多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标.极坐标）.了解

无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.

（五）、无穷级数

考试内容：

常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件

12

儿何级数与P级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件

收敛交错级数与莱布尼茨定理塞级数及其收敛半径.收敛区间（指开区间）和收敛域塞

级数的和函数基级数在其收敛区间内的基本性质简单基级数的和函数的求法初等函

数的'暴级数展开式

考试要求：

1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.

2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条

件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.

3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数

的莱布尼茨判别法.

4.会求幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.

5.了解基级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求

简单累级数在其收敛区间内的和函数.

6.了解e*.sinx.cosx.ln（l+x）及（l+x）”的麦克劳林（Maclaurin）展开式.

（六）、常微分方程与差分方程

考试内容：

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线

性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性

微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程

微分方程的简单应用

考试要求：

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.

3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.

4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函

数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.

5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.

6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.

7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.

13

专题1求极限的方法与技巧

一、模拟试题

A级

1.1单项选择题

(1)若函数/(x)在点/处的极限存在，则()

(A)/(x)在/点的函数值必存在且等于极限lim/(x)；

(B)/(x)在/点的函数值必存在但不一定等于极限lim/(x)；

XTX,

(C)/(x)在点的函数值不一定存在；

(D)如果/(x)在/点的函数值存在，则必等于lim/(x).

XT，%

(2)若lim/Q)=0,则()

A->0

(A)当g(x)有界时,必有lim/(x)g(尤)=0；

XTO

(B)当g(x)为任意函数时，都有lim/(x)g(x)=0；

.r->0

(0只有当g(x)在x=0点的极限存在时,才有lim/(x)g(x)=0；

x-»0

(D)只有当g(x)为常数时，才有lim/(x)g(x)=0.

x->0

(3)若极限lim/(x)存在，则下列极限中一定存在的是()

(A)lim|/(x)|；(B)limIn/(x)；(C)lim----；(D)limarccos/(x)

x-^a'1x->a于(/)x->a

Y

(4)极限lim)-------()

2°VI-cos2x

⑻5；

(C)0；(D)不存在

1.2填空题

(1)lim+l(Ji+1-6)=____________；(2)(m(1+，)---1

“T8\/X—>03x

…、..sin(2x2)

(3)hm--——-=___________；

3x

14

(4)设函数/(x)=aXa>O,aWl),贝।口咽\ln[/(l)/(2)••…/(〃)]=

1.3求下列极限

(1)⑶也^

・3%—3

(4)lim-------------(5)lim1+3+…⑵1)一”

XT8(2X-12x+l,“T8〃+3

(6)lim-v2f-------\(7)lim2

；(8)lim(l-cosx)cot2x；

刀-8Ix+1x-1)xsinxx->0

zxx+1

(9)limVl-2x；(10)limw0；(11)lim(-v^—+——+•••+—^——);

XT°x^\x-a)〃-8〃~+乃〃~+21n+〃)

(12)lim—；(13)lim(x2-l)sin——；(14)lim-^——"

〃f00n\—'7x-II006x-1

(15)limG•我...其中Q〉O

"Too

1.4用洛必达法则求下列极限.

1

/、「e'-l/、1.Intan7x,、「(3-exYinx

(I)lim---------;(2)lim-------;(3)lim-----;

x-*°xex-\-exIntan2xxfo12+x,

-Lx

(4)lim(cosx+xsinx)v2;(5)lim--------;(6)lim(^-x)tan-;

x

.so1°Ixe-\)XT乃2

]

(7)limx,+lnr;(8)lim(secx)C0SX

XTO+--

2

B级

l.5求下列极限

;(2)lim——=3;(3)lim(l-x)tan—

1+

F1—82+加XT2

1.6设0<a«l,X]=，4,x〃+]=!4+,%：(〃=1,2,・・・)，求丘1111〃

222“T8

1.7求下列极限

2・1

xsin—

ex-1-/八」Inx

(1)lim------;(2)lim--------;(3)limn2"-1(4)lim---

sin2xXf°COS3x-1"T0°、ix-1

15

J.2i

..Incosax小].e〃+e〃+~+e〃小「「.】L3、.,(.1

(/5r)Xhm--------;(6)lim----------------；(7)IimxsinIn1+--sinIn1+—

5IncosOx〃T0°n|_xj\x

(Iiyi,

(8)lim1+—+—;(9)lim(l4-xVv),-cosr;(10)lim(cosx)x2

«-><»I〃JX->O\'.t->0

=3,求丽约

1.8已知lim

XTO1。x2

1.9用导数定义求极限

⑴期/IX+-|-/，其中x,a与f无关，且a/0,而/(x)是可导函数.

a

(2)设正值函数/(x)在x=。处可导,求lim

?J-»QO于(a)

1.10用洛必达法则求下列极限

a：+,••+«,"¥

(1)limInxln(l-x);(2)lim，其中，q,%…均大于零.

XT0’x->0

n7

1.11用定积分定义求极限

11

(1)lim―/+•••+—/

"TOO““2_22"/J)

1.12求下列极限

ft3dtx2-[cosrdt([e'dt)

(1)lim———;(2)lim——J------;(3)lim又------

ftan3sinx”[e^dt

1.13求。值，使limf「,1dt

x4J)4a+t

二、参考答案或提示

A级

1.1(1)(C)；⑵(A)；(3)(A)；(4)(D)

1.2(1)-；(2)-；(3)0；(4)-Ina

232

16

1.3(1)27；(2)3；(3)210；(4)-；(5)-3：(6)-2；(7)1；(8)-；(9)e/；

42

(10)e2a；(11)1；(12)0；(13)0；(14)近;3a

6

11

1.4(1)-；(2)1；(3)e\(4)e2；(5)-；(6)2；(7)e；(8)1

22

B级

+F1+于

原式=lim(右二沙埠+3"2巴行)=_

(2)2

2

(2+Vx)(4-+^JxxVPx+3)

jrt2

原式=limrcot"二W

I。271

3气4a,由K-x“=1区+j)(x“一X,”)知加一x■与x“一二同号，且由

1.6

马>西知数列单调增，limx“=1—

”->8

x2_2

1.7(1)原式=Lxsin—=0；(2)原式=lim(3<=-9

zo2sin2xXA->0

2x2

-ln2

ln(l+z)t

(3)原式=lim%—ln2；(4)原式=hm-------=lim-=1；

“T81r->0TOf

n

1

，2_a2

ln[l+(cosax-l)]ccoossaaxx--11..

(5)原式=lim----------------=hm---------=lim-y-----=;

10ln[l+(cosZ?x-l)]eocos/zx-1301(/)；F

i11

e〃U—("]

(6)原式=limI=(l-e)lim——=(1-e)lim=e-l

n—>ooM—>aoZ_n—>ao-1

〃(1一e〃)e"-1

n

=lim2xcos-1ln|1+-sin-ln^

(7)原式1+1

X->82XX2x+1

17

=lim2xsin

X-400

4—1a

=2lim21x+U=limx±L=2

X-»QO1XT8J

XX

ln(l+1+!)-+-?7

lim―

”->g1n-¥x>1

(8)原式=en=en=e

[R"

(9)原式=lim[(l+x2/)审]E=e2

XTO

cosx-i

z!

(10)原式=丘1114[1+90§%-1)]851'=e2

A->0

/(x)

1.8由题设可知lim/(D=0,原式=lim®"=limZ^-=3,故limU^=31n2

1。sinxi。xIn2刀一。x~In2x-*°x

23

1.9(1)一/'(x)；(2)先取对数，再由导数定义得e"〃)

a

1.io(1)原式=lim空则二D=0；(2)取对数后用洛必达法则，得qa,…%

XT0+1X

X

N]711(Q.

1.11(1)原式=f—j=dx--；(2)原式=—[(o+x)dx=Q+l或

力6762上

原式=]("+2x)公=〃+1

1.12(1)--；(2)00；(3)0

2

1.13—

4

专题2一元分段函数的极限、连续、导数与积分

一、模拟试题

A级

2.1单项选择题

18

eaxx>0

(1)设函数/(x)=<',若/(x)在(一8,+oo)上连续，则有。=()

l+x,x<0

(A)0;(B)l;(C)2;(D)任意实数

1-4-Y

(2)设函数/(x)=lim一；，讨论函数/(x)的间断点，其结论为()

…1+x-"

(A)不存在间断点；(B)有间断点x=l;(C)有间断点x=0;(D)有间断点x=—1

,,f3,x>0,

(3)设函数/(x+1)=4，贝ijlim/(x)=()

x+3,x<03。

(A)2;(B)0;(C)3;(D)4

l-ex

x，"上则"0)=()

(4)设f(x)=

0,x=0

(A)l;(B)0;(Q-1;(D)2.

2.2填空题

X，1

lim-----，x20,1ALi皿i-H

(1)函数/(X)―<fol+E的间断点是x=—

sinx,x<0

⑵若f(x)=.；g(x)=Inx,则复合函数f[g(x)]的连续区间为

\4-l.

(3)设F(x)={x—19,则当A=时,,/(%)在x=l处连续

A,x=l

sin2x+e2av-1八

--------------xw()

(4)若/(x)=<x'在(一8,00)上连续，则。=

6Z,X=0

.1八

sin_Y(J

2.3若/(x)=4Y’/，问。为何值时极限lim/(x)存在，并求此极限

A->0

X,0<X<1

2.4设函数f(x)=v2,x=l,研究