2024年高考数学专项复习-第十二章-概率

2024年高考数学专项复习第十二章概率01随机事件与概率课标要求命题点五年考情命题分析预测1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合实例，会用频率估计概率.随机事件与样本空间本讲知识是概率部分的基础，命题热点为互斥事件和对立事件的概率计算，以频率估计概率等，一般不单独命题，常与排列组合、分布列、期望与方差、统计等知识综合命题.题型以大题为主，难度中等.在2024年高考备考中，要加强对本讲知识概念的理解与应用及与其他知识的综合训练.事件的关系与运算课标要求命题点五年考情命题分析预测1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合实例，会用频率估计概率.求随机事件的频率与概率本讲知识是概率部分的基础，命题热点为互斥事件和对立事件的概率计算，以频率估计概率等，一般不单独命题，常与排列组合、分布列、期望与方差、统计等知识综合命题.题型以大题为主，难度中等.在2024年高考备考中，要加强对本讲知识概念的理解与应用及与其他知识的综合训练.续表1.样本空间和随机事件（1）样本空间概念符号表示样本点样本空间

基本结果

子集必然事件

不可能事件2.频率与概率

3.两事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示包含⑤_______相等事件⑥_______并事件（和事件）交事件（积事件）互斥（互不相容）互为对立⑧______________________说明

两事件互斥是对立的必要不充分条件.

1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至多有一次中靶

B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都不中靶D[解析]

射击两次的结果有：一次中靶，两次中靶，两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.故选D.2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(

)

D

3.[2022成都模拟]在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(

)

C

4.[多选]下列说法正确的是(

)A.事件发生的频率与概率是相同的B.两个事件的和事件是指两个事件都发生C.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件D.不可能事件发生的概率为零CD命题点1

随机事件与样本空间

A.3个数字相邻

B.3个数字全是偶数C.3个数字的和小于5

D.3个数字两两互质C[解析]

从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件.

C

方法技巧确定样本空间的方法1.必须明确事件发生的条件.2.根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特別要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.命题点2

事件的关系与运算

CD

（2）[多选]将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人一个,则(

)

BD

方法技巧事件关系的运算策略1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；（2）对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.进行事件的运算时，一是紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.命题点3

求随机事件的频率与概率

最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

4.[2018北京高考]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）[解析]

增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.方法技巧1.频率与概率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

A

A.恰有一个是偶数和恰有一个是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是奇数C.至少有一个是奇数和两个都是偶数D.至少有一个是奇数和至少有一个是偶数C[解析]

C中“至少有一个是奇数”即“有两个奇数或一奇一偶”，与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.3.[命题点3]李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分及以上4280~89分17270~79分24060~69分8650~59分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：（1）90分及以上的概率为_____.0.07（2）不及格（60分及以上为及格）的概率为____.0.1

02古典概型、概率的基本性质课标要求命题点五年考情命题分析预测1.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.古典概型的求法本讲是高考的热点，常以传统文化和生产生活实际情境为载体考查古典概型的求法，以互斥事件、对立事件的概率计算等为情课标要求命题点五年考情命题分析预测2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.概率的基本性质的应用境载体考查概率基本性质的应用.题型以小题为主，难度中等.预计2024年高考会通过情境创新考查古典概型.随机模拟的应用续表1.古典概型我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1）有限性：样本空间的样本点只有①________；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性②______．

有限个相等

3.概率的基本性质性质1性质2性质3性质4性质5性质6

4.随机模拟随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.1.下列说法正确的是(

)

D

D

3.[2020江苏高考]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_

_.

4.[教材改编]某战士射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7或8的概率相等，且和为0.3，则该战士射击一次击中环数大于5的概率为____.

命题点1

古典概型的求法

D

解法三（画树状图法）

画出树状图如图所示.

（2）[2022新高考卷Ⅰ]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)

D

（4）[2022全国卷甲]从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为_

__.

①所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1,有6种取法;②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2,也有6种取法.图1图2

方法技巧1.样本点个数的确定方法样本点个数确定的方法有列举法、排列组合法、列表法、画树状图法.2.古典概型的概率求解步骤命题点2

概率的基本性质的应用

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数没投中1005518

ABC

3.从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200千米,遇到红灯个数的概率如下表所示:红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.10.350.20.10.03

（2）求至少遇到4个红灯的概率;

（3）求至多遇到5个红灯的概率.

方法技巧求复杂的互斥事件的概率的方法和步骤1.直接法

命题点3

随机模拟的应用

数学文化情境下的概率问题5.（1）[2019全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“&1&

”和阴爻“&2&

”,&3&

如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(

)

A

（2）[2023长沙重点中学摸底考试]屈原是中国历史上一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作家，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等.某校于2022年6月第一个周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》,周三不读《离骚》的概率为(

)

C

1.[命题点1/2021全国卷甲]将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(

)

C

2.[命题点1/2022全国卷乙]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_

__.

3.[命题点2/2018全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(

)

B

4.[命题点2/多选]某人群中各种血型的人所占的比例如下表，血型AB该血型的人所占比例0.280.290.080.35

AD

03事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型，利用独立性计算概率.2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.相互独立事件本讲为高考的命题热点，主要考查：（1）相互独立事件的概率计算，两事件相互独立的判断等，有时候单独命题，有时候与其他知识综合考查；（2）条件概率，在2022年之前是冷点，但在2022年高考进行了考查，复课标要求命题点五年考情命题分析预测3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.4.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.条件概率习备考中要引起重视；（3）全概率公式，这是新教材增加的点，命题概率比较大.在2024年高考备考中应强化条件概率和全概率公式的理解和应用.全概率公式的应用续表1.相互独立事件

2.条件概率

（4）两事件互斥是指两个事件不能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.

1.下列说法错误的是(

)

A2.下列说法错误的是(

)

A

C

A

命题点1

相互独立事件角度1

相互独立事件的判断

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立B

ABD

方法技巧判断两个事件是否相互独立的方法（1）直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.

角度2

相互独立事件的概率的求法

0.18

概率计算公式命题点2

条件概率角度1

条件概率的计算

ABC

（3）[2022天津高考]现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张,取后不放回,则两次都抽到A的概率为_

___;在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是___.

方法技巧求条件概率的常用方法定义法样本点法缩样法即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.角度2

条件概率性质的应用5.（1）[多选]假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：品牌甲乙其他市场占有率优质率

AB

（3）在某次考试中，从10道题中随机抽取5道题，若考生至少答对其中3道则通过；若至少答对其中4道则获得优秀成绩．已知某考生能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀成绩的概率为_

__.

方法技巧

命题点3

全概率公式的应用6.（1）[2022山东淄博期末]设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支枪射击，中靶的概率是____.0.7

方法技巧全概率公式的适用范围和应用步骤1.适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.2.运用全概率公式的一般步骤：

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件D

D

4.[命题点2角度1]设某种动物由出生算起，活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4.现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____.0.5

04离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求命题点五年考情命题分析预测了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.离散型随机变量分布列的性质本讲是高考的热点，常以实际问题为情境，与计数原理、古典概型等知识综合命题，考查离散型随机变量的分布列、均值与方差，以解答题为主，有时也以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等.预计2024年高考会着重考查本讲知识的实际应用.离散型随机变量的分布列及数字特征课标要求命题点五年考情命题分析预测了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.利用期望与方差进行决策本讲是高考的热点，常以实际问题为情境，与计数原理、古典概型等知识综合命题，考查离散型随机变量的分布列、均值与方差，以解答题为主，有时也以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等.预计2024年高考会着重考查本讲知识的实际应用.续表

3.离散型随机变量分布列的性质

01

≥1

标准差偏离程度

1.下列说法错误的是(

)A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量B.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1C.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的D.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小B

-101

D

3.一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(

)A.36元

B.37元

C.38元

D.39元B

012340.40.10.20.2

ACD

0

01

命题点1

离散型随机变量分布列的性质

789100.10.3

C

1234

B

1234

AB

方法技巧离散型随机变量分布列的性质的应用1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；2.利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.命题点2

离散型随机变量的分布列及数字特征

AC

ABC

1234

（1）求甲学校获得冠军的概率；

01020300.160.440.340.06

命题点3

利用期望与方差进行决策

161718192021220.040.160.240.240.20.080.04

（1）①若采用“10合1检测法”，且两名感染患者在同一组，求总检测次数；[解析]

100人分成10组，每组检测一次，共需要检测10次，又两名感染患者在同一组，则这一组需要逐个检测，故又需要检测10次，所以共需要检测20次，即总检测次数为20.

2030

2530

方法技巧随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

（1）求丙取得的奖券袋中的奖券为80元的概率;[解析]

由题意,可列举为

[解析]

由题意,可列举为

8090100200

2.[命题点2/2023鄂东南省级示范高中联考]在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．

025

300-150

5000-300

05二项分布、超几何分布与正态分布课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.本讲是高考的热点，以生产生活实际情境为载体考查二项分布、超几何分布及正态分布的应用，解题课标要求命题点五年考情命题分析预测3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义.超几何分布2021浙江T15；2018天津T16时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.在2024年高考备考时注意对不同分布模型的理解和应用.正态分布及其应用续表

名称定义示例伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.抛掷一枚质地均匀的硬币1次.

2.二项分布

3.超几何分布

4.正态分布

1

瘦高集中矮胖分散

1.下列说法错误的是

(

)

A

A

B

4.[教材改编]生产方提供一批产品50箱，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率是_