（河北卷）2022年中考数学第二次模拟考试（全解全析）

2022年中考数学第二次模拟考试（河北卷）数学·全解全析12345678910111213141516BCDADABBBDDBACBB第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算﹣2﹣（﹣3）的结果是（）A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．5【答案】B．【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解：﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．2.（2020•苏州）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】C．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：移项得，2x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，x的系数化为1得，x≤2．在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心点与空心点的区别是解答此题的关键．3.如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（）A．米 B．米 C．2a•cos32°米 D．2a•tan32°米【答案】D．【分析】利用32°的正切值表示出BC，利用中点定义可得到所求的线段的长．【详解】解：在Rt△BDC中，∵∠CDB＝32°，BD＝a米，∴BC＝BD•tan32°＝a•tan32°，∵点C是AB的中点，∴AB＝2BC＝2a•tan32°米，故电线杆AB的长可表示为2a•tan32°米，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A．22+22＝23 B．a4÷a2＝a C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝5【答案】A．【分析】A、先根据有理数的乘方计算，可知左边两边相等是8；B、根据同底数幂的除法底数不变指数相减进行计算；C、左边是完全平方公式，得三项，右边是平方差公式，不相等；D、根据二次根式的除法运算，两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．【详解】解：A、22+22＝8＝23，故A正确；B、a4÷a2＝a4﹣2＝a2，故B错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C错误；D、＝，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，有理数的乘方，完全平方公式，二次根式的除法，熟练掌握公式和法则是关键．5.（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D．【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6.按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2an+1 B．n2an﹣1 C．nnan+1 D．（n+1）2an【答案】A．【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．【详解】解：∵第1个单项式a2＝12•a1+1，第2个单项式4a3＝22•a2+1，第3个单项式9a4＝32•a3+1，第4个单项式16a5＝42•a4+1，……∴第n（n为正整数）个单项式为n2an+1，故选：A．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．7.如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（）A．80° B．100° C．120° D．160°【答案】B．【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠1＝40°，∵AB∥CD，∴∠BCE＝180°﹣∠1＝40°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝100°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．8.将有理数682000000用科学记数法表示，其中正确的是（）A．68.2×108 B．6.82×108 C．6.82×107 D．6.82×109【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：682000000用科学记数法表示为6.82×108，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9.（2022•齐齐哈尔模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．10.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1： B．1：2 C．1： D．1：【答案】D．【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．【详解】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAB＝×90°＝45°,∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴设AP＝PE＝x,故AE＝AB＝x,∴AP：AB＝x:x＝1:．故选：D．【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．11.已知点A（﹣3，﹣2）沿水平方向向右平移4个单位长度得到点A'．若点A'在直线y＝x+b上，则b的值为（）A．5 B．3 C．1 D．﹣3【答案】D．【分析】由点A的坐标及点A′，A之间的关系，可求出点A′的坐标，由点A'在直线y＝x+b上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣2＝1+b，解之即可得出b的值．【详解】解：∵点A（﹣3，﹣2）沿水平方向向右平移4个单位长度得到点A'，∴点A′的坐标为（1，﹣2）．又∵点A'在直线y＝x+b上，∴﹣2＝1+b，∴b＝﹣3．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣平移，利用点的平移及一次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．12.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B．【分析】由C是OB的中点推出S△AOB＝2S△AOC，则AB•OB＝4，所以AB•OB＝8，因此k＝8．【详解】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为2，∴△AOB的面积为4，∵AB⊥x轴，∴AB•OB＝4，∴AB•OB＝8，∴k＝8．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确S△AOB＝2S△AOC是解题的关键．13.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【答案】A．【分析】根据化简，然后去绝对值化简即可．【详解】解：根据数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握是解题的关键．14.2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是（）A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．每天单独生产C型帐篷的数量最多【答案】C．【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．【详解】解：A、单独生产B帐篷所需天数为＝4（天），单独生产C帐篷所需天数为＝1（天），∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误；B、单独生产A帐篷所需天数为＝2（天），∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误；C、单独生产D帐篷所需天数为＝2（天），∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确；D、单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．15.若数a使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为（）A．9 B．12 C．15 D．19【答案】B．【分析】首先由不等式组，解得，根据已知解集为x≤4，可得a＜8，再由分式方程有非负整数解，从而得出a的取值，再求和即可得解．【详解】解：解不等式组得，解得，由解集x≤4可得＜x≤4，∵有且仅有4个整数，∴整数解是1，2，3，4．∴0≤＜1，解得3≤a＜8，解方程，去分母得，x+a﹣2x＝x﹣3，即﹣2x＝﹣a﹣3，解得x＝，由x为非负整数，且x≠3，a为整数且3≤a＜8，得a＝5，7，∴符合条件的a的和为5+7＝12．故选：B．【点睛】本题主要考查了解分式方程及利用不等式组的解求待定字母的取值，熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解是解此题的关键．16.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（）A．3 B．4 C． D．5【答案】B．【分析】连接BD，延长BF、CD交于N，根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质推出∠N＝∠ABF，根据已知条件求出DF＝AF，AE＝BE＝AB＝CD，根据全等三角形的判定得出△DNF≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DN＝AB，求出BE＝AB＝CN，根据相似三角形的判定得出△BEM∽△NCM，根据相似三角形的性质求出＝＝，求出＝＝，求出△BCM的面积即可．【详解】解：连接BD，延长BF、CD交于N，∵E，F分别是边AB，AD的中点，∴AB＝2BE，DF＝AF，∴S△ABF＝S△DFB＝S△ABD＝S平行四边形ABCD，同理S△BCE＝S平行四边形ABCD，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，∴S四边形AEMF＝S△BCM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴∠N＝∠ABF，在△DNF和△ABF中，∴△DNF≌△ABF（AAS），∴DN＝AB＝DC，∴BE＝AB＝CN，∵AB∥CD，∴△BEM∽△NCM，∴＝＝，∴＝＝，∵△BEM的面积为1，∴△BCM的面积是4，即四边形AEMF的面积是4，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）17.在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝，q＝．【答案】﹣2；﹣3．【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值．【详解】解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3，∴q＝1×（﹣3）＝﹣3，∵小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，∴﹣p＝4﹣2＝2，∴p＝﹣2，故答案为：﹣2；﹣3．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．18.我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x，y）．（1）若（6，y）是“相伴数对”，则y的值为；（2）若（a，b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b＝．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据相伴数对的定义求解．（2）先建立关于a，b的方程，然后求解．【详解】解：（1）∵（6，y）是“相伴数对”，∴，解得：；故答案为：；（2）∵（a，b）是“相伴数对”，∴，解得：；故答案为：．【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义，建立相关方程是求解本题的关键．19.教学实践课上，老师拿出三个边长都为1cm的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为cm；（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是cm．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据勾股定理求解即可．（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG＝x，则OP＝2﹣x，再根据勾股定理解答．【详解】解：（1）图1中，对应的圆形硬纸板的最小直径＝＝（cm）．故答案为：．（2）如图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG＝x，则OP＝2﹣x，则有：x2+12＝（2﹣x）2+（）2，解得：x＝，则ON＝＝（cm），∴直径为cm．故答案为：．【点睛】此题考查正多边形与圆，解答此题的关键是找出找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）20.（本题满分8分）计算：（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）设x＝2t，y＝3t，利用x+y＝15得到2t+3t＝15，然后求出t，从而得到x、y的值；（2）先移项得到3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）∵x：y＝2：3，∴设x＝2t，y＝3t，∵x+y＝15，∴2t+3t＝15，解得t＝3，∴x＝6，y＝9；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．也考查了解一元二次方程．21.（本题满分9分）如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．【分析】（1）先证明∠EAB+∠ABE＝90°，然后再证明∠CBE＝∠EAB，从而可证明∠CBA＝90°；（2）连接OD．先证明OD∥BE，从而得到△GOD∽△GBE，依据相似三角形的性质可得到＝＝，即＝，然后解得DG的长即可．【详解】解：（1）证明：∵AB是半⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°．∵∠EAB＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，∴∠CBE+∠ABE＝90°，即∠ABC＝90°．∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．（2）连接OD．∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD＝∠ABD，∴∠EBD＝∠BDO．∴OD∥BE．∴△GOD∽△GBE．∴＝．∵GA＝AO，∴GA＝AO＝BO，∴＝＝即＝．∴GD＝10．【点睛】本题主要考查的是切线的判定、相似三角形的性质和判定、平行线的判定，证得OD∥BE是解题的关键．22.（本题满分9分）2022年冬奥会在北京和张家口联合举办．乐乐和果果都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．花样滑冰，B．速度滑冰，C．跳台滑雪，D．自由式滑雪．乐乐和果果计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．（1）乐乐选择项目“A．花样滑冰”的概率是；（2）用画树状图或列表的方法，求乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）乐乐选择项目“A．花样滑冰”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，∴乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率为＝．【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23.（本题满分9分）已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，求点D到直线AB的距离．【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝BC，若AC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB的距离为6﹣6；若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣3．【详解】解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图：∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝AC，∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，∴AH＝DH＝BH，∴DH＝BC，若AC＝6，则BC＝AC•cos45°＝3，此时DH＝，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则DH＝BC＝3，即点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图：∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，在△ABD和△HBD中，，∴△ABD≌△HBD（AAS），∴AB＝BH，若AB＝AC＝6时，BH＝6，BC＝＝6，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣6，∴AD＝6﹣6，即此时点D到直线AB的距离为6﹣6；若BC＝6，则AB＝BC•cos45°＝3，∴BH＝3，∴CH＝6﹣3，∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3；综上所述，点D到直线AB的距离为或3或6﹣6或6﹣3．【点睛】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．24.（本题满分9分）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是．【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），利用待定系数法求函数的解析式；（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y＝﹣x+，于是得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，∴AD＝1，∵四边形OABC是矩形，BC＝4，∴D（1，4），∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），当x＝2时，y＝2，∴E（2，2），把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，∴，∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+6；（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，∵点D的坐标为（1，4），∴点D′的坐标为（﹣1，4），设直线D′E的解析式为y＝ax+b，∴，解得：，∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得y＝，∴点P的坐标为（0，）；（3）∵D（1，4），E（2，2），∴BE＝2，BD＝1，∴DE＝＝＝，由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），∴BD′＝3，∴D′E＝＝，∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E＝+，故答案为：+．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．25.（本题满分10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出的值．【分析】（1）由直角三角形的性质可得BO＝AO＝OC，可得∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，由平行线的性质可证∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，可得结论；（2）由“SAS”可证△AOD≌△COF，可得AD＝CF；（3）由相似三角形的性质可得＝，设AC＝2x，由直角三角形的性质和勾股定理求出OB，OA即可求解．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，点O为斜边BC的中点，∴BO＝AO＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠OED＝∠OBA，∠ODE＝∠OAB，∠ODF＝∠OAC，∠OFD＝∠OCA，∴∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，∴EO＝DO，FO＝DO，∴EO＝FO，∴点O是线段EF的中点；（2）AD＝CF，理由如下：∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，∴OD＝OF，∠AOD＝∠COF，又∵AO＝CO，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD＝CF；（3）如图1，旋转前，∵DE∥AB，∴，∴，如图3，旋转后，∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，∴∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△BOE，∴＝，如图3，过点A作AH⊥BC于H，设AC＝2x，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACH＝60°，BC＝4x，∵AH⊥BC，∴∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝x，AH＝CH＝x，∵点O是斜边BC的三等分点，∴BO＝x，CO＝，∴OH＝，∴AO＝＝＝x，∴＝＝．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．26.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）先由直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点求得A（﹣2，0），B（0，4），再由抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点用待定系数法求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，先求出直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），用含m的代数式表示线段MF的