统计计算 课件 2.2 其他分布的随机数的生成方法

x1逆变换法舍选法复合抽样法2.2其他分布的随机数的生成方法x2

逆变换法

x3

抽样公式

x4例1

产生服从区间（a,b）上的均匀分布的随机数。当Y服从（0，1）上的均匀分布，则X服从（a,b）上的均匀分布。因此抽样公式可取为x5定理3设X为离散型随机变量，取值为

x6例2掷骰子试验中出现的点数X

的分布律为现生成5000个服从该离散均匀分布的随机数。x7（1）生成服从U（0，1）的随机数Y；（2）使用抽样公式X=⌈6Y⌉生成服从离散均匀分布的随机数X。并画出5000个随机数的直方图可使用ceil(6*y)来计算X=⌈6Y⌉x8对已知的随机数，先通过某个检验条件决定取舍，符合条件的留下，不符合条件的舍去，最终得到随机数，这就是由VonNeumann提出的舍选抽样法，又称接受拒绝抽样法(acceptancerejectionsamplingmethod)。舍选抽样法I定理4

设f(x)，g(y)为某两个连续型随机变量的概率密度函数，h(x)为给定的函数，（1）X具有密度函数f(x)；（2）Y具有密度函数g(y)，且与X独立；令Z＝X，否则跳转到（1）。则Z的概率密度函数为(3)当时x9则Z的概率密度函数为x10定理5

若Z的取值为有限区间[a，b]，其密度函数为p(x)，p(x)有上界M，即任意由下述过程可得密度函数为p(z)的随机变量Z。（1）X服从区间[a，b]上的均匀分布；（2）Y区间[0，1]上的均匀分布，且与X独立；（3）当时，令Z＝X，否则跳转到（1）。

x12舍选法I的示意图

并称该概率为舍选法的效率。x14

x15x16

x17定理6若Z的密度函数为p(x)，p(x)有上界函数M(x)，即任意x，由下述过程可得密度函数为p(z)的随机变量Z。（1）X的密度函数为（2）Y区间[0，1]上的均匀分布，且与X独立；（3）当时，令Z＝X，否则跳转到（1）。x19例5

用舍选法I产生服从下面的密度函数的随机数，密度为解：用舍选法，这时

x21例6

用舍选法I产生服从密度函数为p(z)的随机数，且解：用舍选法，这时

定理7若Z的密度函数为p(z)，p(z)可表示为（3）当时，令Z＝X，否则跳转到（1）。由下述过程可得密度函数为p(z)的随机变量Z。（1）X的密度函数为（2）Y区间[0，1]上的均匀分布，且与X独立；舍选法的效率为舍选法IIx25例7

用舍选法II产生服从下面的密度函数的随机数，密度为

x26

服从参数为1的指数分布

x27

x28

复合抽样法1961年Marsaglia提出了复合抽样法，如果分布律或密度函数可以表示成几个简单的分布律或密度函数的线性组合，则可以先把简单的分布的随机数表示出来，再进行组合。x29

X是离散型随机变量，分布律为若X的取值的概率相同，则定义I＝i和x30

的分布函数为随机变量X的分布律如下此时分布函数为x31

的分布函数分别为可以使用该方法得到该分布。x32

I=1时概率p=1/4，此时X取值为1和2。I=2时概率p=1/6，此时X取值为3。I=3时概率p=1/3，此时X取值为4。将（0，1）上的数s分成三部分，s在（0，1/2）定义为I=1，此时X取值为1和2，使用U(0,1)上的随机数y的取整函数[2y]+1表示1和2；s在（1/2，8/12）之间定义为I=2，此时X取值为3，使用U(0,1)上的随机数y的取整函数[y]+3表示3；s在（8/12，1）之间定义为I=3，此时X取值为3，使用U(0,1)上的随机数y的取整函数[y]+4表示4。x33例8随机变量X的分布律如下使用复合法给出服从该离散分布的随机数。I=1包括X=1和2，I=2包括X=3和4。可以先生成两个服从U(0，1)分布的随机数Y和Z，Y用来区分I取值为1还是2，使用概率区分，小于1/3的I取值为1，大于1/3的I取值为2。再使用Z和向下取整函数表示X的取值为1，2，3，4。x34{ifY<1/3:else:}x35例9

已知Z的密度函数为使用复合法生成服从该密度函数的随机数。两个密度函数分别是均匀分布和三角分布