第四章线性控制系统的计算机辅助分

第“幸

铁枝枝制余就的计算机辅助今航

■薛定宇著《控制系统计算机辅助设计一MATLAB

语言与应用》第二版，清华大学出版社，2006

■CAI课件开发：张望舒哈尔滨工程大学

薛定宇东北大学

2011-1-231

本章主要内容

■线性系统定性分析

■线性系统时域响应解析解法

■线性系统的数字仿真分析

■根轨迹分析

■线性系统频域分析

2011-1-232

■如果建立起了系统的数学模型，就可以对

系统的性质进行分析。对线性系统来说，

最重要的是其稳定性，止匕外，状态方程的

可控性可观性也是比较重要的指标。

2011-1-233

4.1线性系统性质分析

■主要内容

■线性系统稳定性分析

■线性反馈系统内部稳定性分析

■线性系统的相似变换

■线性系统可控性分析

■线性系统可观测性分析

■Kalman分解

■系统状态方程的标准型

■系统的范数测度及求解

2011-1-234

4.1.1线性连续系统的稳定性分析

已知连续线性系统的状态方程模型

如何分析稳定性？

■线性系统稳定的充要条件：系统状态方程

中的特征根均具有负实部。由控制

理论知，系统A的特征根和系统的极点是

一致的，所以若能获得系统的极点，则可

以理解判定稳定性。

2011-1-235

■在控制理论发展初期，由于没有直接可用的

计算机软件能求取高阶多项式的根，所以无

法用求根的方法直接判定系统的稳定性，故

出现了各种各样的间接方法，例如控制理论

中著名的Routh判据，Hurwitz判据和判定非

线性系统的Lyapunov判据。

■对于线性系统来说，既然有了类似Matlab这

样的语言，它可以方便的求出系统特征根，

所以判定连续线性系统稳定性就没有必要在

使用间接方法了。

2011-1-236

eig()函数求系统特征根

■假设系统模型已知为G,不管模型G是传

递函数，状态方程还是零极点模型，都可

以用控制系统工具箱函数：eig(G)来求取连

续软性定常系统的特征根。E=EIG(X)isa

vectorcontainingtheeigenvaluesofasquare

matrixX.

■另外，前面我们提到的pzmap(G)函数能用

图形方式直观的绘出系统所有特征根在s-复

平面上的位置，是否稳定只要看一下系统

所有极点是不是在s—复平面上均位于虚

轴左侧即可。

2011-1-237

4.L2离散系统的稳定性分析

■z域中，线性定常离散系统稳定的充要条

件：离散特征方程

D⑵=1+GH⑵=0

的全部特征根分布在Z平面上的单位

圆内。

2011-1-238

■再考虑离散系统状态方程

圆内，即特征根的模均小于1。

2011-1-239

Routh判据的历史局限性

■Routh判据提出时，没有求多项式根的方法

■现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的

根轻而易举，无需间接方法

■Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息

得不出来，如系统是否振荡

■离散系统无法由Routh方法直接判定，得借

助于Jury判据，更复杂

■稳定性分析方法不统一

2011-1-2310

总结：基于Matlab的稳定性判定方法

■直接判定

■状态方程模型

■由可以求出所有特征根

■离散系统:

■传递函数模型：完全同样方法

■图解判定法

■连续系统：

■离散系统同时画出单位圆

2011-1-2311

例4」高阶系统稳定性判定

2011-1-2312

eig(GG)Pole-ZeroMap

ans=

-9.9098+5.9337i。X

——

-9.9098-5.9337i0X

-0.2443+6.0225i

-0.2443-6.0225i

-0.3459+0.6353i

-0.3459-0.6353i■8・7£・5d30

RealAx格

2011-1-2313

■零极点模型

eig(G)

ans=

-6.9920

-3.6500+2.3016i

-3.6500-2.3016i

-2.0635+1.7922i

-2.0635-1.7922i

-2.6350

-0.0156

2011-1-2314

例4-2高阶离散单位负反馈系统模型

2011-1-2315

Pole-ZeroMap

abs(eig(GG))15

ans=

1.1820

1.1820

0.6612

0.6612

0.1990

2011-1-2316

■采用直接判定的方法，除了能获得稳定性

信息外，还可以直接看出零极点分布，从

而对系统有个更好点的了解。比如，对于

连续系统来说，如果存在距离虚轴特别近

的复极点，则可能会使系统有很强的振荡;

对于离散系统来说，如果复极点距离单位

圆较近，也有可能得出较强的振荡，这样

用间接判据（例如Routh判据）是不可能得

到的。

2011-1-2317

4.1.3线性系统的线性相似变换

■由于状态变量可以不同的选择，故系统的

状态方程实现可以不同，这里研究这些状

态方程之间的关系。

2011-1-2318

■系统的状态方程表示称为系统实现

■不同状态选择下，状态方程不惟一

■相似变换（矩阵T下的状态变换）

■假设存在一个非奇异矩阵■（又称为变换矩阵）

■且定义了一个新的状态变量

■新状态变量Z的状态方程模型可以写成

2011-1-2319

■状态变换公式

■MATLAB求解方法

G：原始的模型

T：变换矩阵

在T下的变换结果由返回。

2011-1-2320

例4-3已知系统和转换矩阵

TLAB求解

2011-1-2321

■变换结果

■引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换

成其他的形式

■事实上，这样得出的状态方程模型类似于

很多教科书中定义的可控标准型。

2011-1-2322

4.1.4线性系统的可控性分析

■可控性定义

2011-1-2323

■也就是说，如果系统所有状态变量的运动

都可以由输入来影响和控制而由任意的初

态达到任意指定的状态，则称系统是完全

可控的。

2011-1-2324

线性系统的可控性判定

■MATLAB中求矩阵的秩:

■再橙,郛敢秩犯鎏统状态变量个数比较，就可以

判定紊统的可控性。

■构造可控性判定矩阵

2011-1-2325

例4-4离散状态方程的可控性

■MATLAB求解

2011-1-2326

■判定矩阵

3

■秩为3,而状态变量为4,所以系统不可控

2011-1-2327

■判定矩阵构造方法

■这样的判定方法同样适合于连续系统和离

散系统。也适用于多变量模型。

■如果不是满秩矩阵，则它的秩为系统的可

控状态的个数

2011-1-2328

由Gram矩阵判定可控性

■引入可控Gram矩阵（若为非奇异矩阵，系

2011-1-2329

■Gram()函数

GRAM(SYS/c!)computesthecontrollability

gramianofthestate-spacemodelSYS.

■LyapO函数

X=LYAP(A?C)solvesthespecialformofthe

Lyapunovmatrixequation:

A*X+X*A'=-C

2011-1-2330

例4-5求Gram矩阵（已知系统的采样周期为

T=O.ls）

TLAB命令

■Gram矩

2011-1-2331

■Det()函数求行列式

DET(X)isthedeterminantofthesquarematrix

X

2011-1-2332

可控性阶梯分解

■对于不完全可控的系统可进行可控性阶梯

分解，即构造一个状态变换矩阵T,就可以

将系统的状态方程（A,B,C,D）变换成如下形

式（称为系统的可控阶梯分解形式）：

2011-1-2333

■MATLAB函数调用进行这样的阶梯分解:

若原系统状态方程完全可控，则不必分解

2011-1-2334

■例4-6不完全可控系统

2011-1-2335

4.1.5线性系统的可观测性分析

■可观测性定义

■系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以

由系统输出完全反映。

2011-1-2336

■可观测性分析也有自己相应的函数，如对

英语可控性的ctrbO,ctrbf()有obsv

(),obsvf()函数，对应于gram(G,

有gram(G,’o')函数。

2011-1-2337

可观测性判定（和可控性是对偶关系）

■可观测性判定矩

■等同于系统可控性判定

■Gram矩阵

■MATLAB求解gram(G,%')

2011-1-2338

■Gram矩阵满足Lyapunov方程

■对偶问题

2011-1-2339

4.1.6Kalman规范分解

■Kalman规范分解

2011-1-2340

■子空间

■小意图

2011-1-23

4.1.6系统状态方程标准型的

MATLAB求解

■常用标准型

■单变量系统的标准型

■MATLAB默认的标准型

■可控标准型实现

■可观测标准型实现

■和Jordan标准型实现

■多变量系统Leunberge标准型

■侧重点：如何用MATLAB直接获取标准型

2011-1-2342

单变量系统的标准型

2011-1-2343

■可控可观测标准型转换

2011-1-2344

■可控标准型和可观测标准型，对偶关系

2011-1-2345

■MATLAB变换

2011-1-2346

多变量系统的Leunberge标准型

2011-1-2347

■得出Leunberge变换矩阵

■编写leunberge.m函数

2011-1-2348

■MATLAB函数清单

2011-1-2349

2011-1-2350

标准型的变换方法总结

2011-1-2351

2011-1-2352

例4-8已知模型

2011-1-2353

4.1.7系统的范数测度及求解

■系统也有范数

2011-1-2354

■离散系统的范数定义

2011-1-2355

例4-9已知离散系统模型

2011-1-2356

4.2线性系统时域响应解析解法

■给线性系统一个激励信号，输出是什么？

■有两大类方法

■解析解方法

■求解微分方程、差分方程解析解

■数值解方法

■主要内容

■基于状态方程的解析解方法

■基于传递函数部分方式展开的解析解方法

■二阶系统的解析解方法

2011-1-2357

4.2.1基于状态方程的解析解方法

2011-1-2358

状态增广方法

■消除8矩阵，变成自治系统

■增广状态方程

2011-1-2359

'般输入信号的系统增广

■一般输入信号模型

■引入增广状态变量

2011-1-2360

■增广状态方程模型

其中■

■解析解

2011-1-2361

■MATLAB实现函数

2011-1-2362

■调用格式

■信号描述

2011-1-2363

例4-10连续系统模型

■求解析解

2011-1-2364

系统增广

■增广植

2011-1-2365

■解析解求解

■解析解求解结果

■稳定性

2011-1-2366

422基于部分分式展开方法求解

■连续系统的解析解法

■无重根时部分方式展开

2011-1-2367

■由Laplace反变换求解析解

■有重根时

2011-1-2368

[R,P,K]=RESIDUE(B,A)findstheresidues,polesanddirectterm

ofapartialfractionexpansionoftheratiooftwopolynomials

B(s)/A(s).

Iftherearenomultipleroots,

B(s)R(l)R(2)R(n)

—=---------+----------+...+----------+K(s)

A(s)s-P(l)s-P(2)s-P(n)

VectorsBandAspecifythecoefficientsofthe

numeratoranddenominatorpolynomialsindescending

powersofs.Theresiduesarereturnedinthecolumn

vectorR,thepolelocationsincolumnvectorP,and

thedirecttermsinrowvectorK.Thenumberofpoles

isn=length(A)-1=length(R)=length(P).Thedirect

termcoefficientvectorisemptyiflength(B)<

length(A),otherwiselength(K)=length(B)-

201屈％th(A)+L69

■部分分式的MATLAB求解

2011-1-2370

TLAB求解

l

■解析解

■解析解精确值

2011-1-2371

例4-12带有复数极点的系统

2011-1-2372

解析解的进一步化简

■基于Euler公式的化简

■新MATLAB函数

2011-1-2373

新MATLAB函数清单

2011-1-2374

例4-13仍考虑

■MATLAB求解

2011-1-2375

■储p]

ans一

-0.05110.0000+3.0000i

-0.07680.0000-3.0000i

-0.1715-1.0000+l.OOOOi

1.4677-1.0000-l.OOOOi

0.16670

这样的到的结果的可读性远远高于residue()函

数的结果。

2011-1-2376

基于Laplace变换的求解

■参附录A

■步骤：

■定义符号变量

■描述原函数表达式

■调用laplace()函数或ilaplace()函数求解

■结果化简，如simple。函数

■求解举例

2011-1-2377

2011-1-2378

ilaplace()函数

F=ILAPLACE(L)istheinverseLaplace

transformofthescalarsymLwithdefault

independentvariables.Thedefaultreturnisa

functionoft.IfL=L(t),thenILAPLACE

returnsafunctionofx:F=F(x).

2011-1-2379

■例2

■解析解

2011-1-2380

离散系统的解析解法

■Z变换

■无重根时

■部分分式展开

■解析解

2011-1-2381

■考虑采样周期

2011-1-2382

■输出信号

■解析解

■z变换求解步骤

■定义符号变量

■调用iztrans()函数求解

■化简

2011-1-2383

用符号运算工具箱求解

■求解结果

■方法更规范，结果更简单

2011-1-2384

有重根问题的解析解

■部分分式表达式的z反变换

2011-1-2385

■部分分式展开

2011-1-2386

号运算求解

■更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z

变换的符号运算方法求解

2011-1-2387

时间延迟系统的解析解法

2011-1-2388

■无延迟解析解

■有延迟解析解

2011-1-2389

4.2.3二阶系统的阶跃响应及

阶跃响应指标

记则

2011-1-2390

阶跃响应的解析解

■临界阻尼振荡

■过阻尼振荡■

2011-1-2391

阶系统阶跃响应曲线

2011-1-2392

2

2011-1-2393

阶跃响应指标

■超调量

■稳态值

■上升时间

■调节时间

■好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没

有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时

间短、调节时间短等性能

2011-1-2394

■如果已知系统的数学模型G,则系统的阶跃

响应稳态值可以由函数dcgain(G)求出。

2011-1-2395

4.3线性系统的数字仿真分析

■线性系统的解析解可以求解的条件

■4阶以上的系统需要求解4阶以上的多项式

方程，根据Abel定理，无解析解。

■解析解和数值解结合

■实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线

■主要内容

■线性系统的阶跃响应与脉冲响应

■任意输入下系统的响应

■降阶模型的时域分析及比较

2011-1-2396

4.3.1线性系统的阶跃响应与脉冲响应

■阶跃响应曲线绘制函数

2011-1-2397

例4-17延迟系统

■MATLAB语句

■利用MATLAB提供的功能，可以从曲线上

得到更多的信息，如超调量等

2011-1-2398

2011-1-2399

StepResponse

2

2011-1-23100

StepResponse

2

2011-1-23101

■MATLAB求解解析解

2011-1-23102

例4-18离散化

采样周期

■求解

■得出的曲线可以比较

2011-1-23103

Time(sec)

2011-1-23104

系统的脉冲响应曲线

■MATLAB下的impulse()函数与step()函数

调用结构完全一致

■MATLAB求解

■可以容易地研究系统的脉冲响应曲线

2011-1-23105

4.3.2任意输入下系统的响应

■可以利用step()和impulse()函数求解

■输出信号计算

■如R(s)已知，则可以直接求解

例4-20斜坡响应

2011-1-23106

■MATLAB求解

■其他输入的响应可以由lsim()函数求取

2011-1-23107

例4-21多变量系统

输入

2011-1-23108

■多变量系统的时域响应可以这样求解

■比较容易

■理解曲线含义

2011-1-23109

LinearSimulationResults

1

Time(sec)

2011-1-23110

LinearSimulationResults

15

Time(sec)

2011-1-23111

4.4根轨迹分析

■单位负反馈

■闭环系统特征方程

■对K的不同取值，则可能绘制出每个特征

根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根

轨迹。

■根轨迹用开环信息研究闭环特性

2011-1-23112

■MATLAB求解

■该函数可以用于单变量不含有时间延迟的

连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用

于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨

迹绘制。

2011-1-23113

例4-24开环系统

■MATLAR求解

■如何求解临界增益？

■闭环系统稳定性如何变化

2011-1-23114

2

2

1

4

2

ImaginaryAxis

3

eR

-d

A

x

a

1

1

5

例4-25

2011-1-23117

RootLocus

8

8

4

2

言0

五

5

B

E

-

□26

2011-1-23118

Time(seow

2011423119

例4-26禺散系统根轨迹

轨迹绘制

2011-1-23120

例4-27离散系统模型

TLAB求解

■临界增益求取

2011-1-23121

带延迟的离散系统根轨迹

■假设延迟为6步，则

■可以求临界增益

■延迟系统临界增益减小

2011-1-23122

4.5线性系统频域分析

■频域分析

■Nyquist1932

■Bode,Nichols提出的新图形方法

■主要内容

■单变量系统的频域分析

■利用频率特性分析系统的稳定性

■系统的幅值裕度和相位裕度

■多变量系统的频域分析

2011-1-23123

4.5.1单变量系统的频域分析

■三种表示方法

实部与虚部关系曲线即为Nyquist图

Nyquist图的缺陷：无对应频率信息

横轴对数坐标rad/s,纵轴分贝、度，Bode图

■幅值与相位关系，Nichols图，无频率信息

2011-1-23124

■Nyquist曲线绘制

■grid命令绘制等M和等N圆

2011-1-23125

■Bode图绘制

■Nichols图由nichols()函数绘制

■可以同样处理连续、离散、延迟、多变量

系统，格式不变

2011-1-23126

例4-30开环传递函数

■MATLAB曲线特色

■读取频率信息；频率范围

2011-1-23127

NyquistDiagram

o

x色

y

A

PJ

_U

eB

_E

o

1

-0.50

RealAxis

2011-1-23128

NyquistDiagram

2dB-2dB

YdB

4d日

dB

6dB

610dB-10dB

夏

20dB-20dB

豆

管

_

RealAxis

2011-1-23129

其他频域响应曲线

■Bode图绘制

%

■快捷菜单读取特性

HJichols图的绘制

■用鼠标读取频率信息

■弥补了传统Nichols图的不同

2011-1-23no

2

2

1

1

2—Phase(deg)Magnitude(dB)

3

1

50

F

r

e

qB

匚o

ed

ne

c

1口

y0

苗

〔。

rg

dr

a

m

仍

Oe

J

T

°

I

Q

-k

3

-k

例4.31对下面模型离散化,

1ATLAB求解

三同采样周期的离散模型Bode图

2011-1-23132

例4-32离散系统

■Nyquist图与Nichols图

2011-1-23133

例4-33延迟系统模型

2011-1-23134

4.5.2利用频率特性分析系统

的稳定性

■可以用开环的系统模型，绘制Nyquist图

并以此分析闭环系统的稳定性。

2011-1-23136

例4-34

■Nyquist图

闭环阶跃响应

2011-1-23137

8

3

1

3

-2

夏豆管_

6-1

1

1

0

2

2

2

1

1

2—

3

4.5.3系统的幅值裕度和相位裕度

■幅值裕度和相位裕度

2011-1-23140

稳定性裕度分析

■如果系统的Nyquist图不与负实轴相交，则

系统的幅值裕度为无穷大。

2011-1-23141

■如果系统的Nyquist图在第三象限与单位圆

有若干个交点，则系统的相位裕度以与离

负实轴最近的为准。

■MATLAB求解方法

■如果某个裕度为无穷大，则返回Inf,相应

的频率值为NaNo

2011-1-23142

例4-35

■由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡

2011-1-23143

4.5.4多变量系统的频域分析

例4-36多变量系统的Nyquist图

nyquist函数直接求解

2011-1-23144

多变量系统分析概述

■前面的Nyquist图对多变量系统分析没有太

大帮助，所以一般不采用这样的方法

■英国学派的频域方法

■SirHowardHRoscnbrock教授提出的逆Nyquist

阵列的方法（INA方法）

■剑桥大学SirMacFarlane教授特征轨迹方法

■帝国理工SirDQMayne教授序贯设计方法

■Sheffield大学的Owens教授的并矢算法

2011-1-23145

MFD工具箱

■英国剑桥大学的Maciejowski教授开发基于

MATLAB的工具箱

■多变量系统的描述

■还可以用传递函数描述，但需要已知公分

母。所以过程烦琐。

■可以求出系统的传递函数矩阵模型

2011-1-23146

例4-37多变量

2011-1-23147

■得出公分母

■分子矩阵

■用这样的方法可以得出传递函数矩阵模型

■可以得出MFD能使用的模型

2011-1-23148

对角优势分析

■多变量频域分析的最重要内容是系统模型

是不是解藕的模型，如果不是则需要变换

■如何判定是否解藕？

■回差矩阵

2011-1-23149

■利用回差矩阵的逆矩阵性质，所以在频域

分析中用逆的Nyquist矩阵分析更方便

■Rosenbrock教授米用逆Nyquist阵列方法

■单变量系统，Nyquist图是研究包围(-1,jO)点的

周数来研究稳定性的

■多变量回差矩阵，研究包围(0,jO)点的情形

■Gershgorin定理可以分析对角占优性质，从

而对系统的藕合进行分析，可以用于多变

量系统的分析

2011-1-23150

Gershgorin定理

■对角占优矩阵

2011-1-23151

■进一步减小半径

2011-1-23152

■假设在口下，多变量系统前向回路INA为

■Gershgorin带，对不同的冲值

■若对全部的G来说，各个对角元素的Gershgorin

带均不包含圆心，则称原系统为对角占优系统。

■显而易见，对角优势矩阵的特征根不位于原点处,

则单位反馈的闭环系统是稳定的。

2011-1-23