初高中数学衔接

初高中数学衔接中的问题分析与对策探索

石家庄外国语学校.崔景雪

今天在做的大都是初中教师，我是一线的高中教师，今天我们坐在一起共同

探讨“初高中数学衔接问题分析”我认为很有意义，因为随着教材的变化，课改

的深入，这个问题越来越突出，每年中考完以后，都有一个座谈会，初高中教师

都要争论一番，相互埋怨，有些意见直接影响着下一年的中考命题方向，因此希

望今天，我对这个问题的看法对我们初中教师教学有所帮助，或自己身边有即将

上高中的孩子有所帮助。

下面我们先看这样的•组数据：

入学市全市高中入学平期末全市高中期末

入学相统考相

届数均市平平均

对距离对距离

平均分最高最低均分最高最低

2010105.7111.1100.89.74%69.3385.3857.4840.24%

2009103.8109.498.510.50%77.8984.2762.2628.25%

200891.498.586.413.24%74.7195.6462.8543.89%

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲,

都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象

中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习

题、又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学

生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为

数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学

的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，下面我想从以下5个层面于大家共同探讨:

一、成因的分析。

1.环境与心理的变化。

(1)、对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集

体……，学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。他们在入学前，就耳闻高中数学

很难学，从而产生一种畏惧心理，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。

(2)、另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生"

松口气"想法，有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初

一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地

考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、

高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会

考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因

为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。

2.教材的变化。

(1)、数学语言在抽象程度上突变

初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语

言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、

函数语言、符号语言，图形语言等，例如:对f(x)的理解，Log2》与对数的运

算法则。

(2)知识内容的整体数量剧增

高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位

时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地

减少了。首先初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而新课标

高中数学教材有如下特点，知识内容的整体数量不仅剧增，而且抽象，多研究变

量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。(我

们大家都有这样的经验，对一个问题的掌握学生应有“三遍”，这在初中可以做

到，但在我们高中是不行的。在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因

此，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解

法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固与纠错，初中数学教

学采取的方法是，把各种可能的错误，都告诉学生注意，只要有一人出过错，就

要提出来，让全体同学引为借鉴。这叫“一人有病，全体吃药。”高中数学课没

有那么多时间，除了少数儿种典型错，其它错误，不能一一顾及。只能“谁有病，

谁吃药”。如果学生“有病”，而自己却又忘记吃药，就将形成一处隐患，--处

“地雷”，迟早要惹祸。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。

3、思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建

立了统一的思维模式，如解分式方程分儿步；因式分解先看什么，再看什么。即

使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等，分别确定了各自的

思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数

学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要

求。在第一章与第二章中，就渗透了高中所有必须掌握的数学思想和数学方法，

如集合与对应、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想及配方法、换元法、

待定系数法、反证法等数学方法。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。

这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

我记着高一开学第一课，我给同学们介绍高中数学特点时是这样说的：

1、高中数学教材的特点概括为：

高度的概括性，

极度的抽象性，

严密的逻辑性

、广泛的适用性。

2、中考的目的是检验你是否能成为“正常人”，而高考是检验你是否能成为“人

上人”，是决定你的社会地位及社会给你的待遇的考试。

3、举了两个例子：

(1)解不等式：2x-3=5x;2x-3>5x

(2).解关于x不等式：2x-b=ax;2x-b>5x.

4.学生学法的变化

(1)从学生方面上，在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记

准概念、公式及教师所讲例题类型，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”一般均可对号入

座取得好成绩。因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的归纳总结。

到高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具

有典型性的题目，以落实"三基"培养能力。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的

依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。因此，高中数学学习要求学生要勤

于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。故有人说：初

中学生学数学，靠的是一个字:练；高中学生学数学靠的也是一个字:悟!，然而，

刚入学的高一新生，往往继续沿用初中学法，致使学习困难较多，完成当天作业都很困难,

更没有预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习

质量的提高。

三、初高中数学知识的“脱节”

1.立方和与差的公式

这部分内容在初中教材中已删去不讲，但进入高中后，它的运算公式却还在用。

比如说：

(1)立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(4)两数和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)两数差立方公式：(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3。

2.因式分解

十字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求

了，但是到了高中，教材中却多处要用到。

3.二次根式中对分子、分母有理化

这也是初中不作要求的内容，但是分子、分母有理化却是高中函数、不等式常用的解

题技巧，特别是分子有理化。

4.二次函数

二次函数的图像和性质是初高中衔接中最重要的内容,二次函数知识的生长点在初

中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容.二次函数作为一种简单而基本的函数

类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰。

5.根与系数的关系（韦达定理）

在初中，我们一般会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方

程，而到了高中却不再学习，但是高考中又会出现这一类型的考题，

（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代

数式（这里指“对称式“）的值，能构造以实数p、q为根的一元二次方程。

6.图像的对称、平移变换

初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函

数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式

初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例

定理，射影定理，圆塞定理等），初中生大都没有学习，而高中教材多常常要涉及。

（以上这些脱节的知识，何时补？补到什么深度？这都应是我们共同探讨的问题，为

此，我校教研组共同编写了一本“材料”见附件1,有兴趣的教师可供参考。）

四、对策

以上问题随着初高中教师的斗争，以及课改教育理念的深入，势必要影响我

们高中的教学，同时也影响着初中的教学，第二轮的教材修订已经完成，即将实

行。改革是以后教育的潮流，我们必须及时应对，改变教育观念，适应教育的发

展，谁走到前列，谁就是胜利，我想这是我们初高中教师共同面临的问题，我们

只有找出对策，共同去应对。

（-）从教法上,改变思想观念。课堂教学进行转型。

课堂教学的形态,主要有两种，

1、传授式课堂（“教数学，学数学”型）

2、活动式课堂（“玩数学，做数学”）

下面以我们学校为例：

（1）校长的思想超前:

a、石家庄外国语学校

b、教师的来源。

C、学生的来源。

D、抓住政策的机会，保送。

E、教改的跟进。

5、教师教法上的转变：

(1)看如下表：

“四环节”教学模式(“项目设置”、“完成项目与交流展示”和“评价激励”、

“课后作业”，——：模式的理解--“矫枉必先过正”

下面看我们附件2：

每一册书都是按以上4个环节既：“项目设置”、“完成项目与交流展示”

和“评价激励”、“课后作业”四个栏目，其中：“项目设置”体现了用什么方法

和途径完成本课核心内容且达到国家课程标准；“完成项目与交流展示”体现了

新课程对“知识与技能、过程与方法”的要求，为给学生留有较大的自主学习空

间，还设置了形式多样的教学活动，包括“项目准备”、“项目探究”、“学以致用”

等等；“评价激励”通过检测使师生及时检验评价课堂的学习效果，让更多的学

生体验成功，提高学习兴趣；通过提升拓展问题和习题进一步提升学生的思维品

质；通过让学生从知识、思想、方法以及易错点等方面进行梳理和总结，促使学

生及时总结，培养学生勤于反思，善于总结的好习惯；“课后作业”完成课本习

题，掌握课堂的基本知识和方法，再通过挑战自我，对知识的综合运用，激发学

生学习的积极性与主动性。

通过较长时间的训练，同学们一定能形成如下良好的学习习惯和学习能力：

1.搜集、筛选、捕捉、提炼信息的自学

能力；

2.独立思考、自主探究的习惯；

3.良好的心理素质、心理承受能力；

4.动手实践能力；

5.合作意识、交际能力；

6.倾听的习惯；

7.语言表达能力；

8.概括、归纳与反思的习惯；

9.敢于质疑、敢于发表自己的主张和见

解的习惯；

10.敢于挑战自我、战胜困难的精神。

课改的深入：

A、体育课

B、选修课

C、班会。

通过比较：两种课堂模式的长处与短处。（见文章）

（二）、对教师的要求

1、吃透教材，吃透学生。

2、教师•定不要低估学生的能力，要让学生去爬无名山。努力去培养学生的数学

兴趣，要让学生去“玩数学，去做数学”。

3、有意识的去学生能力的培养

培养学生能力，主要有：（1）培养学生独立学习的能力；（2）培养学生分析问题和解

决问题的能力；（3）培养学生的准确计算能力；（4）培养学生推理和转换能力；（5）培养良

好的心理素质，发挥非智力因素的作用。

（三）、培养良好的学习习惯。

培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学

习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、独立作业、解决

疑难、及时复习、系统小结和课外学习几个方面。

制定计划

确定自己的学习目的，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动

学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期

安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

1、课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。

高中课堂容量大，知识点多，有时一节课便要学习儿个定理、公式，儿道例

题，学生若不进行课前预习，便很难跟上教师的讲解，也难保证听课的针对性。

要求学生对预习中发现的难点，，那些就是听课的重点，应记个记号，对预习中

遇到的没有掌握好的有关的旧知识，应及时的补上。做到“读、戈k写、查”，

以减少听课过程中的困难；事实上，学生做好课前预习，真正做到带着问题听讲,

可以明显地提高教学效率，培养了学生的自学能力，也就较能适应强度较大的高

中数学学习。

其实，自学能力的提高也是一个人生活的需要，他从一个方面也代表了一个

人的素养，人的一生只有18-—24年时间是有导师的学习，其后半生，最精彩的

人生是人在一生学习，靠的自学最终达到了自强。

2、上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。

（1）注意两头，讲课开头，一般是概括前一节课的要点指出本节课要讲的

内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归

纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。

（2）中间做到“5至建

“口到”：就是做到全神贯注的在老师的指导下，

主动回答问题或参加讨论，

“耳到”：就是全身心地投入课堂学习，专心听

讲，听老师如何讲课，如何

分析，如何归纳总结，另外，还要听

同学们的答问，看是否对自

己有所启发，

“眼到”：就是在听讲的同时看课本和板书，看老

师讲课的表情，手势和演

示实验的动作，生动而深刻的接受老师

所要表达的思想，

“心到”：就是用心思考，跟上老师的数学思路，

分析老师是如何抓住重点，

解决疑难的，

“手到”：就是在听、看、想、说的基础上划出课

文的重点，记下讲课的要

点以及自己的感受或有创新思维的见

解。

若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的•切重要内容便会

在自己头脑中留下深刻的印象。

3、独立完成作业。

作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所

学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过

运用使对所学知识由“会”到“熟”。要求如下：

（1）,温故知新，把握要领

先把书看透，再动手做作业。做作业前，首先温故有关的知识，回顾概念，

掌握要求，了解有关的注意事项，明确学习的目的，把握解题的规范化要求，然

后再动手做作业，就心中有数，练中学，学中练，达到巩固目的，强化了知识，

提高了能力。

但事实上，我们许多同学没有这个好习惯，拿到题目就做。这样，首先是速

度慢，效率低。另外，由于概念不清，有的概念理解错误，做了题目起不到应有

的作用，甚至还有反作用，巩固了错误，在相应方面形成了一个顽疾，为以后学

习埋下后患。

（2）,明确题意，构建思路

题海战术的最大特点是以做题的数量作为标准，并期望以多取胜。由于高考

升学的压力，不少同学不知不觉的掉进题海，拿到题目不假思索，跟着感觉走，

时常出现张冠李戴，答非所问等现象，也会出现漏解或者画蛇添足，劳而无功。

长期下去，最大的坏处是形成不严谨的思维习惯，不利于将来的发展。

审题是我们解题的前奏工作，不可忽视，在解题前必须审清题意，分析条件

和结论，并且根据条件和结论进行联想：以前遇到过类似或者部分类似的问题

吗？当时是用什么方法解决的？在这里还有效吗？等等。通过联想构建解题思

路，设计解题程序，把握解题要点，为正确快速解题扫清障碍，奠定基础。

(3),限定时间，一气呵成

做作业限时完成，不拖拉，干净利落，遇到困难，待各项任务基本完成后,

再进行钻研，遇到难题是先能做多少就做多少，能解决到什么程度就解决到什么

程度，当解决了问题的部分时，常常会闪出好念头，悟出问题的解决方案。实际

上每解决一点就是向目标靠近一步，这就是“吹尽黄沙始得金”的道理。解决疑难

一定要有锲而不舍的精神。实在解决不了的要请教老师和同学，做错的作业再做

一遍。对错误的地方要反复思考。

(4),做后反思，提高效益

有人说题海战术是臭豆腐，闻的臭，吃的香。题海战术既然被人普遍使用，

肯定有它存在的道理，不能全盘否定。但是它的效益不高的弊端也是很明显的。

对它进行改进也是情理之中，实践证明解题后反思是提高效益的有效途径，就是

要“悟”。并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老

师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。

5、及时复习，系统小结是高效率学习的重要一环。

小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综

合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。

经常进行多层次小结，能对所学知识由“懂”到“悟”。

6、课外学习。

精挑慎选课外读物.，初中学生学数学，如果不注意看课外读物，〜般地说,

不会有什么影响。高中则大不相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为

一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存

在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。

当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，

也必将事倍功半。课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走

访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不

仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和

发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。

综合上述，要想学好高中数学，主要注意以下8点：

1,先看笔记后做作业.

2,做题之后加强反思.

3,主动复习总结提高.

4,重视改错错不重犯.

5,积累资料随时整理.

6,精挑慎选课外读物.

7,配合老师主动学习.

8,合理规划步步为营.

第四部分分章节突破

目录

11数与式的运算

11.1绝对值

11.2.乘法公式

11.3.二次根式

11.4.分式

12分解因式

21一元二次方程

21.1根的判别式

21.2根与系数的关系（韦达定理）

22二次函数

22.1二次函数y=ax?+bx+c的图像和性质

22.2二次函数的三种表示方式

22.3二次函数的简单应用

23方程与不等式

23.1二元二次方程组解法

23.2一元二次不等式解法

31相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2儿种特殊的三角形

3.3圆

3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系

3.3.2点的轨迹

1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,

零的绝对值仍是零.即

a,a>09

||=<0,〃=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：卜-4表示在数轴上，数4和数匕之间的

距离.

例1解不等式：|x—l|+|x—3|>4.

解法一：由x-l=O,得x=l；由x-3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可变为-(x-l)—(x-3)>4,

即-2x+4>4,解得xVO,

又x<1,

.\x<0；

②若14x<2,不等式可变为(x-l)-(x-3)〉4,

即1>4,

•••不存在满足条件的X；

③若xN3,不等式可变为(x-l)+(x-3)>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又应3,

Ax>4.

综上所述，原不等式的解为

xVO,或x>4.

解法二：如图1.1—1,表示X,",

、

P

on

—

pCA—

n

34

x01X

以一1|

图1.1-1

轴上坐标为X的点P到坐标为1的点A之间的距离I以I，即I上I=|x-l|；|x-3|

表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3].

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的儿何意义即为

|B4|+|PB|>4.

由|AJB|=2,可知

点P在点。(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐标为4)的右侧.

x<0»或x>4.

练习

1.填空：

(1)若卜|=5,则x=；若忖=|一4|,则x=.

(2)如果时+问=5,且a=—1,贝ijb=；若|l-c|=2,则0=.

2.选择题：

下列叙述正确的是()

(A)若同=回，则a=b(B)若同>例，则a>b

(C)若a<b,则问<问(D)若同=网，则4=±6

3.化简：|x—5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-匕)=/一b?；

(2)完全平方公式(a±b)2=/±2。匕+/.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+h2)-a3+h3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-by；

(3)三数和平方公式(a+b+c)"=a~+b-+c~+2(ab+be+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b^；

(5)两数差立方公式(a—0)3=/—3^+3加―火

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+l)(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1).

解法一：原式=(/-1)[，+1)2-》2]

=(x2-l)(x4+x2+1)

=x6-l.

解法二：原式=(x+l)(x2-x+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知a+/?+c=4,ab+hc+ac=4,求/+/+c?的值.

解：a2+b~+c2=(a+0+c)2-2(ab+fee+ac)=8.

练习

1.填空：

(1)/一％=(小++)();

(2)(4m4->=16〃/+4〃z+()；

(3)(a+2b—c)2=ct~+4b~+c?+().

2.选择题：

(1)若12+!机工+%是一个完全平方式，则左等于()

2

(A)m2(B)—nT(C)—m~(D)—m2

4316

(2)不论a,匕为何实数，a2+/—2a—4b+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如正(aNO)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能

够开得尽方的式子称为无理式.例如3a+yla2+b+2b,&+及等是无理式,

ffi]y/2x2+x+\,x2+>/2xy+},2,V?等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)

有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如也与

72,3&与0+庭与G-遥，26-3正与26+3四，等等.一般

地，与4，ay[x+by[ya\[x-h^y,+〃与互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中

的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

运算中要运用公式。物=而5NO/20);而对于二次根式的除法，通常先写

成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加

减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式病的意义

行=同=『心"

11[-a,a<0.

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)712^；(2)4a^b(a>0)；(3)也凸(.<0).

解：⑴71^=2回；

(2)\/a2b-|a|\fb-a4b(a>0)；

(3)y)4x6y=2|x3|y[y=-2x3y[y(x<0).

例2计算：百+(3-®

解法—：6+(3—6)=—~—/=

3—73

V3-(3+V3)

(3-73)(3+73)

_36+3

9-3

_3(6+1)

6

—出+1

2

解法二：V3+(3-乖>)----尸

3-V3

73(73-1)

]

V3-1

氏+1

(V3-1)(73+1)

也+1

2

例3试比较下列各组数的大小：

（1）Vi2-Vn^VTT-Vio；（2）和26一屈.

V6+4

Vi2-Vn(V12-ViT)(Vi2+7n)i

解:(1)•:阮-拒=

1Vi2+vn一配+而，

VTi-VioVH-A/IO（Vn-由）（而+屈）1

1Vn+VioVTT+Vio，

又屈+而>而7厢,

/.Vi2-Vn<ViT-Vio.

272-76(272-76)(272+76)2

(2)2V2-V6=

12V2+V62五+后

又4>2啦，

.,.加+4>,+2啦，

-3—<2V2-V6.

V6+4

例4化简：(6+&)2叫(6-尤严5.

解：（6+忘严4.（百一夜产5

=(G+V2)2004-(V3-V2)2004.(V3-V2)

=[(G+V2).(V3-V2)]2("，4.(V3-A/2)

=l2004.(^-V2)

-y/3-V2.

例5化简：(1)，9-4)；(2)^JX2+-^--2(0<X<1).

解：(1)原式=出+4后+4

=7(V5)2+2x2x75+22

=J(2-9

=|2-V5|=V5-2.

(2)原式=J(x—)~=x—,

0<X<1,

**•—>1>X,

X

所以，原式=」-x.

X

例6已知x=W~y=孑+，求3f-5盯+3/的值.

V3+V2-V3-V/21--

解：・x+y

V3-V2V3+V2,

孙=^r^7ri，

，3x2—5孙+3y2=3(x+y)2—1Ixy=3x10?_11=289.

练习

1.填空:

1—A/3

(1)

1+V3

(2)若J(5_X)(X—3)2=(X_3)VT^,则x的取值范围是

(3)4724-6754+3796-2V150=.

.也y/x+i—y/x—l>/x+l+dX-l

(4)若工=——,则J~/=-+-7=~~____

2Jx+1+Jx—1yjX+].—\X—\

2.选择题：

等式成立的条件是()

(A)xH2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

cH7V<2—14-\\—Cl~q7M,士

3.若b=----------------------,求〃+/?的1值.

。+1

4.比较大小:2一小____邓一木(填或"V”).

1.1.4.分式

1.分式的意义

AAA

形如々的式子，若8中含有字母，且3/0,则称C•为分式.当M#）时，分式白■具

BBB

有下列性质：

AAxM

~B~BxM；

A_A^-M

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像—心，〃?:"+〃这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若当土=4+上，求常数A,8的值.

x(x+2)xx+2

・.AB+2)+Bx(A+3)x+2A5x+4

fflr•♦+===,

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

.fA+8=5,

・・V

2A=4,

解得A=2,8=3.

例2(1)试证：——=--——(其中”是正整数)；

n(n+l)n〃+1

(3)证明：对任意大于1的正整数〃，W—+—++--—<-.

2x33x4〃(〃+1)2

(1)证明：V---L=(〃+i)_〃__1_,

n〃+1+n(n+V)

...」一='——L(其中〃是正整数)成立.

〃(〃+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

——=2

1010

(3)证明：：一'-+,+…+—1—

〃(几+1)

1

)

n+1

2n+1

又论2,且〃是正整数,

，击一定为正数，

111

+---+d---------------

2733x4n{n+1)

例3设e=£，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5ac+2a2=0两边同除以d,得

Ie1—5e+2=0,

.\(2e-l)(e-2)=0,

<1,舍去；或e=2.

：.e=2.

练习

1.填空题：

对任意的正整数〃，一,—=—(--——)；

n(n+2)nn+2

2.选择题：

若工2=2,则±=

)

x+y3y

、546

(A)1(B)-(C)-(D)-

455

3.正数x,y满足产-/=2"，求0的值.

x+y

计算」一+111

4.-----1-----+…d---------

1x22x33x499x100

习题1.1

A组

1.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求d+y3+3孙的值.

3.填空：

(1)(2+G)i8(2-G)i9=；

(2)若J(j)2+7(1+a)2=2，则a的取值范围是

1]]]]

(3)

1+V2V2+V3V3+V4V4+V5亚+«>

B组

1.填空:

3a2-ab

(1)a=—b=—贝n|lJ--------------

2f33a2+5"-2/

%2+3孙+/

(2)若r+Ay—2y~0,贝ij

x2+y2

1

2.已知：x=-,y），求，-户的值.

234x-^yN/X+Jy

C组

1.选择题：_____________

(1)若J-a-b-2^/cib—yj~b-J-a,贝！J)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

（2）计算｝等于

)

（A）4-a(B)4a(C)~yJ—U(D)—yjci

,11

2.解方程2(x2+—)-3(x+-)-l=0.

xX

、〜1111

3.计算：-----1-----------1---------+•••+

1x32x43x59x11

111

4.试证：对任意的正整数”，有--------------1---------------1■…H---------------------------<4-

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

1.1.1.绝对值

1.(1)±5；±4(2)±4；一1或32.D3.3%-18

1.1.2.乘法公式

11

1.(1)—ci--b(2)(3)4ah-2ac-4hc

3224

2.(1)D(2)A

1.1.3.二次根式

1.(1)V3-2(2)3<x<5(3)-876(4)V5.

2.C3.14.>

1.1.4.分式

11-99

1.2.B3.V2-14.—

2100

习题1.1

A组

1.(1)x<-2或x>4(2)-4<x<3(3)x<-3,或x>3

2.13.(1)2-百(2)-l<a<l(3)V6-1

B组

351

1.(1)-(2)或一三2.4.

725

C组

1.(1)C(2)C2.X.=-,X^23.—

12255

，包一11rl1■.

4.提不：-----------=—[------------------]

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,

另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如图1.2-L将二次项f分解成图中的两个x的积，再将常数项

2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3心就是

f—3x+2中的一次项，所以，有

x2—3x+2=(x—l)(x—2).

图1.2—1图1.2—2图1.2—3图1.2—4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2—1中的

两个x用1来表示(如图1.2—2所示).

(2)由图1.2-3,得

X2+4X-12=(x-2)(x+6).

(3)由图1.2-4,得

/一(Q+b)xy4-aby2=(x-ay)(x-by)A-1

yK1

(4)xy-l+x-y=xy+(x-y)-l图L2_5

=。-1)。+1)(如图1.2—5所示).

2.提取公因式法与分组分解法

例2分解因式：

(1)x'+9+3x~+3x；(2)2x?+xy-—4x+5y-6.

解：(1)X3+9+3X2+3X=(X3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

+9+3x"+3x—■(x^+3x^+?>x+1)+8—(x+l)'+8—

(X+1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(%2+3).

(2)2x2+xy-y2-4.r+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy->,2)-(4x-5>!)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.关于x的二次三项式ax2+bx+c(a^O)的因式分解.

若关于x的方程a/+bx+c=0(aK0)的两个实数根是内、々，则二次三项式

ax2+bx+c(aW0)就可分解为。(工一玉乂》-々).

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令f+2x—1=0,则解得玉=—l+JL乙=一1一行，

/.x2+2x-l=[x-(-l+V2)][.r-(-l-V2)]

=(X+1-V2)(X+1+V2).

(2)令炉+4孙-4y2=0,贝I」解得玉=(—2+2&)y,玉=(—2—20)y,

x2+4xy-4y2=[x+2(1-V2)y][x+2(1+血)y].

练习

1.选择题：

多项式2/一盯一15y2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X?+6X+8；(2)8a3一必

(3)X2-2x-1；(4)4(x—y+l)+y(y—2x).

习题1.2

1.分解因式：