2022-2023学年新疆维吾尔自治区高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，集合，可得.故选：B.2.设函数f(x)＝则f(f(3))＝()A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗,,故选D.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得解得，即，故定义域为故选：B.4.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，则如图所示，其中，，，.故选：B.5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B6.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，则山高MN等于（）A. B. C.200 D.〖答案〗A〖解析〗在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，所以可得AC＝＝＝200，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝100，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM•sin∠MAN＝100×＝100；故选：A．7.已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（）A.9 B.3 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．在Rt△中，，即，又，可得，.故选：A．8.若奇函数的定义域为，且时，则时，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，则，因为函数为奇函数，所以，即时.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；B.将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D.一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．〖答案〗ABD〖解析〗选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后.B正确；选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差.C错误；选项D：，因为的平均数是5，所以，新平均数，又因为的方差是1，所以，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.故选：ABD.10.抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由题可得基本事件有：，共有36个，记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点，则A正确；两次的点数之和小于7，事件包含的基本事件有：，，共15个，，B正确，D错误，；对于，事件包含的基本事件有：，共3个，C错误.故选:.11.下列四个命题中假命题是（）A.， B.，C.，使 D.，〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由，，所以A为假命题；对于B中，当时，，所以B为假命题；对于C中，当时，，所以C为真命题；对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.故选：ABD.12.函数的一个单调递减间为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知可得原函数可化为.要求原函数的单调递减间，只需令，解得：,∴原函数的单调递减区间为.依次给k赋值可得原函数的单调递减区间为对照四个选项，只有B、C正确故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________〖答案〗〖解析〗因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，因为，所以，故〖答案〗为：14.函数的零点为_________．〖答案〗3〖解析〗令，得，解得，所以函数的零点为3.故〖答案〗为：315.已知α为第三象限的角，且，则_________．〖答案〗〖解析〗因为为第三象限的角，，所以，所以故〖答案〗为：．16.在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．〖答案〗〖解析〗在△中，设，则，又，且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，所以对，恒成立，即恒成立，只需即可，所以，即，又，则，，.所以.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知向量，求：（1）若，且，求的坐标；（2）若﹐求；（3）若，求k的值．解：（1）设，由，且，得，解得或或（2），，解得（3）由已知，又，，解得18.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．解：（1），，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家（2）（i）根据题意可得，解得，设中位数为，因为，，所以，解得，平均数，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii）,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.19.已知不等式的解集为M.（1）若2∈M，求实数a的取值范围；（2）当M为空集时，求不等式＜2的解集.解：（1）由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，所以实数a的取值范围为；（2）当M为空集，则，即；所以，即∴＜2，即＜2，∴＞0，解得x＞或x＜1.∴此不等式的解集为(－∞，1)∪.20.已知、、是三角形的内角，、是方程的两根.（1）求角.（2）若，求.解：（1）因为、是方程的两根，所以，因为，所以，即，解得（舍去）或，或，将或代入中易知当时不成立，故.（2），即，，，解得或，因为，所以，故.21.如图，在三棱锥中，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.解：（1）连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，在中，，在中，设，所以由可得：，可得：，所以，则，所以，，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，所以平面平面BEF；（3）法一：过点作交于点，设，由，得，且，又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，则，从而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值为.法二：平面的法向量为，平面的法向量为，所以，因为，所以，故二面角的正弦值为.22.若函数的最小值为，且它的图象经点和，且函数在上单调递增．（1）求的〖解析〗式；（2）若，求的值域．解：（1）根据题意，可得，即，因为，所以，所以，又由函数的图经过点，可得，所以，解得由，可得，因为在上单调递增，则，解得，所以所以函数〖解析〗式为.（2）由函数〖解析〗式为.因为，可得，当时，即时，函数取得最小值；当时，即时，函数取得最大值；所以函数值域为.新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，集合，可得.故选：B.2.设函数f(x)＝则f(f(3))＝()A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗,,故选D.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得解得，即，故定义域为故选：B.4.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，则如图所示，其中，，，.故选：B.5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B6.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，则山高MN等于（）A. B. C.200 D.〖答案〗A〖解析〗在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，所以可得AC＝＝＝200，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝100，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM•sin∠MAN＝100×＝100；故选：A．7.已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（）A.9 B.3 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．在Rt△中，，即，又，可得，.故选：A．8.若奇函数的定义域为，且时，则时，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，则，因为函数为奇函数，所以，即时.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；B.将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D.一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．〖答案〗ABD〖解析〗选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后.B正确；选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差.C错误；选项D：，因为的平均数是5，所以，新平均数，又因为的方差是1，所以，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.故选：ABD.10.抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由题可得基本事件有：，共有36个，记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点，则A正确；两次的点数之和小于7，事件包含的基本事件有：，，共15个，，B正确，D错误，；对于，事件包含的基本事件有：，共3个，C错误.故选:.11.下列四个命题中假命题是（）A.， B.，C.，使 D.，〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由，，所以A为假命题；对于B中，当时，，所以B为假命题；对于C中，当时，，所以C为真命题；对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.故选：ABD.12.函数的一个单调递减间为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知可得原函数可化为.要求原函数的单调递减间，只需令，解得：,∴原函数的单调递减区间为.依次给k赋值可得原函数的单调递减区间为对照四个选项，只有B、C正确故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________〖答案〗〖解析〗因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，因为，所以，故〖答案〗为：14.函数的零点为_________．〖答案〗3〖解析〗令，得，解得，所以函数的零点为3.故〖答案〗为：315.已知α为第三象限的角，且，则_________．〖答案〗〖解析〗因为为第三象限的角，，所以，所以故〖答案〗为：．16.在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．〖答案〗〖解析〗在△中，设，则，又，且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，所以对，恒成立，即恒成立，只需即可，所以，即，又，则，，.所以.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知向量，求：（1）若，且，求的坐标；（2）若﹐求；（3）若，求k的值．解：（1）设，由，且，得，解得或或（2），，解得（3）由已知，又，，解得18.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．解：（1），，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家（2）（i）根据题意可得，解得，设中位数为，因为，，所以，解得，平均数，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii）,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.19.已知不等式的解集为M.（1）若2∈M，求实数a的取值范围；（2）当M为空集时，求不等式＜2的解集.解：（1）由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，所以实数a的取值范围为；（2）当M为空集，则，即；所以，即∴