高二（上）期末数学试卷（理科）12

高二（上）期末数学试卷（理科）

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共10题，共50分）

1、湖心有四座小岛，其中任何三座都不在一条直线上.拟在它们之间修建3座桥，以便从其中任何一座小

岛出发皆可通过这三座桥到达其它小岛.则不同的修桥方案有（）

A.4种

B.16种

C.20种

D.24种

【考点】

【答案】B

【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要把四个小岛连接起来，共有6个位置可以建设桥梁，

要建三座有C63=20种结果，

其中有4种情况是围成三角形，不合题意，不则不同的修桥方案有20-4=16种.

故选B.

2、若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N三n（bmodm）,例如10三2（bmod4）.下面程序框图

的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i等于（）

A.4

B.8

C.16

D.32

【考点】

【答案】C

【解析】解：模拟程序的运行，可得n=11,i=1

i=2,n=13

不满足条件"n=2(mod3)“，i=4,n=17,

满足条件"n=2(mod3)“，不满足条件"n=1(mod5)",i=8,n=25,

不满足条件"n=2(mod3)i=16,n=41,

满足条件"n=2(mod3)“，满足条件"n=1(mod5)”，退出循环，输出i的值为16.

故选：C.

【考点精析】利用程序框图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知程序框图又称流程图，是一种用

规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应

操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明.

3、如图，在RtZ\ACB中，ZACB=90°,BC=2AC,分别以A、B为圆心,AC的长为半径作扇形ACD和扇形BEF,

D、E在AB上，F在BC上.在4ACB中任取一点，这一点恰好在图中阴影部分的概率是()

A.8

B.1-

C.4

D.1-

【考点】

【答案】D

1

【解析】解：设AC=1,在RtZ\ACB中,ZACB=90°,BC=2AC=2,.,.SAABC=2AC«BC=1,

:分别以A、B为圆心，AC的长为半径作扇形ACD和扇形BEF,

二扇形ACD+扇形BEF的面积等于以1为半径的圆的面积的四分之一，

n

...S扇形ACD+S扇形BEF=1,

.■.S阴影部分=1-,

1T

1-4

・•・在4ACB中任取一点，这一点恰好在图中阴影部分的概率是L-=1-,

故选：D【考点精析】利用几何概型对题目进行判断即可得到答案，需要熟知几何概型的特点：1)试

验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；2)每个基本事件出现的可能性相等.

4、代数式(^+2)(而一1)的展开式中，常数项是()

A.-7

B.-3

C.3

D.7

【考点】

【答案】C

【解析】解:代数式(/+㈤东T)=(花2)•((由(后)+*.(而)，g.(赤)+成.衣一

1),二展开式中常数项是-2=3,

故选：C.

5、设随机变量自〜N(3,4),若P(&V2a-3)=P(自>a+2),则实数a等于()

7

A.3

5

B.3

C.5

D.3

【考点】

【答案】A

【解析】解：：随机变量占服从正态分布N(3,4),-：P(4<2a-3)=P(&>a+2),

.'.2a-3与a+2关于x=3对称,

2a-3+a+2—6,

.,.3a=7,

7

.-.a=3,

故选：A.

6、设样本数据x1,x2,■■■,x20的均值和方差分别为1和8,若yi=2xi+3(i=1,2,…，20),则y1,

y2,…，y20的均值和方差分别是()

A.5,32

B.5,19

C.1,32

D.4,35

【考点】

【答案】A

【解析】解：方法1：,•,yi=2xi+3,/.E(yi)=2E(xi)+E(3)=2X1+3=5,

方差D(yi)=22XD(xi)+E(3)=4X8+0=32.

方法2：由题意知yi=2xi+3,

-1-

贝心'=而(x1+x2+—+X20+20X3)=(x1+x2+-+x20)+3=x+3=1+3=4,

方差s2=[(2x1+3-(2+3)2+(2x2+3-(2+3)2+—+(2x20+3-(2+3)2]

=22X[(x1-)2+(x2-)2+…+(x20-)2]

=4S2=4X8=32.

故选：A.

【考点精析】利用平均数、中位数、众数和极差、方差与标准差对题目进行判断即可得到答案，需要

熟知⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平

均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不

受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最

为关心的数据；标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数

据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差.

7、执行如图所示的程序，则输入的i的值为（）

A.-1

B.0

C.-1或2

D.2

【考点】

【答案】B

【解析】解：输入的i的值为-1时，2i=-2,n=9,不满足两个判断框的条件，不符合题意；输入的i的

值为。时，2i=0,n=11,满足两个判断框的条件，符合题意；

输入的i的值为2时，2i=4,n=15,不满足两个判断框的条件，不符合题意.

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解程序框图的相关知识，掌握程序框图又称流程图，是一种用规

定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操

作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明.

8、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5,现用分层抽样方法抽出一个

容量为n的样本，样本中B种型号产品比A种型号产品多8件.那么此样本的容量"（）

A.80

B.120

C.160

D.60

【考点】

【答案】A

3n2n

【解析】解：根据分层抽样的定义和方法可得2+3+5-2+3+5=8解得n=80,

故选A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解分层抽样的相关知识，掌握先将总体中的所有单位按照某种特

征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用

抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本.

9、抛掷两颗骰子，所得点数之和为4,那么&=4表示的随机试验结果是（）

A.一颗是3点，一颗是1点

B,两颗都是2点

C.两颗都是4点

D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

【考点】

【答案】D

【解析】解：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4,

而D是&=4代表的所有试验结果.

故选D【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题

的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列

出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X可能取

的值为x1,x2......xi........xn,X取每一个值xi（i=1,2.......）的概率P（&二xi）=Pi,则称表为离

散型随机变量X的概率分布，简称分布列.

10、抽取以下两个样本：①从二（1）班数学成绩最好的10名学生中选出2人代表班级参加数学竞赛；②

从学校1000名高二学生中选出50名代表参加某项社会实践活动.下列说法正确的是（）

A.①、②都适合用简单随机抽样方法

B.①、②都适合用系统抽样方法

C.①适合用简单随机抽样方法，②适合用系统抽样方法

D.①适合用系统抽样方法，②适合用简单随机抽样方法

【考点】

【答案】C

【解析】解：对于①，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法，对于②，由于样

本容量比较大，且抽取的人数较较多，故采用系统抽样方法；

故选C.

【考点精析】本题主要考查了分层抽样和系统抽样方法的相关知识点，需要掌握先将总体中的所有单

位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随

机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本；把总体的单位进

行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本;第一个样本采用简单随机抽样的办法

抽取才能正确解答此题.

二、填空题（共4题，共20分）

11

11、历年气象统计表明：某地区一天下雨的概率是手，连续两天下雨的概率是5已知该地区某天下雨，则

随后一天也下雨的概率是.

【考点】

3

【答案】5

11

【解析】解：某地区一天下雨的概率是手，连续两天下雨的概率是5.设该地区某天下雨，随后一天也下雨

的概率是P,

1_1

则由题意得：3^=5,

解得P=.

所以答案是：.

510

12、已知随机变量自〜B(n,p),若=30(9=可，则廿p=.

【考点】

1

【答案】5；3

510510

【解析】解：：随机变量自〜B(n,p),E("=W,"(门=目，则np互，np(1-p)二丁,

解得n=5,p=.

所以答案是：5,.

13、将二进制数11010(2)化为八进制数为(8).

【考点】

【答案】32

【解析】解:二进制数11010(2)=1X24+1X23+0X22+1X21+0X20=26.■.-264-8=3-2

34-8=0-3

.­.26(10)=32(8)

所以答案是：32.

【考点精析】关于本题考查的进位制，需要了解进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置

表示不同的数值才能得出正确答案.

14、已知“0一匕20,贝|]x=.

【考点】

【答案】2或4

【解析】解：・・(20一匕20,则3x=x+4,或3x+x+4=20,解得x=2或4.

所以答案是：2或4.

【考点精析】本题主要考查了组合与组合数的公式的相关知识点，需要掌握从n个不同的元素中任取

m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合才能正确解答此题.

三、解答题(共5题，共25分)

15、某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布

(1)求这部分学生成绩的样本平均数X和样本方差S2(同一组数据用该组的中点值作为代表)

(2)由频率分布直方图可以认为，该校高二学生在这次测验中的数学成绩X服从正态分布N(X,$2).①

利用正态分布，求P(X2129)；

②若该校高二共有1000名学生，试利用①的结果估计这次测验中，数学成绩在129分以上(含129分)

的学生人数.(结果用整数表示)

附：①J210下14.5②若X〜N(u,o2),则P(u-2。<X<u+2o)=0.9544.

【考点】

【答案】

(1)解：由频率分布直方图可知：

X

=(70x0.005+80x0.010+90x0.020+100X0.030+110x0.020

+120x0.010)+130X0.00

5)X10=100分

s2=(-30)2X0,005X10+(-20)2X0.010X10+(-10)

2X0.020X10+0X0.030X10+102X0.020X10+202X0.010X10+302X0.005X10=210

(2)解：①由(1)知：X-N(100,210),

l-P(100-2x14.5vXv100+2x14,5)1-0.9544

从而P(XN129)=P(XN100+2X14.5)=2=2=0.0228

②由①知：这次测验，该校高二1000名学生中，成绩在12(9分)以上的人数约为1000X0.0228=22.8七23

【解析】(1)由同一组数据用该组的中点值作为代表，利用平均数公式和方差公式能求出抽取的样本平均

数x和样本方差s2.(2)①由(1)知：X〜N(100,210),从而P(X2129)=P(X2100+2X14.5),

可得结论；②由①知：这次测验，该校高二1000名学生中，成绩在12(9分)以上的人数约为1000X0.0228.

16、已知常数m/0,n、2且nWN,二项式(1+mx)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，第三项

系数是第二项系数的9倍.

(1)求m、n的值；

(2)若记(1+mx)n=a0+a1(x+8)+a2(x+8)2+…+an(x+8)n,求aO-a1+a2-a3+…+(-1)nan

除以6的余数.

【考点】

【答案】

(1)ft?：V(1+mx)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，

,展开式共有11项，故n=10.

在(1+mx)10展开式中，第r+1项为G+l=Km》)'=W(「=°L…,1。)，

二第二项系数为mc'o=10m,第三项系数/cR=45m2,

.'.45m2=90m,.,.m=2(m=0舍)

(2)解：在

nn

(1+znx)=a。+(x+8)+。2(%+8)2+…+°k(X+8)'+…+un(x+8),

卬，

aaaa1，，

令x=-9,得：0-l+2-3+-+(-)«n=(1-9m)n

=(1-9X2)10=(-17)10=1710=(18-1)10

cRx1810x(-1)04-C^Qx189x(-1)1+…+cKX181x(-1)9+c}§

=x18°x(-1)10

9819

=18[CftX18X(-1)°+*X18x(-1)+…+*x(-1)]+1

9s19

=6x3[C』x18x(-1)0+C/Ox18x(-1)+…+C*x(-1)]+1

J

..3[CRx189x(-1)°+C京x188x(-1)1+…+瑞x(-1)9]ez

'J

.,.aO-a1+a2-a3+…+(-1)nan除以6的余数为1

【解析】(1)利用二项式系数的性质求得n=10,再根据第三项系数是第二项系数的9倍，求得m的值.(2)

令x=-9,可得a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(18-1)10,再把它按照二项式定理展开，求得它除以

6的余数.

17、2016年12月1日，汉孝城际铁路正式通车运营.除始发站(汉口站)与终到站(孝感东站)外，目前

沿途设有7个停靠站，其中，武汉市辖区内有4站(后湖站、金银潭站、天河机场站、天河街站)，孝感

市辖区内有3站(闵集站、毛陈站、槐荫站).为了了解该线路运营状况，交通管理部门计划从这7个车

站中任选3站调研.

(1)求孝感市辖区内至少选中1个车站的概率；

(2)若孝感市辖区内共选中了X个车站，求随机变量X的分布列与期望.

【考点】

【答案】G)解：记人="选取的3个车站均不在孝感市辖区内”，则事件“孝感市辖区内至少选中1个车

.G4

.P(4)=K

站”可表示为川.由古典概型概率计算公式，有：g35,

■431

.•.P(/)=1_p(A)=1-35=35,即孝感市辖区内至少选中1个车站的概率为

4,C4C318

⑵解：X的所有可能取值为：0、1、2、3,且：P(X=°)=希，c735,

ClCl12Cl1

P(X=2)=-^-=35P(X=3)=^3=35

:.X的分布列为：

,、418121459

...E(X)=0X希+1X希+2X3s+3Xjg-=jj-=y

【解析】(1)记人="选取的3个车站均不在孝感市辖区内”，则事件“孝感市辖区内至少选中1个车站”

可表示为.由古典概型概率计算公式，有：，再利用=1-P(A)即可得出.(2)X的所有可能取值为：0、

1、2、3,利用超几何分布即可得出.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案,

需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样

的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为

x1,x2......xi........xn,X取每一个值xi(i=1,2.......)的概率P(&二xi)=Pi,则称表为离散型随

机变量X的概率分布，简称分布列.

18、二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0VxW10)与销售价格y(单位：万

元/辆)进行整理，得到如下的对应数据：

A"=1(占703-丫)£：=产M-n-x-y

6=rW-~~八-A-

参考公式：E：=iE-x)(a=y-bx⑴若这两个变量呈线性相关

AAA

关系，试求y关于x的回归直线方程)'=+a；(2)已知小王只收购使用年限不超过10年的二手车，

且每辆该型号汽车的收购价格为3=0.03x2-1.81x+16.2万元，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何

值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L(x)最大？(销售一辆该型号汽车的利润=销售价格-收购

价格)

【考点】

【答案】

(1)解：由已知：x=6,y=l°,

八Ef=1xty(-5x-y

s5b=----